題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
複數題有個很省力的習慣：每寫出一個模，就順手在複平面上畫一句「這是誰到誰的距離」。|z| 是 z 到原點 O 的距離；|z−(1+i)| 是 z 到點 (1,1) 的距離；|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|，把商的長度拆成兩個長度之比。代數與幾何對得上，答案就不容易跑偏。
兩個固定動作：除法先分母實數化（乘分母的共軛，z₂·z̄₂ = |z₂|² 是實數）；含 |z−z₀|=r 的條件先認出它是圓，圓心 z₀、半徑 r，再用「圓心到原點距離 d 與 r 的和差」求 |z| 的最值。下面兩題的 z₁、z₂ 與圓參數均為自編示意數值。
二、逐題精講
題1
題1 複數運算與模（計算＋說明）
設自編示意複數 z₁ = 3 + 4i，z₂ = 1 − 2i（i 為虛數單位）。
(1) 求 |z₁|、|z₂|，並把 z₁ / z₂ 化為 a + bi 形式；(2) 求 |z₁/z₂|，並用 |z₁|、|z₂| 驗證結果；(3) 寫出 z₂ 的共軛 z̄₂，並說明 z₂·z̄₂ 與 |z₂|² 的關係。
解析
(1) |z₁| = √(3²+4²) = 5；|z₂| = √(1²+(−2)²) = √5。分母實數化：z₁/z₂ = (3+4i)(1+2i) / [(1−2i)(1+2i)] = (3 + 6i + 4i + 8i²) / (1+4) = (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i。分子裡 8i² = −8 是唯一容易漏的符號；分母 (1−2i)(1+2i) = 1−(2i)² = 1+4 = 5，正好等於 |z₂|²。
(2) |z₁/z₂| = √((−1)²+2²) = √5。用長度驗證：|z₁|/|z₂| = 5/√5 = √5，兩路一致。這不是巧合——|z₁/z₂|² = (z₁/z₂)·(z̄₁/z̄₂) = |z₁|²/|z₂|²，所以商的模等於模的商。若兩路不等，先回查分母是否漏乘共軛或 i² 是否寫錯。
(3) z̄₂ = 1 + 2i；z₂·z̄₂ = (1−2i)(1+2i) = 1 + 4 = 5 = |z₂|²。幾何上 z̄₂ 是 z₂ 關於實軸的對稱點，兩者模相同、輻角相反；z·z̄ = |z|² 是把複數變成非負實數的常用手段，第(1)問的分母實數化就是它的直接應用。
答案 (1) |z₁|=5，|z₂|=√5，z₁/z₂=−1+2i；(2) |z₁/z₂|=√5=5/√5；(3) z̄₂=1+2i，z₂·z̄₂=5=|z₂|²。
採分點 |z₁| 1 分；|z₂| 1 分；分母乘共軛並得 5 1 分；分子展開且 i²=−1 處理正確 1 分；商化為 −1+2i 1 分；|z₁/z₂|=√5 1 分；用模的商驗證 1 分；寫出 z̄₂ 與 z·z̄=|z|² 1 分。
易錯點 分母只乘 z₂ 而忘乘共軛，得到複數分母；把 8i² 寫成 +8；把 |z₂| 算成 1+2=3；誤用 |z₁/z₂| = |z₁|·|z₂|；把 z̄₂ 寫成 −1−2i（那是 −z₂）。
題2
題2 圓軌跡上的模最值與純虛數條件
設複數 z 滿足 |z − (1 + i)| = 2（自編示意參數）。
(1) 說明該條件在複平面上表示什麼圖形，寫出圓心與半徑；(2) 求 |z| 的最大值與最小值；(3) 若 z 為純虛數，求所有滿足條件的 z。
解析
