聯招物理·實驗題：落球法測液體黏滯係數與收尾速度

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

小球在黏滯液體裡下落，受三力：重力 ρVg 向下、浮力 ρ₀Vg 向上、黏滯阻力 6πηrv 向上（斯托克斯定律）。速度增大時阻力增大，直到三力平衡，此後以收尾速度 v 勻速下落。由 ρVg − ρ₀Vg = 6πηrv 與 V = (4/3)πr³ 解得：

η = 2r²(ρ − ρ₀)g / (9v)。

三個前提必須逐個報出來：① 小球可視為剛性球且 r 遠小於容器半徑 R；② 層流，用雷諾數 Re = ρ₀v(2r)/η 檢驗，Re < 1 才安心；③ 液體無限廣，實際容器要作壁修正 η修正 = η/(1 + 2.4r/R)。另外「勻速」不是看出來就算：把量測段分成前後等距兩半，兩段用時相等才算進入收尾速度。下面數據為自編示意，鋼球、液體與管徑參數均虛構。

二、逐題精講

題1

題1 求黏滯係數並核驗前提

自編示意：半徑 r = 1.50 mm 的鋼球（密度 ρ = 7.80×10³ kg/m³）在密度 ρ₀ = 1.20×10³ kg/m³ 的示意液體中豎直下落，取 g = 9.80 m/s²。在標定的勻速段量取 s = 0.200 m，秒錶讀數 t = 4.00 s；把該段前後各 0.100 m 分開計時，得 t₁ = 2.00 s、t₂ = 2.00 s。容器為豎直圓管，內半徑 R = 0.0200 m。

(1) 由兩半段用時說明是否已達收尾速度，求 v 與 η（未修正）。(2) 計算雷諾數 Re，判斷層流前提是否成立；再按壁修正因子 1/(1+2.4r/R) 求修正後的 η，並說明為什麼修正後數值變小。

解析

(2) 雷諾數：Re = ρ₀·v·(2r)/η = 1.20×10³ × 0.0500 × 3.00×10⁻³ / 0.6468 = 0.180/0.6468 ≈ 0.278 < 1，層流前提成立 ✓（若 Re 接近或超過 1，斯托克斯阻力式本身失效，須換用修正模型，不能靠「多測幾次」補救）。
壁修正：r/R = 1.50×10⁻³/0.0200 = 0.0750，2.4r/R = 0.180，因子 = 1/(1+0.180) = 0.84746。
η修正 = 0.6468 × 0.84746 ≈ 0.5482 Pa·s。
為什麼變小：管壁使小球周圍流場受約束，實際阻力大於無限廣液體中的 6πηrv；若仍用未修正公式，會把「壁面額外阻力」誤算進 η，導致結果偏大。修正即把這部分扣掉，故數值下降約 15.3%。

力平衡回代：用 η修正 反算阻力 6π·0.5482·1.50×10⁻³·0.0500 ≈ 7.76×10⁻⁴ N；有效重力 (ρ−ρ₀)(4/3)πr³g = 6.60×10³ × 1.4137×10⁻⁸ × 9.80 ≈ 9.14×10⁻⁴ N；二者之比 0.849，與修正因子 0.847 一致（差別來自取整），閉合 ✓。

答案　(1) t₁=t₂=2.00 s 表明已達收尾速度；v=0.0500 m/s；η≈0.6468 Pa·s（未修正）。(2) Re≈0.278<1，層流成立；r/R=0.0750，因子 0.8475，η修正≈0.5482 Pa·s；管壁額外阻力使未修正值偏大，故修正後變小。

採分點　兩段計時相等判勻速 1 分；v=0.0500 m/s 1 分；力平衡式寫對 1 分；η=0.6468 Pa·s 1 分；Re 公式與 0.278 各 1 分；判 Re<1 1 分；r/R=0.0750 與因子 0.8475 各 1 分；η修正=0.5482 1 分；說明「壁阻力被誤計入使未修正值偏大」1 分；力平衡回代 1 分。

