聯招數學·三角給值求值：角的配湊與齊次式

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

給值求值先做兩件不顯眼但決定對錯的事：① 把 α 的範圍寫下來，它決定開方取哪個符號；② 把要求的角改寫成已知角的組合（如 π/2+2α = 2(π/4+α)），別一上來就展開一堆公式。

三個固定工具：(sinα ± cosα)² = 1 ± sin2α；cos(π/2+2α) = −sin2α、sin(π/2+2α) = cos2α；齊次式（分子分母關於 sinα、cosα 同次）可同除 cosα 化成 tanα 的式子。下面函數值與角度均為自編示意數值。

二、逐題精講

題1

題1 由 sinα + cosα 求值與定號

已知 sinα + cosα = 1/2，且 α ∈ (0, π)（自編示意條件）。

(1) 求 sin2α；(2) 求 sinα − cosα，並說明為什麼取正號；(3) 求 sinα、cosα 與 tanα，並驗算 sin²α + cos²α = 1。

解析

(2) (sinα − cosα)² = 1 − sin2α = 1 + 3/4 = 7/4，故 |sinα − cosα| = √7/2。
定號：由 sin2α = −3/4 < 0 且 α ∈ (0, π)，知 2α ∈ (π, 2π)，即 α ∈ (π/2, π)：此時 sinα > 0、cosα < 0，故 sinα − cosα > 0，取 √7/2。
（也可由 sinα+cosα = 1/2 > 0 與 α 在第二象限一併確認：|cosα| 略小於 sinα，和為正、差為更大正數，自洽。）

(3) 由和與差解二元一次：
sinα = [(1/2) + (√7/2)]/2 = (1+√7)/4，cosα = [(1/2) − (√7/2)]/2 = (1−√7)/4。
數值：√7 ≈ 2.6458 → sinα ≈ 0.9114，cosα ≈ −0.4114（確為第二象限）。
tanα = sinα/cosα = (1+√7)/(1−√7)，分母有理化：= (1+√7)²/(1−7) = (8+2√7)/(−6) = −(4+√7)/3 ≈ −2.2153。
驗算：sin²α+cos²α = [(1+√7)²+(1−√7)²]/16 = [2(1+7)]/16 = 16/16 = 1 ✓；再驗 sin2α = 2sinαcosα = 2·[(1−7)/16] = 2·(−6/16) = −3/4 ✓，與(1)一致。兩路互驗說明取號與配湊都沒錯。

答案　(1) sin2α=−3/4；(2) sinα−cosα=√7/2（因 α∈(π/2,π)，sin>0、cos<0 取正）；(3) sinα=(1+√7)/4，cosα=(1−√7)/4，tanα=−(4+√7)/3；兩路驗算均閉合。

採分點　平方得 1+sin2α 1 分；sin2α=−3/4 1 分；由 sin2α<0 與 α∈(0,π) 定出第二象限 1 分；取正號說明 1 分；(sin−cos)²=7/4 與 √7/2 1 分；sinα、cosα 各 1 分；tanα 有理化 1 分；兩路驗算 1 分。

易錯點　開方不判號，直接寫 ±√7/2；把 α∈(0,π) 與 sin2α<0 推成 α∈(0,π/2)；tanα 有理化時把 (1+√7)² 算成 8+√7；驗算只做 sin²+cos² 而不回代 sin2α；把 cosα 寫成 (√7−1)/4（符號反）。

題2

題2 角的配湊與齊次式

已知 cos(π/4 + α) = 3/5，且 α ∈ (−π/4, π/4)（自編示意條件）。

(1) 求 sin(π/4 + α)；(2) 用「把 π/2 + 2α 配湊成 2(π/4+α)」的方法求 sin2α 與 cos2α；(3) 求 (sin2α + cos2α)/(sin2α − cos2α)，並說明齊次式化 tan 的另一種解法。

解析

(2) 配湊：π/2 + 2α = 2θ。於是
cos(2θ) = 2cos²θ − 1 = 2·(9/25) − 1 = 18/25 − 1 = −7/25，而 cos(π/2+2α) = −sin2α，故 −sin2α = −7/25 → sin2α = 7/25。
sin(2θ) = 2 sinθ cosθ = 2·(4/5)(3/5) = 24/25，而 sin(π/2+2α) = cos2α，故 cos2α = 24/25。
回驗：sin²2α + cos²2α = (49+576)/625 = 625/625 = 1 ✓；又由 cos2α = 24/25 > 0 知 2α ∈ (−π/2, π/2)，與 α ∈ (−π/4, π/4) 一致 ✓。

(3) 直接代：(7/25 + 24/25)/(7/25 − 24/25) = (31/25)/(−17/25) = −31/17。
齊次式化 tan 的另一解法：分子分母關於 sin2α、cos2α 同為一次，同除 cos2α（此處 cos2α = 24/25 ≠ 0）得 (tan2α + 1)/(tan2α − 1)；而 tan2α = (7/25)/(24/25) = 7/24，代入得 (7/24+1)/(7/24−1) = (31/24)/(−17/24) = −31/17，兩路一致。
方法對比：配湊法把目標角直接換成已知角的兩倍，避開解 α 本身；齊次式法在「只給 tan」或「不給具體 sin、cos」時更省事。兩法都可，但都必須先確認分母不為 0（本題 sin2α − cos2α = −17/25 ≠ 0）。

答案　(1) sinθ=4/5（θ∈(0,π/2)）；(2) sin2α=7/25，cos2α=24/25（由 π/2+2α=2θ）；(3) 值 −31/17；齊次式同除 cos2α 化為 (tan2α+1)/(tan2α−1)，tan2α=7/24 得同一結果。

採分點　由範圍定 sinθ>0 1 分；sinθ=4/5 1 分；寫出 π/2+2α=2θ 1 分；cos2θ=−7/25 與 sin2α 1 分；sin2θ=24/25 與 cos2α 1 分；平方和回驗 1 分；直接代入得 −31/17 1 分；齊次式化 tan 兩路一致 1 分；說明分母不為 0 1 分。

易錯點　漏範圍直接寫 sinθ=±4/5；把 cos(π/2+2α) 寫成 +sin2α（符號反）；把 sin(π/2+2α) 寫成 −cos2α；把 2θ 展開成 θ 的加減角硬算；齊次式同除時忽略 cos2α≠0 的前提；把 (31/25)/(−17/25) 算成 −17/31。

三、規律小結與對照表

給值求值的順序是「先定範圍 → 再配湊角 → 最後回代驗算」：範圍管開方符號，配湊把目標角換成已知角的兩倍，回代用 sin²+cos²=1 或 sin2α 兩路互驗。齊次式同除 cos 是另一條捷徑，但先確認分母不為零。1/2、3/5、√7/2、7/25 與 24/25 均為自編示意數值；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

四、自測清單

• □ 先把 α 的範圍寫在草稿紙上，再開任何平方；
• □ 由 sin2α 的符號反推 α 所在象限，定 sin−cos 取號；
• □ 遇到 π/4+α 先試「目標角 = 2×已知角」；
• □ 誘導公式的符號單獨核一遍（cos(π/2+x)=−sinx）；
• □ 齊次式同除 cos 前確認 cos≠0、分母≠0；
• □ 至少用平方和與 sin2α 兩路回驗。