聯招物理·實驗題：光槓杆法測金屬絲楊氏模量

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

自編示意裝置：金屬絲原長 L = 0.1000 m，直徑 d = 0.400 mm，下端掛砝碼施力 F = mg；光槓杆鏡面到標尺距離 D = 1.500 m，光槓杆後足到前足連線的距離（鏡臂）b = 8.00 mm。標尺讀數變化 Δn 與絲的伸長 ΔL 滿足 Δn = (2D/b)·ΔL，故 ΔL = bΔn/(2D)。

來路：絲伸長 ΔL 使鏡面轉角 θ ≈ ΔL/b，反射光偏轉 2θ，標尺上位移 Δn ≈ D·2θ = 2DΔL/b。故放大倍數 = 2D/b。最終 Y = FL/(AΔL)，A = πd²/4。下面數據與參數均為自編示意數值。

二、逐題精講

題1

題1 單次加載的完整計算鏈與量綱核對

自編示意：加 m = 2.00 kg 砝碼（取 g = 9.80 m/s²）後，標尺讀數變化 Δn = 3.00 cm。(1) 依次求 F、A、放大倍數 2D/b、ΔL、Y。(2) 用量綱核對 Y 的單位是否為 Pa；並說明若把鏡臂 b 誤記成 10.00 mm（真值 8.00 mm），算出的 Y 會偏大還是偏小、偏差多少。

解析

(2) 量綱核對：[F] = N = kg·m·s⁻²，[L] = m，[A] = m²，[ΔL] = m → [Y] = (kg·m·s⁻² · m)/(m² · m) = kg·m⁻¹·s⁻² = N/m² = Pa ✓。也可從定義 Y = 應力/應變 = (F/A)/(ΔL/L) 看：應力 Pa，應變無量綱，故 Y 為 Pa。若算得 10¹¹ 以外的數量級（如 10⁷ 或 10¹⁵），優先查直徑有沒有化成米——d 用 mm 代入會讓 A 大 10⁶ 倍、Y 小 10⁶ 倍，這是本實驗最高發的量綱錯。

鏡臂記大的偏差：由 ΔL = bΔn/(2D) 知 ΔL ∝ b，而 Y ∝ 1/ΔL ∝ 1/b。把 b 記成 10.00 mm（放大 1.25 倍），則 ΔL′ = 1.25ΔL = 1.00×10⁻⁴ m，Y′ = Y/1.25 = 1.5597×10¹¹ Pa，即偏小 20%（相對偏差 (1.5597−1.9496)/1.9496 = −20.0%）。
方向記憶：鏡臂記大 → 以為放大倍數小 → 把同樣的標尺位移換算成更大的伸長 → 材料「顯得更軟」→ Y 偏小。反過來 D 記大則 ΔL 偏小、Y 偏大。

答案　(1) F=19.6 N；A=1.25664×10⁻⁷ m²；放大倍數 375；ΔL=8.00×10⁻⁵ m；Y≈1.95×10¹¹ Pa。(2) 量綱為 N/m²=Pa ✓；b 誤記 10.00 mm 時 ΔL 放大 1.25 倍、Y 變為 1.56×10¹¹ Pa，偏小 20%。

採分點　F=19.6 N 1 分；d 化米與 A=1.25664×10⁻⁷ 各 1 分；放大倍數 375 1 分；ΔL=8.00×10⁻⁵ 與兩路算法各 1 分；Y=1.95×10¹¹ 1 分；量綱推導得 Pa 1 分；指出「d 用 mm 會差 10⁶」1 分；b 記大 → Y 偏小 20% 的鏈與數值各 1 分。

易錯點　直徑或標尺讀數忘了化米（最常見）；把 πd²/4 寫成 πd²；把放大倍數寫成 D/b 漏掉 2；把 ΔL=bΔn/(2D) 倒成 2DΔn/b；算 Y 時漏乘原長 L；判斷 b 記大時把 Y 說成偏大（沒走完 ΔL∝b、Y∝1/ΔL 兩步）。

題2

題2 逐差法處理五組加載數據、誤差方向與適用條件

自編示意：等量逐級加載，標尺讀數 n（cm）依次為 0.00、0.75、1.50、2.26、3.01、3.76（共 6 級，每級 Δm = 0.50 kg，g = 9.80 m/s²）。(1) 用逐差法求每增加 1.50 kg 對應的平均標尺位移，進而求 Y；並與題1 單次結果對照。(2) 說明逐差法在這裡消除了什麼；再判斷三種情況對 Y 的方向：① 金屬絲直徑測小了；② 標尺未豎直、讀數偏大；③ 加載超過彈性限度。

