聯招物理·毛細上升法測液體表面張力係數

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

毛細管內液柱靜止時，表面張力沿管周豎直分量與液柱重力平衡：2πr·σcosθ = ρg·πr²h，化簡得 h = 2σcosθ/(ρgr)。三個前提寫清：① 管徑須用半徑 r，不是直徑；② h 是管內液麵相對外部自由液麵的高度差，不是液麵到管底的總長度；③ 完全潤溼時 cosθ ≈ 1，接觸角不為零必須保留 cosθ。

單管法的麻煩在於零點讀數：外部液麵位置、管插入深度、刻度零線常帶來一個固定偏移 δ。兩根不同內徑的管同時插入同一液體，各自 h = 2σ/(ρg r) + δ（δ 相同），相減即消掉 δ：σ = ρg·Δh / [2(1/r₁ − 1/r₂)]。下面 σ、ρ、r、h 均為自編示意取值。

二、逐題精講

題1

題1 單管反算與雙管差值法（數值題）

自編示意：某液體（示意取 σ = 0.0720 N/m、ρ = 1000 kg/m³），g = 9.80 m/s²，完全潤溼 cosθ = 1。
(1) 用內半徑 r₁ = 0.250 mm 的毛細管，求理論上升高度 h₁；(2) 實測讀得 h₁ = 58.8 mm，反算 σ；(3) 另用 r₂ = 0.400 mm 的管，求 h₂ 與兩管高度差 Δh，並用雙管差值法由 Δh 反算 σ；(4) 兩路結果是否一致？寫出閉合關係。

解析

(2) 反算： σ = h₁ρ g r₁ / 2 = 0.0588×1000×9.80×2.50×10⁻⁴ / 2 = 0.0588×2.450/2 = 0.07203 N/m（≈ 0.0720 ✓ 回代成立）。

(3) 第二根管： h₂ = 2σ/(ρ g r₂) = 0.1440 / (1000×9.80×4.00×10⁻⁴) = 0.1440 / 3.920 = 0.03673 m = 36.7 mm。
Δh = h₁ − h₂ = 58.8 − 36.7 = 22.1 mm = 0.0221 m。
1/r₁ = 1/2.50×10⁻⁴ = 4000 m⁻¹；1/r₂ = 1/4.00×10⁻⁴ = 2500 m⁻¹；差 = 1500 m⁻¹。
雙管法：σ = ρ g Δh / [2(1/r₁ − 1/r₂)] = 1000×9.80×0.0221 / (2×1500) = 216.6 / 3000 = 0.07219 N/m ≈ 0.0720 ✓（因 h 取三位有效數字產生約 0.3% 舍入差）。

(4) 一致，閉合關係： 由 h_i = 2σ/(ρgr_i) 得 Δh = (2σ/ρg)(1/r₁ − 1/r₂)，把 σ = 0.0720 代入：Δh = (0.1440/9800)×1500 = 1.4694×10⁻⁵×1500 = 0.02204 m = 22.04 mm，與題給 58.8 − 36.7 = 22.1 mm 在有效數字內一致 ✓。也可把反算的 σ 代回第二根管理論高度：2×0.07203/(9800×4.00×10⁻⁴) = 0.03674 m = 36.7 mm ✓ 三處閉合。

雙管法為什麼更穩： 若兩管讀數都含同一零點偏移 δ，則 h₁測 = h₁ + δ、h₂測 = h₂ + δ，相減時 δ 抵消，故 Δh 不受零線誤差影響；單管法卻會把 δ 全額帶進 σ。另可順帶注意 σ ∝ h·r：r 用錯（拿直徑當半徑）會使 σ 差 2 倍。

答案　(1) h₁=58.8 mm；(2) σ=0.07203 N/m；(3) h₂=36.7 mm，Δh=22.1 mm，雙管法 σ=0.07219 N/m；(4) 兩路一致，Δh=(2σ/ρg)(1/r₁−1/r₂)=22.04 mm 在有效數字內閉合，且反算 σ 代回 h₂=36.7 mm ✓。

採分點　四問各 2 分；公式中 r 為半徑、cosθ=1 的前提各 1 分；Δh 的閉合關係 1 分；雙管消零點偏移 δ 的說明 2 分；「直徑當半徑差 2 倍」1 分。

易錯點　把 r 當成直徑代入（σ 差 2 倍）；把 h 寫成液麵到管底總長度而非內外液麵差；忘記 cosθ（非完全潤溼時結果偏大）；雙管法把 1/r₁−1/r₂ 寫成 r₂−r₁；Δh 用兩位有效數字硬算導致誤差被放大；單管與雙管結果略有差異就以為算錯，不檢查舍入。

