聯招物理·霍爾效應測磁感應強度：U_H 的符號與厚度

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

霍爾元件是一片薄片：電流沿長度方向流，磁場垂直片面穿入，霍爾電壓在寬度方向兩側量到。公式 U_H = R_H I B / d 裡的 d 是沿磁場方向的厚度——片越薄，同樣 B 下 U_H 越大。把 d 記成片寬或片長，結果會差一個數量級。

第二步看符號：載流子為電子（n 型）與為空穴（p 型）時，洛倫茲力方向相同但電荷符號相反，積累在兩側的電荷極性相反，U_H 反號。第三步做反向互驗：B 反向，U_H 翻號、大小不變，可消掉不等勢電勢等固定偏置。下面數據為自編示意，不代表真實器件參數。

二、逐題精講

題1

題1 由 U_H 求 B 與幾何量判定

自編元件：矩形薄片，電流沿長度方向 I = 2.00 mA，磁場垂直片面、大小待測，沿磁場方向的厚度 d = 0.200 mm；片長 8.00 mm、片寬 4.00 mm（均不進入 U_H 公式的 d）。載流子濃度 n = 5.00×10²² m⁻³，電荷量大小 q = 1.602×10⁻¹⁹ C。測得霍爾電壓 U_H = 0.3745 mV。

(1) 寫出霍爾係數 R_H 與 U_H 的表達式，說明為什麼 d 取 0.200 mm 而不是 8.00 mm 或 4.00 mm。(2) 求 R_H 與磁感應強度 B。(3) 若把 d 誤取為片寬 4.00 mm，算出的 B 變為多少？偏大還是偏小？

解析

(2) R_H = 1/(5.00×10²² × 1.602×10⁻¹⁹) = 1/8010 = 1.2484×10⁻⁴ m³/C。
由 U_H = R_H I B / d 得
B = U_H d /(R_H I) = (3.745×10⁻⁴ V × 2.00×10⁻⁴ m) / (1.2484×10⁻⁴ × 2.00×10⁻³ A)
分子 = 7.490×10⁻⁸；分母 = 2.4968×10⁻⁷；
B = 7.490×10⁻⁸ / 2.4968×10⁻⁷ = 0.300 T。

正向回代：U_H = 1.2484×10⁻⁴ × 2.00×10⁻³ × 0.300 / 2.00×10⁻⁴ = 1.2484×10⁻⁴ × 3.00 = 3.745×10⁻⁴ V = 0.3745 mV ✓ 與題給一致。

(3) 若 d′ = 4.00 mm = 4.00×10⁻³ m（是真實 d 的 20 倍），則
B′ = 0.300 × (4.00/0.200) = 6.00 T。
因為 B = U_H d/(R_H I) 與 d 成正比，d 記大 → B 偏大 20 倍。這與 00329 電流天平裡「B 與 L 成反比」方向相反：兩式的 d/L 分別落在分子與分母上，判誤差方向必須先看量在哪一側，不能背結論。

答案　(1) R_H=1/(nq)，U_H=R_H·IB/d；d 為沿 B 方向厚度（推導中片寬約掉、片長不進入）。(2) R_H=1.2484×10⁻⁴ m³/C，B=0.300 T。(3) d 取 4.00 mm 得 B=6.00 T，偏大 20 倍。

採分點　寫出 R_H=1/(nq) 1 分；寫出 U_H=R_H·IB/d 1 分；說明片寬在推導中約掉 1 分；說明片長不進入公式 1 分；R_H=1.2484×10⁻⁴ 1 分；單位換算 d=2.00×10⁻⁴ m 1 分；B=0.300 T 1 分；d 記大→B 偏大 20 倍並指出與電流天平方向不同 1 分。

易錯點　把 0.3745 mV 當成 0.3745 V；把 n 的單位 m⁻³ 與 cm⁻³ 混用；把片寬當 d；套 B=U_H/(R_H I d) 把 d 放到分母；直接背「記大偏小」而不看 d 在分子。