解析

與題1 對照：題1 用 2.00 kg、Δn=3.00 cm 得 1.9496×10¹¹ Pa；本批逐差得 1.9408×10¹¹ Pa，相差 0.45%，在讀數精度（0.01 cm）內一致。線性自檢：逐級位移為 0.75、0.75、0.76、0.75、0.75 cm，六級基本等間隔，說明在彈性限度內、F 與 ΔL 成正比，用逐差法合理。若把 2.26 寫成 2.25（即認為每級恰好 0.75），得 Y=1.9494×10¹¹，與題1 幾乎重合，說明數據是圍繞同一 Y 設計的示意值。

(2) 逐差法消除了什麼：把 6 個讀數兩兩相減再平均，每次差值都消掉了共同的零點讀數 n₀ 與初始彎曲/預緊造成的常數偏移，且充分利用了全部 6 個數據（若只取首尾 3.76 cm，中間信息全丟，隨機誤差更大）。它不能消除比例型系統誤差（如 b、D、d 測錯），也不能修正超出彈性限度後的非線性——這兩類要另查。

三個誤差方向：
① 直徑測小 → A = πd²/4 偏小且按平方縮小 → Y = FL/(AΔL) 偏大；若 d 測小 1%，A 小約 2%，Y 大約 2%。這是本實驗最敏感的量，故直徑要在多處、多方向測後取平均。
② 標尺未豎直、讀數偏大 → Δn 偏大 → ΔL 偏大 → Y 偏小。注意與①方向相反，答時須分別寫鏈。
③ 超過彈性限度 → 出現不可恢復的塑性形變，逐級位移不再等間隔，F 與 ΔL 不再成正比，胡克定律與 Y 的定義前提失效：此時不能再用線性公式給單一 Y；若仍硬套，後期 ΔL 偏大，算出的 Y 會偏小且隨載荷變化。正確處置是卸載檢查是否回零、捨去超限數據、只在彈性線性段內擬合。
適用條件小結：小形變、彈性限度內、絲豎直且初始拉直、鏡面與標尺平行、b/D/d 準確——逐差法只解決「零點與隨機讀數」，不解決這些前提。

答案　(1) 三組逐差均 2.26 cm，平均 Δn=2.26 cm（對應 1.50 kg、14.7 N），ΔL=6.0267×10⁻⁵ m，Y≈1.9408×10¹¹ Pa，與題1 相差 0.45%。(2) 逐差消掉零點常數偏移並充分利用全部讀數，不消比例系統誤差；① 直徑測小→Y 偏大（平方效應）② 讀數偏大→Y 偏小 ③ 超彈性限度→線性前提失效，硬套則 Y 偏小且隨載荷變，須卸載回零檢查後只用線性段。

採分點　三組逐差值 2.26 cm 各 0.5 分；平均與 F=14.7 N 各 1 分；ΔL=6.0267×10⁻⁵ 1 分；Y=1.9408×10¹¹ 1 分；與題1 對照 0.45% 1 分；逐級位移線性自檢 1 分；逐差法消除零點偏移與「不消比例誤差」各 1 分；三個誤差方向各 1 分；彈性限度前提與處置 1 分。

易錯點　逐差只取首尾一組（3.76 cm）而不分組；把相隔級數當 2 級或 4 級，Δm 算錯；逐級位移不等間隔仍硬套線性；把直徑測小說成 Y 偏小（漏了 A∝d² 與 Y∝1/A 兩步）；把標尺偏大與直徑偏小兩個方向混成一樣；認為逐差法能修正 b、D 測錯；超彈性限度後仍給單一 Y 而不說明前提失效。

三、規律小結與對照表

光槓杆這一組，全部數值都串在 Δn = (2D/b)ΔL 與 Y = FL/(AΔL) 兩條式子上：單次加載得 1.95×10¹¹ Pa，五組逐差得 1.94×10¹¹ Pa，差 0.45%，說明數據是自洽的。三個最容易翻車的地方——直徑要化米（平方效應最敏感）、放大倍數是 2D/b 不是 D/b、逐差法只消零點不消比例誤差。算完順手做一次量綱核對，10¹¹ 這個量級若跑偏，先回頭查單位。所有參數與讀數均為自編示意，不代表真實材料常數或儀器規格。

四、自測清單

• □ 直徑、標尺讀數、鏡臂全部先化成 SI 再代入；
• □ 放大倍數記 2D/b，反射光偏轉是 2θ 不是 θ；
• □ ΔL=bΔn/(2D) 與 Δn/倍數 兩路算一遍；
• □ 算完 Y 做量綱核對，量級異常先查 d 的單位；
• □ 逐差法按相隔 3 級分組，別隻取首尾；
• □ 分清「零點偏移可消、比例系統誤差不可消、彈性限度是前提」。