聯招數學·遞推數列求通項：構造、取倒數與累加

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

求通項不靠猜，靠把遞推式改成「某個新數列是等差/等比」。看三類：
① a_{n+1} = p a_n + q（p≠1）：找不動點 L 滿足 L = pL + q，則 a_n − L 是公比 p 的等比數列；
② 分式型（如 a_{n+1} = a_n/(c a_n + d)）：取倒數 b_n = 1/a_n，常化為 b_{n+1} = p b_n + q；
③ a_{n+1} − a_n = f(n)：直接累加，注意求和上限是 n−1 不是 n。

每求出一個通項，必做兩件事：代回原遞推式驗前三項、檢查 n=1 是否滿足（累加/累乘型尤其容易在起點差一項）。下面四組首項與係數均為自編示意取值。

二、逐題精講

題1

題1 一階線性與分式遞推（兩解互驗）

自編四組遞推（n ≥ 1）：
① a₁ = 1，a_{n+1} = 2a_n + 3；
② a₁ = 1，a_{n+1} = a_n/(a_n + 2)；
③ a₁ = 2，a_{n+1} = a_n + 2n；
④ a₁ = 3，a_{n+1} = 3a_n − 4。
(1) 分別求四組通項；(2) 每組用「另一種推導」或「前三項回代」獨立驗證；(3) 指出①與④的不動點各是多少，並說明它怎樣決定構造方向。

解析

② 取倒數： 令 b_n = 1/a_n，則 b_{n+1} = (a_n+2)/a_n = 1 + 2b_n → b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)。
{b_n + 1} 首項 b₁+1 = 2、公比 2 → b_n + 1 = 2^n → b_n = 2^n − 1 → a_n = 1/(2^n − 1)。
驗證： a₁ = 1/(2−1)=1 ✓；a₂ = 1/3，而 1/(1+2)=1/3 ✓；a₃ = 1/7，而 (1/3)/(1/3+2) = (1/3)/(7/3) = 1/7 ✓。另可由 b₃ = 1+2b₂ = 1+2×3 = 7 反得 a₃ = 1/7 ✓ 兩路一致。

③ 累加： a_n = a₁ + Σ_{k=1}^{n−1} 2k = 2 + 2·(n−1)n/2 = 2 + n(n−1) = n² − n + 2。
驗證： a₁ = 1−1+2 = 2 ✓；a₂ = 4−2+2 = 4 = 2+2×1 ✓；a₃ = 9−3+2 = 8 = 4+2×2 ✓。關口：求和到 n−1；若誤寫到 n 會得 n²+n+2，a₂ 變 8，與遞推矛盾。

④ 構造等比： 設 a_{n+1} − c = 3(a_n − c) → a_{n+1} = 3a_n − 2c，對照 −2c = −4 得 c = 2。
{a_n − 2} 首項 3−2 = 1、公比 3 → a_n − 2 = 3^{n−1} → a_n = 3^{n−1} + 2。
驗證： a₁ = 1+2 = 3 ✓；a₂ = 3+2 = 5 = 3×3−4 ✓；a₃ = 9+2 = 11 = 3×5−4 ✓；不動點 L = 3L−4 → L = 2，a_n − L = a_n − 2 正是等比 ✓。

(3) 不動點： ① L = −3；④ L = 2。它給出的正是要平移的量：解 L = pL + q，則 a_{n+1} − L = p(a_n − L)，新數列 {a_n − L} 為等比。① 的 L 為負，故寫成 a_n + 3；④ 的 L 為正，寫成 a_n − 2。不必死記「加 c 還是減 c」，解方程即可。

答案　① a_n=2^{n+1}−3（L=−3）；② a_n=1/(2^n−1)；③ a_n=n²−n+2；④ a_n=3^{n−1}+2（L=2）。四組前三項回代均成立，①與④由不動點 L=pL+q 決定平移量。

採分點　四組通項各 2 分；每組前三項回代各 1 分；②取倒數後的線性化 1 分；③求和上限 n−1 的說明 1 分；兩個不動點及「a_n−L 成等比」各 1 分。

