聯招物理·實驗題：單擺測重力加速度與擺長、角度修正

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

把 T = 2π√(L/g) 兩邊平方得 T² = (4π²/g)·L：以 T² 為縱軸、L 為橫軸，斜率 k = 4π²/g，於是 g = 4π²/k。這一步線性化有兩個好處：不必逐組算 g 再平均，且截距能直接暴露擺長是否量錯零點。

本實驗的擺長 L 是懸點到球心的距離：L = 線長 ℓ + 球半徑 r。若只用線長當擺長，真實關係是 T² = (4π²/g)(ℓ + r) = kℓ + kr：斜率不變、截距為正，所以用斜率求出的 g 仍然正確，這是常被考到的一條。下表為自編示意數據，每組測 30 個全振動的時間 t（單位 s），擺長 ℓ 已按線長記錄。

二、逐題精講

題1

題1 由 T²–ℓ 圖求 g，並由截距反推球半徑

自編示意數據（測 30 個全振動）：

ℓ / m：0.400　0.600　0.800　1.000　1.200
t / s：38.08　46.64　53.86　60.21　65.96

(1) 計算各組的 T = t/30 與 T²，用首尾兩組求斜率 k 並算出 g（取 4π² = 39.4784）。(2) 用最小二乘思想求擬合截距 b，並從 b 反推被漏加的小球半徑 r；說明若直接把「逐組 g = 4π²ℓ/T²」取平均，結果會偏大還是偏小，為什麼。

解析

首尾斜率 k = (4.83414 − 1.61121)/(1.200 − 0.400) = 3.22293/0.800 = 4.02866 s²/m；g = 4π²/k = 39.4784/4.02866 = 9.7994 m/s² ≈ 9.80 m/s² ✓。中間組校驗：ℓ=1.000 處 T²/ℓ = 4.02805，與 k 相差不到 0.02%，說明數據線性良好。

(2) 截距。 設 T² = kℓ + b。五組 ℓ 與 T² 均值：ℓ̄ = (0.4+0.6+0.8+1.0+1.2)/5 = 0.800；T̄² = (1.61121+2.41700+3.22322+4.02805+4.83414)/5 = 16.11362/5 = 3.222724。最小二乘斜率 k = Σ(ℓᵢ−ℓ̄)(Tᵢ²−T̄²)/Σ(ℓᵢ−ℓ̄)²：分子 = (−0.4)(−1.611514)+(−0.2)(−0.805724)+0+(0.2)(0.805326)+(0.4)(1.611416) = 0.644606+0.161145+0.161065+0.644566 = 1.611382；分母 = 0.16+0.04+0+0.04+0.16 = 0.40；k = 4.028455 s²/m，g = 39.4784/4.028455 = 9.7999 m/s²。
b = T̄² − kℓ̄ = 3.222724 − 4.028455×0.800 = 3.222724 − 3.222764 = −0.00004 s²，在讀數精度內可視為 0。由 b = k·r 得 r = b/k ≈ 0，說明本組數據的 ℓ 已經就是擺長（含球心修正），並沒有漏加半徑。若另有一組數據得到 b = +0.0403 s²，則 r = 0.0403/4.0285 ≈ 0.0100 m = 1.00 cm，正是漏加的球半徑。

逐組平均的偏向。 若誤用 gᵢ = 4π²ℓ/T² 且 ℓ 少記 r，則 T² = k(ℓ+r)，gᵢ = 4π²ℓ/[k(ℓ+r)] = g·ℓ/(ℓ+r) < g，即逐組結果一律偏小，且短擺長偏得更厲害（0.400 m 處少約 2.4%，1.200 m 處少約 0.8%）。取平均不會消掉這個系統偏差，而斜率法因截距吸收了 r，g 不受影響——這正是必須作 T²–ℓ 圖而不要逐組算 g 的原因。

答案　(1) k≈4.02866 s²/m，g≈9.80 m/s²。(2) 最小二乘 k≈4.02846、b≈0（本組 ℓ 已含球心修正），故 r≈0；若 b=+0.0403 s² 則 r≈1.00 cm。逐組 4π²ℓ/T² 取平均會系統偏小，短擺長偏得更多；斜率法不受影響。

採分點　五組 T 與 T² 計算準確 2 分；首尾斜率 4.02866 與 g≈9.80 各 1 分；均值與最小二乘斜率 1 分；截距 b≈0 與 r=b/k 關係 1 分；指出本組未漏加半徑 1 分；給出 b=0.0403→r=1.00 cm 的換算 1 分；逐組平均偏小及短擺長更偏的理由 2 分；說明斜率法不受影響 1 分。