易錯點　不等距兩段計時相等就宣稱勻速；把 r 當成直徑代公式；忘記減浮力 ρ₀；把 6πηrv 寫成 6πηr²v；Re 用 ρ（鋼球密度）而非 ρ₀（液體密度）；把壁修正寫成乘 (1+2.4r/R) 導致越修越大；只報數值不報三個前提。

題2

題2 誤差方向與溫度影響

(1) 分別判斷下列操作使 η 的計算值偏大、偏小還是基本不變，並給出公式依據：① 秒錶啟動偏晚，記錄的 t 偏小 0.10 s（真值 4.00 s）；② 把球半徑 r 誤記成 1.60 mm（真值 1.50 mm）；③ 液體溫度升高但未控溫（示意設定：升溫使 η 真值下降）；④ 量測段未達勻速就計時（t₁ > t₂）。

(2) 若題1 中把計時誤記成 3.90 s，其餘不變，求 η 的計算值及相對偏差；再說明為什麼「多測幾次取平均」不能消除②這類誤差。

解析

(2) t′ = 3.90 s → v′ = 0.200/3.90 = 0.051282 m/s；η′ = 0.6468 × (3.90/4.00) = 0.6306 Pa·s（未修正口徑）。相對偏差 = (0.6306 − 0.6468)/0.6468 = −0.025 = −2.50%，恰好等於 −0.10/4.00 ✓ 與 η ∝ t 一致。
為什麼平均消不掉②：多次測量取平均只壓低隨機誤差（如反應遲滯、讀數抖動，正負可抵消）；r 記錯屬於系統誤差，每次都按同一個錯誤半徑代入，所有結果同向偏大，平均之後偏大依舊。系統誤差只能靠校準器具（螺旋測微器零點、多次測徑取平均並與標稱值比對）、改換測量方法或獨立複核發現，不能靠重複次數解決。

答案　(1) ①偏小（t↓→v↑→η↓）②偏大且平方放大（約 +13.8%）③結果分散無單向偏差（真值隨溫度變，須控溫）④偏大（v 偏小）。(2) η′≈0.6306 Pa·s，相對偏差 −2.50%（= −0.10/4.00）；②屬系統誤差，同向偏大，取平均不能消除。

採分點　寫出 η∝r²t 1 分；四種判斷各 1 分；② 的平方放大說明 1 分；③ 指出「真值變了、無共同真值」1 分；④ 指出 t₁>t₂ 應重測 1 分；η′=0.6306 1 分；相對偏差 −2.50% 1 分；區分隨機/系統誤差 1 分；說明系統誤差須靠校準 1 分。

易錯點　把①判成偏大（忘記 v=s/t 在分母）；②只算一次方而漏平方放大；③硬給「偏大/偏小」而忽略它改變的是真值；④把未勻速數據照算不誤；把系統誤差當成多測幾次就能抹平；相對偏差分母用錯成 3.90。

三、規律小結與對照表

落球法的答案不是「把數代進 η 公式」，而是先把三個前提驗完：等距兩段計時相等才算收尾速度，Re < 1 才算層流成立，r/R 不忽略才要壁修正。誤差題一律回到 η ∝ r²·t 這一條：計時偏小線性偏小，半徑記大平方放大，溫度改變的是真值而非公式。最後記住重複測量只壓隨機誤差，系統誤差得靠校準。本例鋼球、液體密度、管徑與計時數據均為自編示意，不代表任何真實物質參數或工業配方。

四、自測清單

• □ 先等距分兩段計時，t₁=t₂ 才用 v=s/t；
• □ 力平衡式寫全：重力 − 浮力 = 6πηrv，不漏 ρ₀；
• □ r 用半徑、2r 才用於 Re，單位統一換成 m；
• □ 算完必算 Re = ρ₀v(2r)/η，判 Re<1；
• □ 有限容器用 1/(1+2.4r/R) 修正，方向是變小；
• □ 誤差題先寫 η∝r²t，再判方向與放大倍數；
• □ 溫度變化註明「真值改變、須控溫」，不硬給單向偏差；
• □ 區分隨機誤差與系統誤差，不靠多測幾次消系統偏差。