易錯點　①湊常數時符號弄反（寫成 a_{n+1}−3=2(a_n−3)）；②取倒數後把 b_{n+1}=1+2b_n 誤寫成 2+b_n；③累加求和寫到 n 而非 n−1；④把 c 解成 −2；任何一組不驗 n=1 就收筆。

題2

題2 分式一般型與累加變體（兩解互驗）

(1) 自編：a₁ = 2，a_{n+1} = 2a_n/(a_n + 1)。用取倒數法求通項，並用「不動點 + 前三項回代」另一路驗證。
(2) 自編：b₁ = 1，b_{n+1} = b_n + 3ⁿ（n ≥ 1）。求通項；再用 b₄ 的逐項遞推值與公式值對照。
(3) 說明：為什麼「取倒數」對 a_{n+1} = a_n/(a_n+2) 有效，卻對 a_{n+1} = a_n² + 1 無效？

解析

(2) 累加： b_n = b₁ + Σ_{k=1}^{n−1} 3^k = 1 + (3(3^{n−1} − 1)/(3−1)) = 1 + (3^n − 3)/2 = (3^n − 1)/2。
逐項對照： b₂ = 1+3 = 4，公式 (9−1)/2 = 4 ✓；b₃ = 4+9 = 13，公式 (27−1)/2 = 13 ✓；b₄ = 13+27 = 40，公式 (81−1)/2 = 40 ✓。等比數列求和上限同樣是 n−1，寫成 n 會在 n=1 處多出一項。

(3) 有效性判據： 取倒數之所以奏效，是因為 a_{n+1} = a_n/(c a_n + d) 這類分式一次型取倒數後得 1/a_{n+1} = c + (d/a_n) = d·(1/a_n) + c，即關於 1/a_n 的一階線性式，可繼續用構造等比求解。
而 a_{n+1} = a_n² + 1 取倒數得 1/a_{n+1} = 1/(a_n²+1) = 1/((1/c_n)²+1) = c_n²/(1+c_n²)，仍是 c_n 的非線性（二次有理）式，沒有化成線性遞推，故取倒數無效。判據一句話：變換後是否變成「新數列的一階線性遞推」；不是，就換別的手法（本題不展開）。這也說明「找不變量」比「背套路」更可靠。

答案　(1) a_n=2^n/(2^n−1)，前三項 2、4/3、8/7 回代成立，不動點 L=1 且 a_n→1；(2) b_n=(3^n−1)/2，b₂/b₃/b₄ = 4/13/40 與逐項遞推一致；(3) 分式一次型取倒數後是 1/a_n 的一階線性式，a_n²+1 取倒數仍為二次有理式，未線性化故無效。

採分點　(1) 取倒數線性化與通項各 2 分、不動點 1 分、前三項回代 1 分、極限方向 1 分；(2) 求和式與通項各 1 分、b₄ 對照 1 分；(3) 「是否化為一階線性」判據 2 分、二次有理式說明 1 分。

易錯點　(1) 把 c_{n+1} 算成 1 + c_n/2（係數錯位）；不動點解漏掉 L=1；(2) 等比求和上限寫成 n；(3) 只答「因為有平方」而不點明「變換後是否線性」這一判據；任何一問不驗 n=1。

三、規律小結與對照表

求通項只做一件事：找一個能變成等差/等比的新數列。一階線性解 L = pL+q 取 a_n−L；分式一次型取倒數；差式累加記得上限是 n−1。每求出一式，必代回原遞推驗前三項、並單獨驗 n=1——絕大多數錯都出在起點與求和上限。「取倒數為什麼對、什麼時候不對」也別背，看變換後是不是一階線性即可。本文四組首項與係數均為自編示意取值，與任何真實題目無關。

四、自測清單

• □ 先判遞推型：一階線性 / 分式一次 / 差式 / 非線性；
• □ 一階線性的不動點由 L=pL+q 解出，平移量不必死記；
• □ 取倒數後必須化成一階線性，否則換手法；
• □ 累加/等比求和的上限是 n−1，逐項寫出再化簡；
• □ 通項必代回原遞推驗 a₁、a₂、a₃，尤其單獨驗 n=1；
• □ 有不動點時順便看單調與極限方向，作定性互驗。