題2

題2 反向互驗、載流子符號與偏置消除

沿用題1元件與 B = 0.300 T。保持 I 不變，把磁場反向，測得 U_H′ = −0.3745 mV；另在不加磁場時測到兩側存在一個固定的不等勢電勢 U₀ = +0.0200 mV。

(1) 說明反向後 U_H 翻號而大小不變的原因，並用兩次讀數給出消去 U₀後的淨霍爾電壓。(2) 若只做一次測量而不反磁場，測得值中會混入什麼？ B 會被算成多少？(3) 若換用空穴導電的 p 型薄片（同 n、同 |q|、同 I、同 B），U_H 的符號與大小如何變化？

解析

(2) 只測一次，讀數里會混入 U₀ = +0.0200 mV 這個不隨磁場反向的固定偏置（來源：兩霍爾電極未嚴格等勢、接觸電勢、溫差電勢等）。若直接拿 0.3945 mV 當 U_H，
B_wrong = 0.300 × (0.3945/0.3745) = 0.316 T，偏大約 +5.34%。單靠一次測量無法自察，這正是反向互驗的價值。

(3) 洛倫茲力 F = q v × B 中 q 由 −e 變為 +e（且漂移速度方向隨載流子類型相應改變），兩側積累電荷的極性整體對調，故 U_H 反號；因 n、|q|、I、B、d 全同，|R_H| = 1/(n|q|) 不變，大小仍為 0.3745 mV。
所以符號判類型、大小測 B：n 型（電子）與 p 型（空穴）在同向 I、B 下給出相反極性的 U_H。這也解釋了為什麼公式常寫 R_H = 1/(nq) 而 q 帶符號——把 q 的正負保留，U_H 的符號就自動跟著走。

答案　(1) U_H∝B，反向翻號大小不變；U₊=0.3945、U₋=−0.3545 mV，半差得淨 0.3745 mV、半和還原 U₀=0.0200 mV，B 仍 0.300 T。(2) 混入固定不等勢電勢 U₀，單次得 B≈0.316 T，偏大約 5.34%。(3) p 型 U_H 反號、大小不變（|R_H| 同）。

採分點　說明 U_H∝B 故翻號 1 分；寫出 U₊/U₋ 兩式 1 分；半差消去 U₀ 得 0.3745 mV 1 分；半和還原 0.0200 mV 1 分；回算 B=0.300 T 1 分；單次混入 U₀ 1 分；B≈0.316 T 與 +5.34% 1 分；p 型反號、大小不變並點明符號判類型 1 分。

易錯點　把反向後 U_H′ 直接當成淨霍爾電壓，漏加 U₀；用 (U₊+U₋)/2 當霍爾電壓（那是偏置）；把偏置說成隨 B 反向也翻號；以為換 p 型後 |U_H| 也變；把半差與半和的作用寫反。

三、規律小結與對照表

霍爾法測 B 只抓三件事：d 是沿磁場的厚度（片寬在推導里約掉、片長不進入）、U_H = R_H·IB/d、反向磁場做半差互驗。半差 (U₊−U₋)/2 消掉不等勢電勢這類固定偏置，半和則把它還原出來；只測一次會把偏置算進 B，本題就偏大 5.34%。U_H 的符號判載流子類型、大小測 B。最後記一條與 00329 的對照：那裡 B∝1/L（分母記大偏小），這裡 B∝d（分子記大偏大），判誤差方向先看量在哪一側。本題電流、磁場、厚度、濃度與電壓均為自編示意數據，不代表任何真實器件參數。

四、自測清單

• □ 先確認 d 是沿 B 方向的厚度，片寬片長不代入；
• □ 濃度用 m⁻³、電壓用 V、厚度用 m 再代公式；
• □ R_H 裡 q 保留符號，便於判載流子類型；
• □ 正反磁場各測一次，用半差消偏置、半和還原偏置；
• □ 回代 U_H=R_H·IB/d 驗 B；
• □ 判誤差方向先看該量落在分子還是分母。