聯招物理·光柵衍射法測光波波長與光柵常數

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

光柵方程只有一行：d sinθ = kλ（垂直入射，d 為光柵常數，k 為級次）。它給出三件常用結論：① 由已知 d 與測得的 θ 求 λ；② 由 sinθ ≤ 1 得最高級次 k_max = ⌊d/λ⌋；③ 同一 λ 的 ±k 級在零級兩側對稱，取兩側角位置之差的一半作 θ，可抵消刻度盤零點/偏心誤差——這正是「讀 +k 與 −k 兩處」而不是隻讀一側的原因。

兩個前提要寫清：入射須垂直光柵面（否則方程要加入射角項），θ 是衍射角不是屏上位移，屏距 L 換算用 x = L·tanθ 而非 L·θ 或 L·sinθ。下面 d、λ、L 均為自編示意取值。

二、逐題精講

題1

題1 各級衍射角、最高級次與反算波長（數值題）

自編示意：每毫米 500 線的光柵（d = 1/500 mm = 2000 nm），單色示意波長 λ = 600.0 nm，垂直入射；屏距 L = 1.000 m。
(1) 求 k = 1、2、3 級衍射角 θ（用 arcsin，保留兩位小數）；(2) 求最高可見級次 k_max，並說明 k = 4 為何不存在；(3) 求 ±1 級在屏上的間距；(4) 若分光計讀得 +1 級 θ₊ = 17.50°、−1 級 |θ₋| = 17.30°（零點偏心），取對稱值反算 λ，並與真值比較。

解析

(2) 由 sinθ ≤ 1 得 k ≤ d/λ = 2000/600.0 = 3.333…，故 k_max = 3。k = 4 時 sinθ = 4×0.300 = 1.200 > 1，無實數角，故不存在；注意 d/λ 非整數時向下取整，不能四捨五入成 3 之外的值。

(3) x₁ = L·tanθ₁ = 1.000 × tan 17.46° = 1.000 × 0.3145 = 0.3145 m；±1 級對稱分居零級兩側，間距 2x₁ = 0.6291 m。若誤用 x ≈ L·sinθ 會得 0.3000 m、誤用 L·θ（弧度）得 0.3047 m，都偏小——這正是「用 tan 而非 sin/θ」的判分點。

(4) 對稱消偏心： θ = (θ₊ + |θ₋|)/2 = (17.50° + 17.30°)/2 = 17.40°；
λ_測 = d·sinθ / k = 2000 × sin 17.40° = 2000 × 0.29904 = 598.1 nm（k=1）。
相對真值 600.0 nm 偏小 (598.1−600.0)/600.0 ≈ −0.32%。
為什麼必須取兩側： 若存在零點偏心 e，單側讀數為 θ+e 與 θ−e，平均後 e 抵消；只用 +1 級 17.50° 會算得 λ = 2000×sin17.50° = 601.5 nm（偏大 +0.25%），只用 −1 級 17.30° 得 594.7 nm（偏小 −0.88%），兩者都帶系統偏差，而平均把偏差壓到只剩讀數不對稱的殘餘。

答案　(1) θ₁=17.46°、θ₂=36.87°、θ₃=64.16°；(2) k_max=3，k=4 時 sinθ=1.2>1；(3) 間距 2Ltanθ₁≈0.6291 m；(4) 對稱角 17.40°，λ測≈598.1 nm，偏小約 0.32%；單側讀數分別得 601.5/594.7 nm，均帶偏心。

採分點　三級角度各 1 分；k_max 與 k=4 的理由各 1 分；屏上間距及「用 tan」說明各 1 分；對稱平均 2 分；λ測數值與相對偏差各 1 分；單側兩種結果對比 1 分。

易錯點　把 sinθ 直接當 θ（弧度或度數）代入；把 d/λ=3.33 四捨五入成 k_max=4；用 x=L·sinθ 或 L·θ 代替 L·tanθ；只讀 +1 級不做對稱；把 ±1 級間距寫成 x₁（漏乘 2）；偏心題裡把兩角相減而非相加取半。

題2

題2 白光同級光譜、級次重疊與條件辨析

自編示意：仍用 d = 2000 nm 的光柵，改用示意白光（波長範圍 400.0 ~ 700.0 nm）垂直入射。
(1) 求 k = 1 與 k = 2 級中紫端（400.0 nm）與紅端（700.0 nm）的衍射角；(2) 判斷一級與二級光譜是否發生重疊，寫出判據；(3) 說明「入射不垂直」「把光柵刻線數當成 d」「用單側讀數」三種情形各帶來什麼後果。

