聯招數學·數學歸納法與遞推不等式：起手、假設與放縮銜接

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

歸納法不是三句套話，是一條不能斷的鏈：① 起手驗 n = n₀（別隻寫「顯然成立」）；② 假設設 n = k 時命題成立，並把假設明確寫成可代入的式子；③ 銜接把 S_k+1 拆成 S_k + a_k+1，代進假設後補一步放縮，證出 n = k+1 的形式一模一樣。

最常斷在③：只寫「由假設同理可得」，沒把 a_k+1 與放縮式擺出來。最後再用裂項相消或通項公式獨立算幾項回代。下面數據為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1 歸納證明 Sₙ = Σ1/k² ≤ 2 − 1/n

自編命題：對一切正整數 n，Sₙ = 1 + 1/2² + 1/3² + ⋯ + 1/n² ≤ 2 − 1/n。

(1) 驗 n = 1、2、3 三處數值。(2) 寫出完整歸納證明，並明確指出銜接步所用的放縮不等式及其等價變形。(3) 說明若把命題改成 Sₙ < 2（常數上界），歸納法還能直接照搬嗎？

解析

(2) 完整歸納證明：
① 起手：n=1，S₁=1=2−1/1，成立。
② 假設：設 n=k（k≥1）時 S_k ≤ 2 − 1/k 成立。
③ 銜接：S_k+1 = S_k + 1/(k+1)² ≤ (2 − 1/k) + 1/(k+1)²。
要使右端 ≤ 2 − 1/(k+1)，只需
1/(k+1)² ≤ 1/k − 1/(k+1) = 1/[k(k+1)]。
等價變形：兩邊同乘正數 k(k+1)² 得 k ≤ k+1，恆成立（嚴格成立）。於是
S_k+1 ≤ 2 − 1/k + 1/[k(k+1)] = 2 − [1/k − 1/(k(k+1))] = 2 − [(k+1−1)/(k(k+1))] = 2 − k/[k(k+1)] = 2 − 1/(k+1) ✓，形式與 n=k+1 時命題完全一致。
由①②，命題對一切正整數 n 成立。

關鍵登記：銜接步真的把歸納假設代進去了（S_k → 2−1/k），且補了1/(k+1)² ≤ 1/[k(k+1)] 這一步放縮；只寫「同理可得」就是斷鏈。

(3) 不能照搬。 若命題改為 S_n < 2（常數上界），按同樣銜接只會得到
S_k+1 = S_k + 1/(k+1)² < 2 + 1/(k+1)²，右端比 2 大，歸納假設提供的上界「2」沒有餘量可被新增正項吸收，鏈條斷掉。這正是本題把上界取成 2 − 1/n 的原因：它隨 n 收緊，預留了恰好夠 1/(n+1)² 的餘量（餘量 = 1/n − 1/(n+1) = 1/[n(n+1)]）。
要證 S_n < 2，正確做法是先證更強的命題 S_n ≤ 2 − 1/n，再令 n→∞ 取極限得 S_n < 2（或直接用 1/k² ≤ 1/[k(k−1)] 從 k≥2 裂項）。「證強命題以得弱結論」是歸納法的常規策略。

答案　(1) S₁=1=1 ✓（取等）、S₂=1.25≤1.5、S₃≈1.3611≤1.6667。(2) 起手、假設 S_k≤2−1/k、銜接用 1/(k+1)²≤1/k−1/(k+1)=1/[k(k+1)]（等價於 k≤k+1）得 S_{k+1}≤2−1/(k+1)。(3) 不能照搬：常數上界 2 無餘量吸收新增正項；須先證更強的 2−1/n 再取極限。

採分點　n=1 取等 1 分；S₂=1.25 與 1.5 1 分；S₃≈1.3611 與 1.6667 1 分；寫出歸納假設 1 分；把假設代入 S_{k+1} 1 分；寫出放縮式 1 分；等價變形 k≤k+1 1 分；說明常數上界無餘量並給「證強得弱」1 分。

易錯點　起手只寫「顯然成立」；歸納步不把假設代入，直接「同理可得」；把 1/k−1/(k+1) 算成 1/[k(k+1)²]；放縮方向寫反；以為 S_n<2 可直接照搬同一套歸納。

