聯招數學·函數零點與二分法：精度與迭代次數 - 例題精講

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

例題精講 · 數學導數與解三角形

一、考點定位與做題順序

先把定理的方向說清：f 在 [a,b] 上連續且 f(a)·f(b) < 0 ⇒ (a,b) 內至少有一個零點。這是充分條件，不是必要——兩端同號也可能有零點（如 f(x)=x² 在 [−1,1]，f(−1)=f(1)=1>0，卻有零點 x=0，且是偶重根，二分法無法用變號定位）。

三個固定動作：用 f′(x) 的符號證單調性→唯一零點；逐次取中點、按 f(mid) 的符號縮半區間；由區間長度 (b−a)/2ⁿ < 精度 ε 反解 n（不是 n < 1/ε）。下面函數與精度均為自編示意數值。

二、逐題精講

題1

題1 存在性、唯一性與逐次二分

設 f(x) = x³ + x − 1（自編示意函數）。

(1) 證明 f 在 [0,1] 上有且只有一個零點；(2) 用二分法做 4 次，寫出每次中點、中點函數值的符號與縮半後的區間；(3) 給出 4 次後的零點所在區間長度，並求真實根的近似值作回驗。

解析

(1) f(0) = −1 < 0，f(1) = 1 + 1 − 1 = 1 > 0，故 f(0)·f(1) < 0；f 是多項式、在 [0,1] 連續，由零點存在定理知 (0,1) 內至少有一個零點。
又 f′(x) = 3x² + 1 > 0 對一切 x 成立，故 f 在 R 上嚴格單調遞增，零點至多一個。合起來：有且只有一個零點。
（只寫「f(0)f(1)<0 所以有零點」不給滿分——「唯一」必須由單調性補上。）

(2) 逐次（記區間 [a,b]，中點 m，按 f(m) 符號縮半）：
第 1 次：m = 0.5，f(0.5) = 0.125 + 0.5 − 1 = −0.375 < 0 → 零點在 [0.5, 1]；
第 2 次：m = 0.75，f(0.75) = 0.421875 + 0.75 − 1 = +0.171875 > 0 → [0.5, 0.75]；
第 3 次：m = 0.625，f(0.625) = 0.244141 + 0.625 − 1 = −0.130859 < 0 → [0.625, 0.75]；
第 4 次：m = 0.6875，f(0.6875) = 0.324951 + 0.6875 − 1 = +0.012451 > 0 → [0.625, 0.6875]。
每次都用端點異號那一半替換，區間始終包住零點。

(3) 初始長度 1，4 次後長度 = 1/2⁴ = 0.0625，零點落在 [0.625, 0.6875] 內。
真實根由 x³+x−1=0 數值求得 x* ≈ 0.682328；回代：0.682328³ ≈ 0.317672，+0.682328 = 1.000000 ✓，且 0.682328 ∈ [0.625, 0.6875] ✓，與二分結果一致。若取區間中點 0.65625 作近似，誤差約 0.0261，小於區間長度 0.0625，也自洽。

答案　(1) f(0)=−1、f(1)=1 變號，且 f′=3x²+1>0 嚴格增，故唯一零點；(2) 四次區間依次為 [0.5,1]→[0.5,0.75]→[0.625,0.75]→[0.625,0.6875]；(3) 長度 0.0625，真實根≈0.682328 落在區間內，回代閉合。

採分點　f(0)/f(1) 符號 1 分；零點存在定理 1 分；f′>0 與唯一性 1 分；四次中點與符號各 1 分（共 4 分）；區間長度 1/16 1 分；真實根與回代 1 分；落在區間內 1 分。

易錯點　只證存在不證唯一；f(0.75) 的 0.75³ 算成 0.5625；第 3 次把區間縮錯方向；(3) 把長度寫成 1/4；把真實根寫成 0.625 或 0.6875 端點；忘記強調 f 連續這一前提。

題2

題2 精度與迭代次數、不可二分的反例

(1) 對上題 [0,1] 上的 f，若要求零點所在區間長度小於 ε = 0.1，最少需要二分多少次？若 ε = 0.01 呢？(2) 舉出兩類「f(a)f(b) > 0 卻仍有零點、因而不能直接用二分」的情形，各給一個自編示意函數與區間；(3) 說明為什麼二分法對「精度」的保證來自區間長度而不是「f(mid) 接近 0」。

