聯招數學·直線與圓：弦長、切線與圓心距的分類討論

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

自編題設：圓 C: x² + y² − 4x − 2y + 1 = 0；直線 l: 3x + 4y − m = 0（m 為實數參數）。第一步永遠先配方：(x−2)² + (y−1)² = 4，圓心 O(2,1)，半徑 r = 2。若不配方直接用一般式套距離，圓心會找錯。

圓心到直線的距離 d = |3·2 + 4·1 − m|/√(3²+4²) = |10 − m|/5。於是全部問題歸成三句：d < r 相交（弦長 2√(r²−d²)）、d = r 相切、d > r 相離。下面每一步都用代數判別式二次互驗，避免只信幾何直覺。

二、逐題精講

題1

題1 含參相切的雙解與相交弦長

(1) 若直線 l 與圓 C 相切，求 m 的全部取值；並用聯立方程的判別式 Δ = 0 驗證其中一個值。(2) 當 m = 5 時，求 l 被圓 C 截得的弦長；再用「弦中點—垂徑」關係求弦中點座標，並回代驗證。

解析

Δ 驗證（取 m = 20）：由 3x + 4y = 20 得 y = (20 − 3x)/4。代入 (x−2)² + (y−1)² = 4：把 y−1 = (16 − 3x)/4，得 (x−2)² + (16−3x)²/16 = 4，乘 16：16(x²−4x+4) + 9x² − 96x + 256 = 64 → 25x² − 160x + 256 = 0 → (5x − 16)² = 0，Δ = 0，切點 x = 16/5 = 3.2，y = (20 − 9.6)/4 = 2.6。回代圓：(3.2−2)² + (2.6−1)² = 1.44 + 2.56 = 4 ✓，且 3·3.2 + 4·2.6 = 9.6 + 10.4 = 20 ✓。另一根 m = 0 同法可得 25x² + 0·x − 16·?（略）同樣 Δ = 0，切點 (−0.8, 0.6)：(−0.8−2)² + (0.6−1)² = 7.84 + 0.16 = 8？須複核：取 m=0 時直線 3x+4y=0，圓心到線距離 |10−0|/5 = 2 = r，確為切線；切點為圓心沿法向 (3,4)/5 走 2 個單位到直線的垂足：圓心 (2,1) 減去 2·(3,4)/5 = (2−1.2, 1−1.6) = (0.8, −0.6)。檢驗 3·0.8 + 4·(−0.6) = 2.4 − 2.4 = 0 ✓；(0.8−2)² + (−0.6−1)² = 1.44 + 2.56 = 4 ✓。訂正：切點是 (0.8, −0.6)，不是 (−0.8, 0.6)；方向由「圓心在直線的哪一側」決定，用垂足公式最穩。

(2) m = 5：d = |10 − 5|/5 = 1 < 2，相交。弦長 = 2√(r² − d²) = 2√(4 − 1) = 2√3 ≈ 3.4641。
弦中點即圓心到直線的垂足。直線 3x + 4y − 5 = 0，圓心 (2,1) 代入得 3·2+4·1−5 = 5；垂足 = (2,1) − [5/(3²+4²)]·(3,4) = (2 − 15/25, 1 − 20/25) = (1.4, 0.2)。回代直線：3·1.4 + 4·0.2 = 4.2 + 0.8 = 5 ✓；到圓心距離 √((0.6)² + (0.8)²) = √1 = 1 = d ✓。
代數互驗：聯立 y = (5 − 3x)/4 與圓，得 25x² − 60x + 4·? 整理為 25x² − 60x + 20 = 0（可由 Δ = 3600 − 2000 = 1600 > 0 判相交），兩根差 |x₁−x₂| = √Δ/25 = 40/25 = 1.6；弦長 = |x₁−x₂|·√(1 + k²)，斜率 k = −3/4，√(1+9/16) = 5/4，故 1.6 × 1.25 = 2.0？與幾何法 2√3 不符，必須查：實際上 Δ 應取自化簡後的方程，此處手算聯立係數有誤。正確做法：把 y = (5−3x)/4 代入 x²+y²−4x−2y+1 = 0，乘 16 得 16x² + (5−3x)² − 64x − 8(5−3x) + 16 = 0 → 16x² + 9x² −30x+25 −64x −40+24x +16 = 0 → 25x² − 70x + 1 = 0。Δ = 4900 − 100 = 4800 = (40√3)²；|x₁−x₂| = √Δ/25 = 40√3/25 = 1.6√3；乘 5/4 得 2√3 ✓ 與幾何法一致。本題特意登記一次「聯立係數手算出錯、靠幾何法攔下」：兩法不等時先查展開係數，不急著改幾何結果。

答案　(1) m = 0 或 20（兩條平行切線）；Δ=0 驗證見上，切點分別為 (0.8,−0.6) 與 (3.2,2.6)。(2) m=5 時 d=1，弦長 2√3；弦中點（垂足）(1.4,0.2)，代數法 Δ=4800 回代同為 2√3。

採分點　配方得圓心 (2,1)、r=2 各 1 分；d=|10−m|/5 1 分；絕對值解出兩個 m 並說明是兩條平行切線 2 分；Δ=0 驗證與切點回代 1 分；m=5 時 d=1 與弦長 2√3 各 1 分；垂足公式與中點 (1.4,0.2) 回代 1 分；代數法 Δ=4800 互驗 1 分；登記「係數出錯先查展開」1 分。

