聯招化學·反應速率與活化能：阿倫尼烏斯公式的兩溫度求 Ea

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

阿倫尼烏斯式：k = A e^−Ea/RT（A 為指前因子，R = 8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹，Ea 單位 J/mol）。兩溫度相除取自然對數，A 消去：

ln(k₂/k₁) = (Ea/R)(1/T₁ − 1/T₂)，故 Ea = R·ln(k₂/k₁) / (1/T₁ − 1/T₂)。

自編示意數據：T₁ = 300 K 時 k₁ = 1.20×10⁻³ s⁻¹；T₂ = 320 K 時 k₂ = 4.80×10⁻³ s⁻¹（均為自編示意值，不代表任何真實反應）。先看清 T₂>T₁ 且 k₂>k₁，則 1/T₁ − 1/T₂ > 0、ln(k₂/k₁) > 0，算出的 Ea 必為正；若得負值，一定是把兩個溫度或兩項倒數寫反了。

二、逐題精講

題1

題1 兩溫度求活化能並反算閉合

(1) 由上述數據求 Ea（以 kJ/mol 表示，保留三位有效數字）。(2) 用求得的 Ea 反算 k₂ 與 k₁ 的比值，驗證是否回到 4.00；再求 T₃ = 340 K 時的 k₃（A 不變），並用 1/T 線性外推交叉驗證。

解析

符號自檢：分子正、分母正，得正值 ✓。若寫成 (1/T₂ − 1/T₁) 會得 −55.3 kJ/mol；若把 ln(k₂/k₁) 寫成 ln(k₁/k₂) 會得 −1.386 再出負值，兩者都是本題最高發的錯。

(2) 反算閉合：Ea/R = 55323/8.314 = 6654.2 K；ln(k₂/k₁) = 6654.2 × 2.083333×10⁻⁴ = 1.38629 → k₂/k₁ = e^1.38629 = 4.0000 ✓ 回到題給比值。
求 k₃（T₃=340 K，A 不變）：用 T₁ 作基準，ln(k₃/k₁) = (Ea/R)(1/300 − 1/340) = 6654.2 × (40/102000) = 6654.2 × 3.921569×10⁻⁴ = 2.60949 → k₃/k₁ = e^2.60949 = 13.590 → k₃ = 1.20×10⁻³ × 13.590 = 1.6308×10⁻² s⁻¹。

交叉驗證（1/T 線性外推）：lnk = lnA − (Ea/R)(1/T)，即 lnk 對 1/T 是直線，斜率 −Ea/R = −6654.2 K。
在 T₂=320 K 處 lnk₂ = ln(4.80×10⁻³) = −5.33882；從 320 K 推到 340 K：Δ(1/T) = 1/340 − 1/320 = −20/108800 = −1.838235×10⁻⁴；Δlnk = −6654.2 × (−1.838235×10⁻⁴) = +1.22319 → lnk₃ = −5.33882 + 1.22319 = −4.11563 → k₃ = e^−4.11563 = 1.6309×10⁻² s⁻¹ ✓ 與基準法一致（差 1×10⁻⁶，屬取位）。
再驗三點共線：T₁ 處 lnk₁ = ln(1.20×10⁻³) = −6.72543；斜率 (lnk₂−lnk₁)/(1/320−1/300) = 1.38661/(−2.083333×10⁻⁴) = −6655.7 K，與 −6654.2 相差 0.02% ✓ 三點在同一直線上，說明數據是按同一 Ea 生成的自洽示意值。

順便求 A（可選自檢）：lnA = lnk₁ + Ea/(RT₁) = −6.72543 + 6654.2/300 = −6.72543 + 22.1807 = 15.4553 → A ≈ 5.17×10⁶ s⁻¹。代回 T₂：lnk₂ = 15.4553 − 6654.2/320 = 15.4553 − 20.7944 = −5.3391 ✓ 與 −5.33882 一致。

答案　(1) Ea≈55.3 kJ/mol（ln4=1.386294，1/300−1/320=2.08333×10⁻⁴ K⁻¹）。(2) 反算 k₂/k₁=e^1.38629=4.0000 ✓；T₃=340 K 時 k₃≈1.631×10⁻² s⁻¹，由 ln k–1/T 直線外推得 1.6309×10⁻²，兩路一致；三點共線斜率約 −6654 K，附 A≈5.17×10⁶ s⁻¹ 自檢。

採分點　寫出兩溫度相除取對數的形式 1 分；ln4 與 1/T₁−1/T₂ 各 1 分；Ea=55.3 kJ/mol 1 分；符號自檢（正值）1 分；反算 k₂/k₁=4.0000 1 分；k₃ 計算 1 分；ln k–1/T 線性外推 1 分；兩路一致與三點共線 1 分；A 自檢 1 分；單位 J/mol→kJ/mol 換算 1 分。

易錯點　把 1/T₁−1/T₂ 寫成 1/T₂−1/T₁ 得負 Ea；用 lg 代替 ln 卻漏乘 2.303；把 R 用成 8.314 kJ·mol⁻¹·K⁻¹（單位錯 1000 倍）；把 Ea 結果寫成 55.3 J/mol；求 k₃ 時把 A 當成隨溫度變；外推時 Δ(1/T) 符號搞反得 k₃ 變小；不回代驗 ln(k₂/k₁) 是否回到 1.386。

題2

題2 催化劑降 Ea 的倍率與「升溫 vs 加催化劑」辨析

(1) 若加入催化劑使活化能降為 Ea′ = 45.0 kJ/mol（A 不變），求 T₁ = 300 K 時速率常數增大的倍數；再求用催化劑後在多少溫度下即可達到原體系 320 K 時的速率（即 k = 4.80×10⁻³ s⁻¹）。(2) 判斷下列說法是否正確並說明理由：①「升溫與加催化劑都增大 k，所以都改變反應的 ΔG 與平衡常數 K」②「催化劑使 Ea 降低，因此正、逆反應速率增大的倍數相同，K 不變」③「由 ln k 對 1/T 的斜率可求 Ea，截距可求 A」。