解析

(1) n 次後長度 = (b−a)/2ⁿ = 1/2ⁿ。要求 1/2ⁿ < ε：
ε = 0.1：2ⁿ > 10 → 2³=8 不夠、2⁴=16 夠，故 n ≥ 4（1/16=0.0625 < 0.1），與題1 做 4 次一致。
ε = 0.01：2ⁿ > 100 → 2⁶=64 不夠、2⁷=128 夠，故 n ≥ 7（1/128=0.0078125 < 0.01）。
注意不是 n=10 或 n=100：條件是指數式的 2ⁿ > 1/ε，不是 n > 1/ε；通式 n > log₂(1/ε)，ε=0.1 時 log₂10≈3.32 取 4，ε=0.01 時 log₂100≈6.64 取 7，兩路一致。

(2) 兩類反例（均為自編示意）：
① 偶重根（相切不穿軸）：f(x) = x² 在 [−1, 1] 上，f(−1)=f(1)=1 > 0（同號），但 x=0 是零點；函數在該點不變號，二分法靠「變號」定位，故無從下手。
② 區間內有兩個零點、兩端同號：g(x) = (x−0.3)(x−0.7) 在 [0, 1] 上，g(0)=0.21 > 0、g(1)=0.21 > 0（同號），但區間內有 0.3 與 0.7 兩個零點；兩端異號這一充分條件不成立，直接二分會誤判「無零點」。
還可補一類③ 不連續：分段函數在跳變處跨過 0 但不取到 0，此時連零點存在定理的前提（連續）都不成立。答兩類即可，但要點明「充分非必要」。

答案　(1) ε=0.1 需 n≥4（1/16=0.0625）；ε=0.01 需 n≥7（1/128=0.0078125）；通式 n>log₂(1/ε)。(2) 偶重根 x² 在[−1,1]；雙零點 (x−0.3)(x−0.7) 在[0,1]；另可舉不連續。(3) 精度由區間長度給誤差上界，|f(mid)| 小不代表自變量近零點，不能作停機準則。

採分點　(1) 兩個 n 各 1 分；通式 1 分；指出不是 n>1/ε 1 分；(2) 兩類反例各 1 分並說明「同號卻有零點」1 分；點明充分非必要 1 分；(3) 區間長度給誤差上界 1 分；說明平緩/陡峭反例 1 分；指出不能用 |f(mid)| 停機 1 分。

易錯點　把 ε=0.1 答成 10 次、ε=0.01 答成 100 次；把二分法說成「兩端同號就沒有零點」；只舉一個反例；把精度理解成 f(mid)→0；忽略「連續」這一定理前提；把 1/128 算成 0.078125。

三、規律小結與對照表

要點	關係/條件	自編示意結果	易錯
存在定理	連續 + f(a)f(b)<0 ⇒ 有零點	f(0)=−1, f(1)=1	當成充要
唯一性	f′=3x²+1>0 嚴格增	唯一零點	只證存在
逐次折半	按 f(mid) 符號取異號半	[0.5,1]→…→[0.625,0.6875]	縮半方向反
區間長度	(b−a)/2ⁿ	4 次後 0.0625	寫成 1/4
精度 ε=0.1	2ⁿ>10	n≥4	答 10 次
精度 ε=0.01	2ⁿ>100	n≥7（1/128=0.0078125）	答 100 次
通式	n>log₂(1/ε)	3.32→4，6.64→7	寫成 n>1/ε
偶重根	x² 在[−1,1]，同號	零點 0 不變號	說無零點
雙零點	(x−0.3)(x−0.7) 在[0,1]	0.3 與 0.7	兩端同號即判無
停機準則	按區間長度	誤差 ≤ 長度	用 \|f(mid)\|
真實根	x³+x−1=0	≈0.682328	取端點當根

二分法三句話：「連續＋變號」只給存在，單調性才給唯一；每次按 f(mid) 的符號縮半；精度由 (b−a)/2ⁿ < ε 定次數（ε=0.1 要 4 次、ε=0.01 要 7 次，不是 10 和 100）。再記兩類反例：偶重根與區間內雙零點，都是「兩端同號卻仍有零點」——定理是充分非必要。停機看區間長度，別看 |f(mid)| 小不小。x³+x−1、0.682328 與 1/128 均為自編示意數值；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

四、自測清單

□ 先寫「連續 + f(a)f(b)<0」證存在，再用 f′ 證唯一；
□ 逐次二分後檢查端點仍異號；
□ 精度用 2ⁿ > 1/ε 反解 n，不是 n > 1/ε；
□ 記得舉「兩端同號卻有零點」的反例說明充分非必要；
□ 停機準則取區間長度，不以 |f(mid)| 為準；
□ 用真實根回代並確認落在最終區間內。