解析

(2) 結論：一級與二級不重疊，二級與三級重疊。 判據是拿第 k 級的紅端角與第 (k+1) 級的紫端角比較：若 (k+1) 級紫端角小於 k 級紅端角，兩級才交疊。
一級佔 [11.54°, 20.49°]，二級佔 [23.58°, 44.43°]：二級紫端 23.58° 大於一級紅端 20.49°，中間還留一段空隙，故不重疊。
再看二級與三級：三級紫端 sinθ = 3×400/2000 = 0.600 → 36.87°，而二級紅端 44.43°，36.87° < 44.43°，故重疊，交疊區在 36.87°~44.43° 之間。
答題須把比較對象寫對，不能憑「級次多了肯定重疊」的印象直接判一級二級重疊——這恰是本題最想攔下的一處。
（等價的代數判據：k 級紅端 sinθ = k·700/d，(k+1) 級紫端 sinθ = (k+1)·400/d；重疊條件 (k+1)·400 < k·700，即 400k + 400 < 700k → k > 400/300 ≈ 1.33，故 k ≥ 2 起與下一級重疊 ✓ 與角度計算一致。）

(3) ① 入射不垂直：方程變為 d(sinθ ± sin i) = kλ（符號依入射方向），仍按 d sinθ = kλ 處理會給出系統性偏大或偏小的 λ，且 ±k 級不再對稱，對稱消偏心失效；須先調分光計使入射垂直。
② 把刻線數當成 d：「每毫米 500 線」是線密度，d 是其倒數 1/500 mm = 2000 nm；直接拿 500 代入會使 d 小 10⁶ 量級、λ 算得完全失真，且量綱不對（須帶長度單位）。
③ 只用單側讀數：零點/刻度盤偏心 e 無法抵消，θ 帶固定偏差；由 λ = d sinθ/k 可知 λ 同向偏差，且± 兩側分別偏大與偏小（見題1 第 4 問 601.5 / 594.7 nm）。

答案　(1) 一級 11.54°/20.49°（紫/紅），二級 23.58°/44.43°；(2) 一級與二級不重疊（23.58°>20.49°），二級與三級重疊（三級紫端 36.87°<二級紅端 44.43°）；代數判據 (k+1)·400<k·700 → k≥2；(3) 入射不垂直使方程加 sin i 且 ±k 不對稱；線密度須取倒數得 d；單側讀數無法消偏心，λ 帶系統偏差。

採分點　四個角度各 1 分；(2) 兩級比較與正確結論各 1 分、代數判據 1 分、指出「一級與二級不重疊」防印象判斷 1 分；(3) 三情形各 2 分（現象＋原因）。

易錯點　憑「級次多必重疊」直接答一級二級重疊；把比較對象搞反（拿 k+1 級紅端比 k 級紫端）；把線密度 500 當 d 代入；把 sinθ≤1 的最高級次判據誤用於白光（白光不同波長 k_max 不同：紅端 d/700≈2.86→2，紫端 d/400=5）；忽略入射垂直這一前提。

三、規律小結與對照表

光柵題收尾記三句：d 是線密度的倒數、θ 由 arcsin 得而屏上位移用 tan、±k 級取平均消偏心。白光情形別憑印象判重疊，老老實實比較「k 級紅端」與「(k+1) 級紫端」；不同波長的 k_max 還各不相同。最後把反算的 λ 代回 d sinθ = kλ 看是否回到原角度，閉合了才算數。本文光柵常數、波長與屏距均為自編示意取值，不代表任何真實器件規格。

四、自測清單

• □ 先把「每毫米 N 線」取倒數換算成 d，並統一長度單位；
• □ 用 sinθ=kλ/d 與 arcsin 求角，別把 sinθ 當角度；
• □ k_max=⌊d/λ⌋ 向下取整，白光按各波長分別判；
• □ 屏上位移 x=L·tanθ，±1 級間距記得乘 2；
• □ 讀 +k 與 −k 兩處取平均，寫明消掉的是零點/偏心；
• □ 重疊判據用「k 級紅端 vs (k+1) 級紫端」，並把結果代回原式驗算。