易錯點　忘記配方，直接把一般式係數當圓心；|10−m|=10 只取 m=0 漏掉 20；垂足方向搞反（切點寫成 (−0.8,0.6)）；弦長公式寫成 2√(r²−d) 漏平方；聯立展開係數算錯後直接改幾何答案，而不是回頭查 Δ；把弦中點當成弦的一個端點。

題2

題2 過圓外一點的切線長與切線方程

(1) 判斷點 P(5,5) 與圓 C 的位置關係，並求過 P 的切線長。(2) 求過 P 的兩條切線方程（提示：一條斜率存在，另一條可能豎直；務必用 d = r 檢驗是否漏解）。

解析

(2) 先設斜率存在：過 P(5,5) 的直線 y − 5 = k(x − 5)，即 kx − y + 5 − 5k = 0。圓心到它距離 d = |2k − 1 + 5 − 5k|/√(k²+1) = |4 − 3k|/√(k²+1)。令 d = 2：(4 − 3k)² = 4(k²+1) → 16 − 24k + 9k² = 4k² + 4 → 5k² − 24k + 12 = 0 → k = [24 ± √(576 − 240)]/10 = [24 ± √336]/10 = [24 ± 4√21]/10 = (12 ± 2√21)/5。
但兩條切線只解出兩個 k，是否漏了豎直線？ 檢驗 x = 5：圓心 (2,1) 到 x=5 的距離 = 3 ≠ 2，不是切線，故沒漏。兩條切線為
y − 5 = [(12 + 2√21)/5](x − 5) 與 y − 5 = [(12 − 2√21)/5](x − 5)。
數值：k₁ = (12 + 9.1652)/5 = 4.2330，k₂ = (12 − 9.1652)/5 = 0.5670。回代 d：對 k₁，|4 − 12.699|/√(17.918+1) = 8.699/4.349 = 2.000 ✓；對 k₂，|4 − 1.701|/√(0.3215+1) = 2.299/1.1496 = 2.000 ✓。
切點回代（任選一條）：取 k₂，直線 y = 0.5670x + 2.1652；與圓聯立應得重根。用垂足公式：d = 2 時垂足即切點，T = (2,1) − [ (2k −1 +5 −5k)/(k²+1) ]·(k, −1) 的歸一化形式，代入 k₂ 得 T ≈ (3.636, 4.227)，檢驗 (3.636−2)²+(4.227−1)² = 2.677+10.416 ≈ 13.09？須複核：正確垂足應為 T = O − [A x₀+B y₀+C]/(A²+B²)·(A,B)，其中直線寫成 kx−y+5−5k=0，代入 (2,1) 得 D = 2k −1 +5 −5k = 4 − 3k。對 k₂=0.5670，D = 2.299，A²+B² = k²+1 = 1.3215，故 T = (2,1) − (2.299/1.3215)(0.5670, −1) = (2 − 0.986, 1 + 1.740) = (1.014, 2.740)。檢驗：(1.014−2)² + (2.740−1)² = 0.972 + 3.028 = 4.000 ✓；直線上 0.5670·1.014 + 2.1652 = 0.575 + 2.165 = 2.740 ✓。訂正：先前把垂足公式裡的法向量方向與係數代錯，已用「代入圓方程等於 4」攔下並改正——這正是二次互驗的價值。

方法小結：過圓外一點求切線，先算 |OP| 確認圓外、得切線長；再設點斜式解 k；最後一定要單獨檢查豎直線 x = x₀ 是否被「斜率不存在」漏掉（本題檢驗後排除）。若解出的 k 只有一個，另一條必為豎直線。

答案　(1) |OP|=5>2，P 在圓外，切線長 √21≈4.5826。(2) k=(12±2√21)/5，即 k₁≈4.2330、k₂≈0.5670；豎直線 x=5 的 d=3≠2，已排除，故兩條切線均斜率存在。切點示例 (1.014,2.740) 回代圓方程得 4。

採分點　|OP|=5 與圓外判定 1 分；切線長 √21 與 Rt△依據 1 分；設點斜式並寫出距離式 1 分；解出 5k²−24k+12=0 與兩個 k 各 1 分；兩個 d=2 回代 1 分；單獨檢驗豎直線 x=5 並排除 1 分；切點垂足回代圓方程 1 分；總結「k 只有一個時另一條必豎直」1 分。

易錯點　不先判圓外就設切線；切線長寫成 |OP|−r=3（應為 √(OP²−r²)）；點斜式漏掉「斜率不存在」的豎直線，或檢驗豎直線時把圓心 x 座標差算錯；把 (4−3k)²=4(k²+1) 展開成 5k²−24k+20=0；垂足公式法向量係數代錯後不回代圓方程驗算。

三、規律小結與對照表

直線與圓這一組，全部答案都從「先配方，再比 d 與 r」長出來：相切時絕對值給兩個參數值（兩條平行切線），過圓外一點求切線時別忘了單獨驗豎直線。這輪我特意留了兩處手算出錯又被攔下的痕跡——聯立展開係數寫錯、垂足法向量代錯——都是靠「幾何法與代數法必須相等」逼出來的：兩法不等，先查展開與係數，別急著改那個看起來更整齊的答案。題設與數值均為自編示意。

四、自測清單

• □ 先把一般方程配方成標準方程，寫出圓心與半徑；
• □ 含絕對值 |10−m|=10 一定解出兩個值，別隻取一個；
• □ 弦長用 2√(r²−d²)，別把 d 忘了平方；
• □ 弦中點＝圓心到直線的垂足，用垂足公式後回代直線；
• □ 過圓外一點設點斜式後，單獨檢驗豎直線是否漏解；
• □ 幾何法與代數法不等時，先查展開係數與法向量，不改題給數據。