題2

題2 誤差方向與條件辨析

(1) 若 h₁ 讀數偏低 1.0 mm（實際 58.8 mm，讀成 57.8 mm），單管法算出的 σ 是多少？相對誤差多大、方向如何？若管半徑標稱值偏大 2%（實際更小），σ 又偏大還是偏小？
(2) 說明三種情形各帶來什麼後果：① 液體不潤溼管壁（θ > 90°）；② 毛細管內徑沿高度不均勻；③ 兩管插入同一液體但各自零點偏移不同（δ₁ ≠ δ₂）。
(3) 為什麼單管法要用讀數顯微鏡測內外液麵差，而不能只量管內液柱長度？

解析

(2) ① θ > 90° 時 cosθ < 0，公式給出 h < 0，即管內液麵下降（毛細下降），而非上升；此時若仍按 cosθ=1 處理，會把「下降量」當「上升量」，σ 的正負與量級全錯。實驗須先確認潤溼性，或獨立測 θ 並保留 cosθ。
② 內徑不均勻使 h = 2σ/(ρgr) 中的 r 不再是常數：液麵停在某一局部半徑處，讀數對應的是該處半徑而非標稱平均半徑；雙管差值法的 (1/r₁ − 1/r₂) 也隨之失真。應選用內徑均勻、經標定的毛細管，或在液麵所在位置實測內徑。
③ δ₁ ≠ δ₂ 時雙管法的抵消前提被破壞：Δh測 = (h₁+δ₁) − (h₂+δ₂) = Δh真 + (δ₁−δ₂)，殘留偏差 (δ₁−δ₂) 直接進入 σ，且因除以 (1/r₁−1/r₂) 被放大。故兩管須共用同一外液麵基準、同一次調零，最好固定在同一支架上同次讀數。

(3) 公式裡的 h 是管內凹液麵最低點相對外部自由液麵的高度差，不是管內液柱本身的長度：管插入液麵以下的那一截液柱並不參與「表面張力豎直分量 vs 液柱重力」的平衡關係（其重力由外部液體靜壓支撐）。只量管內液柱長度，會把插入深度一併計入，且插入深度隨操作變化，帶來不可控的系統偏差；此外管內液麵是彎月面，須以讀數顯微鏡對準凹液麵最低點並同時讀出外部平液麵位置，兩者相減才得 h。這也正是雙管法要共用同一外液麵基準的原因。

答案　(1) h 偏低 1.0 mm → σ=0.07081 N/m，約 −1.7%（偏小）；r 標稱偏大 2% → σ 偏大約 +2%。(2) ① θ>90° 為毛細下降，cosθ<0，按 cosθ=1 處理全錯；② 內徑不均使 r 非常數、局部半徑決定 h，雙管差值失真；③ δ₁≠δ₂ 使抵消失效，殘留 (δ₁−δ₂) 被放大，須同基準同次調零。(3) h 須是內外液麵差，插入段不參與平衡，且彎月面須對準最低點。

採分點　(1) 兩個數值與兩個方向各 1 分、相對誤差與 1/58.8 互驗 1 分；(2) 三情形各 2 分（現象＋原因）；(3) 「內外液麵差」1 分、插入段不參與平衡 1 分、彎月面最低點 1 分。

易錯點　把 h 偏低判成 σ 偏大；把 r 偏大判成 σ 偏小；θ>90° 時仍寫 h>0；以為雙管法在任何零點偏差下都能抵消；把「液柱長度」當 h；忽略彎月面讀數應取凹液麵最低點。

三、規律小結與對照表

毛細法收尾記三句：r 是半徑、h 是內外液麵差、Δh 用兩根管消零點。誤差方向分開記——h 讀低拉低 σ，r 標高抬高 σ；接觸角一旦不為零，cosθ 必須留在式子裡，θ>90° 更是直接變成毛細下降。雙管法能抵消的前提是「兩管共用同一外液麵基準、同一次調零」，δ₁≠δ₂ 就失效。最後把反算的 σ 代回 h₁、h₂ 各驗一次，閉合了才算數。本文表面張力、密度、管徑與高度均為自編示意取值，不代表任何真實液體參數。

四、自測清單

• □ 寫清 h = 2σcosθ/(ρgr)，檢查 r 是半徑、cosθ 是否可取 1；
• □ h 取內外液麵差（彎月面最低點對外平液麵），不量液柱總長；
• □ 單管反算 σ=hρgr/2，並代回原高度閉合；
• □ 雙管法用 Δh 與 (1/r₁−1/r₂)，寫明 δ 相同才抵消；
• □ 誤差題分判 h 與 r 兩個方向，並用相對誤差互驗；
• □ 非完全潤溼保留 cosθ，θ>90° 改判毛細下降。