題2

題2 遞推數列的歸納與裂項互驗

自編數列：a₁ = 1/2，且 a_n+1 = aₙ + 1/[(n+1)(n+2)]（n ≥ 1）。

(1) 計算 a₂、a₃、a₁₀。(2) 猜出通項並用數學歸納法證明。(3) 用裂項相消獨立求通項，與 (2) 互驗；並說明歸納法與裂項法各自「驗」的是什麼。

解析

(2) 歸納證明：
① 起手：n=1，a₁ = 1/2 = 1 − 1/2 ✓。
② 假設：設 a_k = 1 − 1/(k+1)。
③ 銜接：a_k+1 = a_k + 1/[(k+1)(k+2)] = [1 − 1/(k+1)] + 1/[(k+1)(k+2)]。
合併後兩項：−1/(k+1) + 1/[(k+1)(k+2)] = [−(k+2) + 1]/[(k+1)(k+2)] = −(k+1)/[(k+1)(k+2)] = −1/(k+2)。
故 a_k+1 = 1 − 1/(k+2)，與通項在 n=k+1 時形式一致 ✓。
由①②，a_n = 1 − 1/(n+1) 對一切 n ≥ 1 成立。

(3) 裂項相消獨立互驗：
1/[(j+1)(j+2)] = 1/(j+1) − 1/(j+2)。
從 a₁ 累加到 aₙ，需加 n−1 項（j = 1 到 n−1）：
aₙ = 1/2 + Σ_j=1ⁿ⁻¹ [1/(j+1) − 1/(j+2)] = 1/2 + [1/2 − 1/(n+1)] = 1 − 1/(n+1) ✓ 與歸納法一致。
逐項回代：n=2 → 1−1/3=2/3 ✓；n=3 → 1−1/4=3/4 ✓；n=10 → 10/11 ≈ 0.90909 ✓，與 (1) 全閉合。

兩法各驗什麼：歸納法驗的是「遞推關係是否保持某個形式」——只用到「從 k 到 k+1 一步」，不解釋這個形式從哪來；裂項相消驗的是「累加的閉式結果」——把 n−1 項一次性求和，直接給出通項，但不替代對遞推關係的逐步驗證。兩法路徑獨立、結果相同，構成互驗；只做歸納法容易在「猜通項」這步猜錯卻不自察，只做裂項法則可能把起手項 a₁ 的偏移（本題從 j=1 累加、共 n−1 項）數錯。兩法都做，最穩。

答案　(1) a₂=2/3、a₃=3/4、a₁₀=10/11≈0.90909。(2) 通項 aₙ=1−1/(n+1)，歸納銜接合並得 −1/(k+2)。(3) 裂項 1/[(j+1)(j+2)]=1/(j+1)−1/(j+2)，累加 n−1 項得 1−1/(n+1)，與歸納法互驗；歸納驗遞推保持形式，裂項驗累加閉式。

採分點　a₂=2/3 1 分；a₃=3/4 1 分；a₁₀=10/11 1 分；猜出 1−1/(n+1) 1 分；寫出歸納假設並代入 1 分；合併得 −1/(k+2) 1 分；裂項公式 1 分；累加 n−1 項得同一通項並說明兩法分工 1 分。

易錯點　把累加項數寫成 n 項（本題只有 n−1 項）；裂項符號寫反成 1/(j+2)−1/(j+1)；歸納銜接時把 (k+1)(k+2) 寫成 k(k+1)；只做歸納不互驗，猜錯通項不自察；a₁₀ 誤算成 9/10。

三、規律小結與對照表

歸納法的命門在銜接步：必須把歸納假設真的代進第 k+1 項，再補一步放縮，最後讓右端長得和 n=k+1 時一模一樣。題1 的關鍵餘量是 1/(k+1)² ≤ 1/k − 1/(k+1) = 1/[k(k+1)]（等價於 k ≤ k+1）；也正因上界取 2 − 1/n 隨 n 收緊才有餘量，換成常數 2 就斷鏈——想證 Sₙ<2 得先證更強命題再取極限。題2 用裂項相消獨立算出同一通項：歸納驗「遞推保持形式」，裂項驗「累加閉式」，兩法互驗才不會在猜通項或數項數（本題是 n−1 項）上栽跟頭。本題數列與數值均為自編示意數據。

四、自測清單

• □ 起手寫出 n₀ 的具體數值，不寫「顯然」；
• □ 歸納假設寫成可代入的顯式式子；
• □ 把 S_{k+1} 拆成 S_k + a_{k+1} 並代進假設；
• □ 補出關鍵放縮式並做等價變形驗證方向；
• □ 檢查右端是否與 n=k+1 的命題形式一致；
• □ 用裂項/通項獨立算幾項回代互驗。