(1) |z−(1+i)| = 2 表示以 (1,1) 為圓心、半徑 r = 2 的圓：它說的是「z 到定點 (1,1) 的距離恆為 2」，不是「z 的模為 2」。(2) 圓心 C(1,1) 到原點距離 d = √(1²+1²) = √2，且 d < r（原點在圓內）。由三角不等式 | |OC| − |CP| | ≤ |OP| ≤ |OC| + |CP|，得 |z| 的最小值 r − d = 2 − √2、最大值 r + d = 2 + √2，等號在 O、C、P 三點共線時取到（分別在 OC 反向延長線與同向延長線上）。注意不能把最小寫成 0：原點雖在圓內，但圓周上的點到原點最近仍有 2−√2 ≈ 0.586。
(3) 純虛數設 z = b i（b 為實數，b ≠ 0 若按「純虛數不含 0」的口徑）。代入：(0−1)² + (b−1)² = 4 → 1 + (b−1)² = 4 → (b−1)² = 3 → b = 1 ± √3。故 z = (1+√3)i 或 z = (1−√3)i。兩解都非零（1−√3 ≈ −0.732），均合口徑；若教材把 0 也算純虛數，此處也不影響，因為 b=0 不滿足方程。
幾何回驗：直線 x=0（虛軸）與圓心 (1,1)、半徑 2 的圓相交，圓心到虛軸距離為 1 < 2，故必有兩個交點，與代數兩解一致；若只解出一個，多半是漏了 ±。
答案 (1) 圓心 (1,1)、半徑 2 的圓；(2) |z|max=2+√2，|z|min=2−√2；(3) z=(1+√3)i 或 (1−√3)i。
採分點 認出圓軌跡並寫圓心半徑 2 分；d=√2 1 分；最大值 2+√2 1 分；最小值 2−√2 且說明不為 0 1 分；說明三點共線取等 1 分；設 z=bi 並列出 (b−1)²=3 1 分；兩解齊全 1 分；用虛軸與圓相交回驗 1 分。
易錯點 把 |z−(1+i)|=2 當成 |z|=2；把最小 |z| 寫成 0（忽略求的是圓周到原點距離）；最大最小寫成 d±r 時次序顛倒或漏絕對值；解 (b−1)²=3 只取正根；把純虛數條件寫成實部為 0 卻忘了虛部不為 0 的口徑說明。
三、規律小結與對照表
| 代數式 | 幾何意義 | 自編示意結果 | 易錯 |
|---|---|---|---|
| |z| | z 到原點距離 | |3+4i| = 5 | 與 |z−z₀| 混用 |
| |z−z₀| = r | 以 z₀ 為圓心、r 為半徑的圓 | 圓心(1,1), r=2 | 誤作以原點為圓心 |
| |z₁/z₂| | 兩長度之比 | 5/√5 = √5 | 誤作長度之積 |
| z·z̄ | 模的平方（非負實數） | (1−2i)(1+2i)=5 | 忘 i²=−1 |
| z̄ | 關於實軸對稱、輻角反號 | 1+2i | 誤作 −z |
| |z| 最值 | d 與 r 的和差 | 2±√2 | 把圓內點最近距離當 0 |
| z=bi | 虛軸 x=0 | b=1±√3 | 漏 ± 或漏非零口徑 |
複數題的兩條線要一直對拉：代數上分母實數化、i² 落 −1；幾何上把每個模讀成一段距離。認出 |z−z₀|=r 是圓之後，最值直接用 d 與 r 的和差，純虛數條件直接換成「虛軸與圓相交」，答案個數都能先驗一遍。z₁=3+4i、z₂=1−2i、圓心 (1,1) 與半徑 2 均為自編示意參數，不代表任何實測數據；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
四、自測清單
- □ 除法先乘分母的共軛，確認分母已變成實數；
- □ 每見一個 |·| 就寫一句「這是誰到誰的距離」；
- □ |z−z₀|=r 先寫圓心與半徑，別當成 |z|=r；
- □ 求 |z| 最值先算圓心到原點距離 d，再比較 d 與 r；
- □ 解 (b−1)²=3 一類方程記得取 ± 兩根；
- □ 用「直線與圓相交個數」回驗代數解的個數。
