聯招數學·複數的三角形式與模、輻角的乘除運算

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

把 z = a + bi 寫成 z = r(cosθ + i sinθ)，其中 r = |z| = √(a²+b²)、θ 為輻角（主值常取 (−π, π]）。兩條運算規則：

z₁z₂ = r₁r₂[cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)]；z₁/z₂ = (r₁/r₂)[cos(θ₁−θ₂) + i sin(θ₁−θ₂)]；zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)（棣莫弗）。

寫答案時兩件事最容易漏：輻角要化到主值範圍內（超過 π 就減 2π），以及用代數形式回代一次（(a+bi)(c+di) 展開，模與輻角都能獨立驗）。下面兩題數值均為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1 三角形式的乘法與除法（兩路互驗）

設 z₁ = √3 + i，z₂ = 1 + i。
(1) 分別寫出 z₁、z₂ 的模與輻角主值；(2) 用三角形式求 z₁z₂ 與 z₁/z₂ 的模、輻角主值；(3) 用代數形式展開驗證 (2) 的兩個結果（模與輻角各驗一次）。

解析

(2) 乘法：|z₁z₂| = r₁r₂ = 2√2；輻角 = π/6 + π/4 = 5π/12（在 (−π, π] 內，無需化主值）。
除法：|z₁/z₂| = r₁/r₂ = 2/√2 = √2；輻角 = π/6 − π/4 = −π/12（負值已在主值範圍內）。

(3) 代數回代：
z₁z₂ = (√3 + i)(1 + i) = √3 + √3 i + i + i² = (√3 − 1) + (√3 + 1)i。
模² = (√3−1)² + (√3+1)² = (4 − 2√3) + (4 + 2√3) = 8 → 模 = 2√2 ✓。
輻角正切 = (√3+1)/(√3−1) = (√3+1)²/2 = (4 + 2√3)/2 = 2 + √3 = tan 75° = tan(5π/12) ✓（實部 √3−1 > 0、虛部 > 0，第一象限，角確為 5π/12 而非加 π）。
z₁/z₂ = (√3+i)/(1+i) = (√3+i)(1−i)/2 = [√3 − √3 i + i − i²]/2 = [(√3+1) + (1−√3)i]/2。
模² = [(√3+1)² + (1−√3)²]/4 = [(4+2√3)+(4−2√3)]/4 = 8/4 = 2 → 模 = √2 ✓。
輻角正切 = (1−√3)/(√3+1) = −(√3−1)/(√3+1) = −(2−√3) = −tan 15° = tan(−π/12) ✓（實部 > 0、虛部 < 0，第四象限）。
兩條路徑在模與輻角上全部閉合，說明「模相乘除、角相加減」用對了。

答案　(1) |z₁|=2、θ₁=π/6；|z₂|=√2、θ₂=π/4。(2) z₁z₂ 模 2√2、輻角 5π/12；z₁/z₂ 模 √2、輻角 −π/12。(3) 代數展開回代兩路均閉合。

採分點　(1) 兩個模與兩個輻角各 1 分；(2) 積與商的模 2 分、輻角 2 分、主值範圍說明 1 分；(3) 積的代數展開 1 分、模²=8 與 tan=2+√3 各 1 分、商的代數展開 1 分、模²=2 與 tan=−(2−√3) 各 1 分、象限判定 1 分。

易錯點　把 z₁ 的輻角寫成 π/3（把 √3+i 與 1+√3i 記混）；除法輻角寫成 π/12（漏負號）；求 z₁/z₂ 時分子分母同乘 (1+i) 而非共軛 (1−i)；用 tan 反推輻角時不判象限，把 −π/12 寫成 11π/12；輻角主值超過 π 不化回 (−π, π]。

題2

題2 棣莫弗定理與 z³ = 8i 的全部根

(1) 設 z = 1 + i，用棣莫弗定理求 z⁶ 與 z⁸，並用代數形式驗證；(2) 求方程 z³ = 8i 的全部複數根（寫成三角形式與代數形式），並逐個回代驗證；(3) 說明為什麼恰好是三個根、以及為什麼不能只寫一個。

