聯招物理·彈簧振子測勁度係數與等效質量

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

彈簧振子週期 T = 2π√(m/k)；若把彈簧自身質量 m_s 計入，一階修正是 T = 2π√((m + m_s/3)/k)（彈簧各點速度不同，等效為 m_s/3）。兩邊平方得
T² = (4π²/k)·m + (4π²/k)·(m_s/3)——T²–m 是直線，斜率給 k，截距給等效質量，截距不為零不是實驗做壞了。

三個固定動作：週期由總時間除以全振動次數（N 次全振動用時 t，則 T = t/N，不是 t/(N−1)）；週期與振幅無關（簡諧近似內）；判誤差方向代回 k = 4π²m/T²，T 記大則 k 偏小。下面質量、時間與擬合值均為自編示意數值，不代表真實測量。

二、逐題精講

題1

題1 由週期求 k 與計數誤差

自編示意裝置：彈簧下掛砝碼，m = 0.200 kg（先忽略彈簧質量），測 20 次全振動總用時 t = 12.566 s。

(1) 求週期 T 與勁度係數 k；(2) 若把振幅從 2.0 cm 改為 5.0 cm，週期與 k 是否變化？說明理由；(3) 若把「20 次」誤記成 19 次，求由此算出的 T 與 k，並判斷 k 偏大還是偏小。

解析

(2) 都不變：簡諧運動的週期只由 m 與 k 決定，與振幅無關（等時性）。把振幅從 2.0 cm 改到 5.0 cm，只要仍在彈簧彈性限度與小幅近似內，T 仍為 0.6283 s、k 仍為 20.0 N/m。
前提是「簡諧近似成立」：振幅過大使彈簧非線性、或超出彈性限度，等時性就不再嚴格成立，這一點答題時應寫明，不能無條件說「永遠不變」。

(3) 誤記 19 次：T′ = 12.566/19 = 0.6614 s（比真值大），T′² ≈ 0.4374，故 k′ = 39.478×0.200/0.4374 ≈ 18.1 N/m。
k 偏小約 9.7%。方向判據：k = 4π²m/T² 中 T 在分母且平方，把次數記少 → T 偏大 → k 偏小；也可用比值 k′/k = (20/19)² ≈ 1.108 的倒數 ≈ 0.903，即偏低 9.7%，兩路一致。
這類屬計數/操作誤差，不是儀器系統誤差；處理辦法是重複計數、以平衡位置為計時起止點（速度最大、判位最準），不要去改公式。

答案　(1) T=0.6283 s，k=20.0 N/m；(2) 振幅改變 T 與 k 均不變（簡諧近似內），須註明彈性限度前提；(3) 誤記 19 次得 T′=0.6614 s、k′≈18.1 N/m，k 偏小約 9.7%，屬計數誤差。

採分點　T=t/N=0.6283 s 1 分；k=4π²m/T² 1 分；k=20.0 N/m 1 分；反向回驗 1 分；(2) 週期與振幅無關 1 分；彈性限度前提 1 分；(3) T′ 1 分；k′ 1 分；方向判據與比值 1 分；判為計數誤差 1 分。

易錯點　把 12.566 s 直接當週期；用 t/(N−1)=12.566/19 求週期（那是條紋間隔的口徑，別混）；認為振幅變大週期變長；把「簡諧」無條件推廣到大振幅；把次數記少說成 k 偏大；漏反向回驗。

題2

題2 T²–m 圖、截距與等效質量

改用不同砝碼多次測量並作 T²–m 圖，得一直線（自編示意擬合）：斜率 a = 1.9739 s²/kg，截距 b = 0.019739 s²；另給彈簧自身質量 m_s = 0.0300 kg。

(1) 由斜率求 k；(2) 由截距求彈簧的等效質量，並與 m_s/3 比較；(3) 當 m = 0.200 kg 時，求計入等效質量後的週期 T，並與題1 的 0.6283 s 比較；(4) 說明為什麼截距不能強行歸零。

解析

(2) 截距 b = a·(m_s/3)，故等效質量 m_eq = b/a = 0.019739/1.9739 = 0.0100 kg。而 m_s/3 = 0.0300/3 = 0.0100 kg，兩者完全吻合 ✓。
若寫成 m_s（0.0300 kg）就錯了：彈簧各圈速度從固定端到振子端線性變化，動能積分後等效為總質量的 1/3，不是全部。

(3) 計入等效質量：m_total = 0.200 + 0.0100 = 0.210 kg。
T = 2π√(0.210/20.0) = 2π√0.0105 = 2π×0.10247 = 0.6438 s。
比題1 忽略彈簧質量時的 0.6283 s 大約 2.5%（√(0.210/0.200)=√1.05≈1.0247）。也可由 T² = a·m + b = 1.9739×0.200 + 0.019739 = 0.39478 + 0.019739 = 0.414519 s²，開方得 0.6438 s ✓，兩路閉合。

(4) 截距對應彈簧自身參與振動的等效質量，是物理實在，不是擬合沒做好。若強行把直線過原點，等於假定 m_s = 0：一方面斜率會被截距「拉偏」，使 k 系統性偏離真值；另一方面小 m 處的週期會被低估（本題 m=0.200 kg 時會把 0.6438 s 寫成 0.6283 s，偏低 2.5%）。正確做法是保留截距：斜率給 k，截距給 m_eq = m_s/3，兩者各自有物理意義；若確要消除其影響，應換更輕的彈簧或增大砝碼質量使 b/a·m 相對變小，而不是改數據。

答案　(1) k=4π²/a=20.0 N/m；(2) m_eq=b/a=0.0100 kg = m_s/3；(3) T=2π√(0.210/20.0)=0.6438 s，比 0.6283 s 大約 2.5%（T²=a·m+b 一路同值）；(4) 截距是彈簧等效質量的物理項，強行歸零會拉偏斜率、低估小 m 處週期。

採分點　由斜率求 k 1 分；與題1一致 1 分；m_eq=b/a 1 分；與 m_s/3 比較 1 分；說明 1/3 來源 1 分；(3) m_total 1 分；T=0.6438 s 1 分；T²=a·m+b 回驗 1 分；比較 2.5% 1 分；(4) 兩條理由 1 分。

易錯點　把等效質量寫成 m_s=0.0300 kg；把截距當成「沒調零」而刪掉；由截距求 k（混淆斜率與截距的物理意義）；(3) 漏加 0.0100 kg；把 T²=a·m+b 寫成 T=a·m+b（沒平方）；把 2.5% 算成 5%。

三、規律小結與對照表

彈簧振子題的兩條線：單點用 T=t/N 與 k=4π²m/T²，多點用 T²–m 直線——斜率給 k、截距給 m_s/3。截距不是誤差，是彈簧自己在動；強行過原點會把 k 拉偏、把小 m 處的週期低估（本題低 2.5%）。再守住「週期與振幅無關（簡諧近似內）」與「次數記少 → T 大 → k 小」。0.200 kg、12.566 s、20.0 N/m 與 0.0100 kg 均為自編示意數值，不代表真實測量；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

四、自測清單

• □ 週期一律用總時間除以全振動次數 N；
• □ 單點求 k 後反向代回 T 驗一次；
• □ 說明「振幅無關」時寫明彈性限度/簡諧前提；
• □ T²–m 圖分清零件：斜率→k，截距→m_s/3；
• □ 等效質量是 m_s/3，不是 m_s；
• □ 判誤差方向代回 k=4π²m/T²，別憑印象。