易錯點　把 30 個週期的時間直接當 T 代入；用 t²–ℓ 而非 T²–ℓ（差 900 倍）；把截距b直接當半徑而忘了除以 k；見 b≈0 就斷言「實驗沒有誤差」，正確說法是「未發現擺長零點偏差」；認為逐組取平均能抵消系統誤差。

題2

題2 大擺角、計時起點與秒錶誤差的方向和量級

(1) 小角度近似下 T₀ = 2π√(L/g)。若擺角取 θ₀ = 15°，有限振幅修正為 T ≈ T₀(1 + θ₀²/16)（θ₀ 用弧度）。求週期的相對增量，並推出由 g = 4π²L/T² 算出的 g 相對偏差（說明偏大還是偏小）。(2) 另外三種操作各使 g 偏大、偏小還是基本不變：① 秒錶在擺球過最低點時啟動、卻在第 30 次到達端點時停止；② 把線長當擺長但改用斜率法處理；③ 每次只在一個週期內計時、共測 30 次取平均。

解析

(2) ① 偏小（且嚴重）：從最低點到端點只隔 T/4，若把「第 30 次到達端點」當成 30 個全振動，實際只累計約 30T − 3T/4 或 29T + T/4 一類非整數週期（取決於端點計法），計時數 t 偏小、T=t/30 偏小，則 g = 4π²L/T² 偏大——須辨明方向。嚴格算：若在過最低點啟動（計為第 0 次），之後每次「到達同一側端點」間隔 T，第 30 次到達端點時刻為 T/4 + 29T = 29.25T（把 T/4 當作第一次端點）。以 30 個週期去除得 T′ = 29.25T/30 = 0.975T，偏小 2.5%，g′ = g/0.975² = 1.0518g，偏大約 5.2%。要點：計時起止必須對應同一相位（同為過最低點、同方向），端點與最低點混用會丟掉或多吃四分之一週期。
② 基本不變：如題1 所述，T² = k(ℓ + r) 只改變截距，斜率 k 不變，故斜率法求得的 g 不受漏加半徑影響；但若逐組算 g 則系統偏小。
③ 離散度變大、期望基本不變，但通常仍偏小：單次計一個週期，人的反應時間（約 0.1–0.2 s）在 2 s 的週期裡佔 5–10%，30 次取平均只能把隨機誤差降到 1/√30，不能消除啟動/停止的系統性遲滯；而測 30 個連續週期時反應時間只落在首尾各一次，相對影響降到約 0.3%。所以「測多週期」優於「多測單週期」，這也是題1 數據設計為 30T 的原因。

答案　(1) θ₀=0.261799 rad，週期偏大 0.428%，g 偏小約 0.86%（精確 −0.851%）。(2) ① 端點與最低點混用使 T′=0.975T，g 偏大約 5.2%；② 斜率法基本不變；③ 單週期多次取平均隨機誤差按 1/√30 降，但反應遲滯的系統影響遠大於 30 連續週期法，期望仍易偏小、離散度大。

採分點　θ₀ 化弧度 1 分；ε=θ²/16=0.428% 1 分；推出 g 偏小 −2ε≈−0.86% 1 分；給出精確 (1+ε)² 驗算 1 分；① 指出相位不一致並算出 0.975T 與 +5.2% 2 分；② 斜率不變、截距吸收 r 1 分；③ 區分隨機誤差 1/√30 與系統遲滯、說明測 30 連續週期更優 2 分。

易錯點　把 15° 直接平方而不化弧度（得 14 倍錯誤）；只算週期偏大就答 g 偏大，漏掉 g∝1/T² 的平方關係；① 只說「計時不準」不算出 0.975T 與 +5.2%；② 答成「偏小」，把斜率法與逐組法混為一談；③ 認為測 30 次單週期與測 30 個連續週期等價。

三、規律小結與對照表

單擺這組題真正考的是「線性化之後，什麼進斜率、什麼進截距」：擺長零點誤差只動截距， slope 求出的 g 不受影響；大擺角、相位錯、反應遲滯則都直接改 T，於是 g 按 1/T² 放大成兩倍的相對偏差。把五組 T² 擺出來先看直不直，再由截距反查球半徑，比逐組算 g 平均可靠得多。所有擺長、時間與修正係數均為自編示意數值，不代表真實測量記錄或儀器參數。

四、自測清單

• □ 先把 30T 除以 30 得 T，再平方，別把 t² 直接對 ℓ；
• □ 斜率 k 與 g=4π²/k 分開寫，單位 s²/m 別丟；
• □ 截距 b 除以 k 才是半徑，b≈0 只說明未發現零點偏差；
• □ 擺角一律化弧度再代入 θ²/16，別用角度數；
• □ 記牢 g∝1/T²，週期偏大 ε 則 g 偏小約 2ε；
• □ 計時起止取同一相位（同過最低點、同方向），端點不混用。