解析

(2) 先把右端三角化：8i = 8(cos π/2 + i sin π/2)。設 z = r(cosθ + i sinθ)，則 z³ = r³(cos3θ + i sin3θ) = 8(cos π/2 + i sin π/2)，故 r³ = 8 → r = 2；3θ = π/2 + 2kπ → θ = π/6 + 2kπ/3（k = 0, 1, 2）。
k = 0：θ = π/6 → z₀ = 2(cos π/6 + i sin π/6) = √3 + i；
k = 1：θ = π/6 + 2π/3 = 5π/6 → z₁ = 2(cos 5π/6 + i sin 5π/6) = −√3 + i；
k = 2：θ = π/6 + 4π/3 = 3π/2（或 −π/2）→ z₂ = 2(cos 3π/2 + i sin 3π/2) = −2i。
逐個回代：
(√3+i)² = 3 + 2√3 i − 1 = 2 + 2√3 i；再乘 (√3+i)：(2+2√3i)(√3+i) = 2√3 + 2i + 6i + 2√3 i² = 2√3 + 8i − 2√3 = 8i ✓。
(−√3+i)² = 3 − 2√3 i − 1 = 2 − 2√3 i；再乘 (−√3+i)：= −2√3 + 2i + 6i − 2√3 i² = −2√3 + 8i + 2√3 = 8i ✓。
(−2i)² = −4；再乘 (−2i) = 8i ✓。
三根全部成立。

(3) 由 r³ = 8 得模唯一為 2；而輻角方程 3θ = π/2 + 2kπ 中 k 取 0, 1, 2 給出三個在 [0, 2π) 內互不相同的角，k = 3 時 θ = π/6 + 2π 與 k = 0 只差 2π，對應同一個複數，故恰好三個不同的根。這與「n 次方程在複數域恰有 n 個根（計重數）」一致；只寫一個（如 √3+i）會漏掉另外兩個，屬於不完整作答。幾何圖像：三根在複平面上位於半徑 2 的圓上、彼此相差 120°，構成正三角形，可作快速自檢。

答案　(1) z⁶ = −8i、z⁸ = 16，代數 (2i)³ 與 (2i)⁴ 驗證通過；(2) 三根 √3+i、−√3+i、−2i，逐個回代得 8i；(3) 模唯一、輻角在 [0,2π) 有三個解，k≥3 與前面重複，故恰三根。

採分點　(1) 三角形式 1 分、z⁶ 與 z⁸ 各 1 分、代數 (1+i)²=2i 及兩路驗證 2 分；(2) 8i 三角化 1 分、r=2 與 θ 通式 2 分、三根各 1 分、逐個回代 3 分；(3) 模唯一 1 分、k=0,1,2 與 2π 週期說明 1 分、n 次方程根數 1 分、幾何自檢 1 分。

易錯點　把 8i 的輻角寫成 0 或 π；解 3θ=π/2+2kπ 時漏掉 +2kπ，只取 θ=π/6 得一根；k 取到 3、4 寫出重複根卻當成新根；把 z⁶ 的輻角 3π/2 化成主值 −π/2 後寫成 +8i；代數驗證 (2i)³ 時把 i³ 算成 +i；忘記輻角主值範圍導致答案多解或漏解。

三、規律小結與對照表

複數三角形式就三句話：乘法模乘角加、除法模除角減、乘方交給棣莫弗；再加兩條紀律——輻角化到約定的主值範圍，以及每題都用代數形式回代一次（展開算模、用 b/a 算 tan 並判象限）。開方題記住 3θ = θ₀ + 2kπ 裡的 +2kπ，k 取 0,1,2 正好三個根，漏了就少寫兩根。本題組複數與數值均為自編示意；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

四、自測清單

• □ 先把 a+bi 化成 r(cosθ+i sinθ)，用象限定 θ，不只靠 arctan；
• □ 乘法角相加、除法角相減，結果化到主值範圍；
• □ 用 (a+bi)(c+di) 展開獨立驗模，用虛部/實部比驗 tan；
• □ 乘方寫 zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)，nθ 超 2π 要化簡；
• □ 開方一定寫 3θ = θ₀ + 2kπ，k 取滿 0~n−1；
• □ 每個根都回代一次，別隻驗第一個；
• □ 說明根數時回到「n 次方程恰有 n 個根」。