解析

達到原 320 K 速率所需溫度：目標 k = 4.80×10⁻³ s⁻¹，lnk = −5.33882。由 lnk = lnA − Ea′/(RT)：
Ea′/(RT) = lnA − lnk = 15.4553 − (−5.33882) = 20.7941 → T = 45000/(8.314 × 20.7941) = 45000/172.884 = 260.3 K。
驗算：把 T=260.3 K 代回 k=Ae^{−45000/(8.314×260.3)} = 5.17×10⁶·e^−20.794 = 5.17×10⁶ × 9.30×10⁻¹⁰ = 4.81×10⁻³ ✓ 與目標一致（取位誤差）。結論：催化劑把達到同一速率所需溫度從 320 K 降到約 260 K，降幅約 60 K；這正是「降 Ea 等價於在更低溫度拿到同樣速率」的量化說法。
合理性提醒：260 K 已低於題給數據區間，屬線性外推，僅在本示意模型（A 與 Ea′ 視為常數）內成立；實際體系可能有相變、擴散控制或機理改變，不能無條件外推。補這一句才算嚴謹。

(2) 三條判定：
① 錯。升溫確實增大 k（e 指數項變大），而且會改變平衡常數 K（由 ΔG° = −RTlnK 與 van't Hoff 關係，K 隨 T 變，方向取決於 ΔH）；但催化劑只改速率、不改 ΔG°、不改 K、不改平衡位置，它同時加快正逆反應使更快到達同一個平衡。把兩者因「都增大 k」就併成「都改 K」是典型錯誤。
② 正確。催化劑給正、逆反應提供同一條更低能壘的路徑，Ea 正與 Ea 逆下降同樣的量，故 k_正、k_逆 增大相同倍數（本題都是 62.70 倍），其比值 K = k_正/k_逆 不變 ✓。這也從動力學角度解釋了①裡「K 不變」。
③ 正確（附前提）。lnk = lnA − (Ea/R)·(1/T)，對 1/T 作直線：斜率 = −Ea/R → Ea = −斜率·R；截距 = lnA → A = e^截距。本題斜率 ≈ −6654 K，截距 ≈ 15.455，正是這樣求出的。前提是在所測溫度區間內 Ea 與 A 近似為常數、機理不變；若機理切換，直線會折彎，不能硬擬合。
一句劃界：動力學（k、Ea、速率）與熱力學（ΔG、K、平衡位置）是兩把尺子；溫度同時動兩把，催化劑只動第一把。

答案　(1) 300 K 時 k 增大 exp[(55323−45000)/(8.314×300)]=62.70 倍，k₁′≈7.52×10⁻² s⁻¹；達到原 320 K 速率所需溫度 ≈260.3 K（比 320 K 低約 60 K，屬示意模型內線性外推，附機理不變前提）。(2) ① 錯：升溫改 K，催化劑不改 ΔG°/K/平衡，只加快到達；② 正確：正逆 Ea 同降、k 同倍增大，K=k正/k逆 不變；③ 正確：斜率 −Ea/R、截距 lnA，前提是區間內機理不變。

採分點　寫出 k′/k=exp[(Ea−Ea′)/RT] 1 分；62.70 倍 1 分；A 路回代 k₁′ 一致 1 分；由 lnA−lnk 反解 T=260.3 K 1 分；回代驗算 1 分；外推前提提醒 1 分；① 判定並區分升溫/催化劑對 K 的影響 2 分；② 用 k正/k逆 說明 1 分；③ 斜率/截距與前提 1 分；動力學與熱力學劃界 1 分。

易錯點　把 Ea 差值單位用 kJ 直接除以 R=8.314 J（少乘 1000）；求 T 時把 lnA−lnk 的符號寫反得負溫度；認為催化劑也改 ΔG°/K；把「正逆同倍增大」說成「只加快正反應」；③ 忘記斜率是 −Ea/R 而非 −Ea；把 ln k–1/T 外推當成任意溫度都適用；把 260 K 結果當成真實工藝溫度而不註明前提。

三、規律小結與對照表

阿倫尼烏斯這一組，機關全在「兩溫度相除取對數，A 就消掉」：ln4 除以 2.0833×10⁻⁴ K⁻¹ 得 55.3 kJ/mol，反算比值回到 4.0000，再外推到 340 K 得 1.631×10⁻² s⁻¹，三點在 lnk–1/T 上共線，一個數都沒湊。催化劑把 Ea 降到 45.0 kJ/mol 後，300 K 速率漲 62.70 倍、達到原 320 K 速率只需約 260 K——但動力學與熱力學要分開：溫度會動 K，催化劑只動 k，正逆同倍增大，K 不變。所有 k、Ea、A 與溫度均為自編示意數值，不代表真實反應體系或物質常數。

四、自測清單

• □ 先寫 ln(k₂/k₁)=Ea/R(1/T₁−1/T₂)，確認 A 已消去；
• □ 用自然對數 ln；若用 lg 必須乘 2.303；
• □ R=8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹，Ea 結果先得 J/mol 再換 kJ/mol；
• □ 算完反算 k₂/k₁ 是否回到題給比值；
• □ ln k 對 1/T 是直線：斜率 −Ea/R、截距 lnA；
• □ 催化劑題把 Ea 差化成 J 再除 RT，別漏 ×1000；
• □ 分清「升溫改 K」與「催化只改 k、K 不變」；
• □ 外推出區間時補一句「機理不變」的前提。