聯招物理·氣墊導軌與光電門驗證動量守恆及恢復係數

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

氣墊導軌把摩擦壓到很小，光電門把速度測得很細，於是«驗證動量守恆»看起來只是代入 m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′。但動量守恆是必要不充分的檢驗：隨便編一組碰後速度，只要滿足一個線性方程就能讓動量「對上」，可它未必是真實碰撞。

所以完整流程要三步：換算速度（v = d/Δt，d 為擋光片寬度，Δt 為遮光時間，得的是擋光片通過門的平均速度，擋光片足夠窄時才近似瞬時速度）→ 驗動量 → 再驗恢復係數與動能（e = (v₂′ − v₁′)/(v₁ − v₂)，彈性碰撞 e=1 且動能守恆，完全非彈性 e=0 且動能損失最大；e>1 或動能增加而無內能輸入，數據必有問題）。下面數據為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1 完全非彈性碰撞：速度換算、共同速度與動能損失

自編示意裝置：水平氣墊導軌上，滑塊 A（m₁ = 0.300 kg）以 v₁ = 0.600 m/s 向右運動，滑塊 B（m₂ = 0.200 kg）靜止；兩滑塊上各裝寬度 d = 1.00 cm 的擋光片。碰後兩滑塊由尼龍搭扣粘在一起，測得粘連體擋光時間 Δt′ = 27.8 ms。
(1) 由 Δt′ 求碰後共同速度 v′；(2) 用動量守恆求理論共同速度並比較；(3) 求碰撞中損失的動能；(4) 求碰前 A 通過光電門的遮光時間 Δt₁。

解析

(2) 碰前總動量 p = m₁v₁ + m₂v₂ = 0.300 × 0.600 + 0 = 0.180 kg·m/s。粘連後總質量 m₁+m₂ = 0.500 kg，故 v′_理 = 0.180/0.500 = 0.360 m/s。與(1)的實測 0.360 m/s 一致；若寫成 Δt′ = d/v′ = 0.0100/0.360 = 0.0278 s，恰好回到題給讀數，回代閉合。
（寫成分式更清楚：v′ = m₁v₁/(m₁+m₂) = 0.18/0.50。）

(3) 碰前動能 E_k = ½m₁v₁² = ½ × 0.300 × 0.600² = 0.0540 J；碰後 E_k′ = ½(m₁+m₂)v′² = ½ × 0.500 × 0.360² = 0.0324 J。損失 ΔE = 0.0540 − 0.0324 = 0.0216 J。
另一路驗算：完全非彈性碰撞的損失可直接寫 ΔE = ½·[m₁m₂/(m₁+m₂)]·(v₁−v₂)² = ½ × (0.06/0.50) × 0.36 = ½ × 0.12 × 0.36 = 0.0216 J ✓，兩路一致。損失佔碰前動能 0.0216/0.0540 = 40.0%，正是 m₂/(m₁+m₂) = 0.2/0.5 = 0.4，可作為量綱與係數的快速核對。

(4) Δt₁ = d/v₁ = 0.0100/0.600 = 0.0167 s = 16.7 ms。注意(1)(4)都用同一個 d，擋光片寬度若記成 1.0 mm 會讓兩個速度同時差十倍——讀數題先統一單位。

系統誤差方向：氣墊未調平、導軌有殘餘阻力會使碰後速度略偏小；擋光片有寬度、測的是平均速度，若滑塊在通過門期間仍在減速，讀數相對瞬時速度偏低；搭扣粘合瞬間的輕微外力會使動量檢驗出現小偏差。三處都隻影響末位，不改變 0.360 這一結論。

答案　(1) v′ ≈ 0.360 m/s；(2) 理論 0.360 m/s，與實測一致；(3) 損失動能 0.0216 J（佔 40.0%）；(4) Δt₁ = 16.7 ms。

採分點　寫出 v = d/Δt 並統一單位 1 分；(1) 數值 1 分；碰前總動量 0.180 kg·m/s 2 分；(2) 理論值與實測比較、回代 Δt′ 2 分；(3) 前後動能與損失 3 分、約化質量第二路驗算 1 分；(4) 16.7 ms 1 分；系統誤差方向 1 分。

易錯點　把 d = 1.00 cm 當成 1.00 mm 或忘換米；把 Δt′ = 27.8 ms 直接代入 v = d/Δt 時未化成秒；把碰後質量寫成 0.300 kg；動能損失算成 0.0540 − 0.0324 時漏掉 ½；把「損失 40%」寫成「剩 40%」。

題2

題2 數據自洽審查：動量對上了仍可能是假數據

另一組自編記錄：仍取 m₁ = 0.300 kg、v₁ = 0.600 m/s、m₂ = 0.200 kg 靜止，換用彈性碰撞頭後，某次記錄給出碰後 v₁′ = −0.120 m/s（A 反彈）、v₂′ = 1.080 m/s。
(1) 檢驗這組數據的動量是否守恆；(2) 計算恢復係數 e 與碰後總動能，判斷數據是否可信並說明理由；(3) 若碰撞確為彈性（e = 1），求正確的 v₁′、v₂′ 並驗證動量與動能雙守恆。

解析

(2) 恢復係數：e = (v₂′ − v₁′)/(v₁ − v₂) = [1.080 − (−0.120)]/0.600 = 1.200/0.600 = 2.00。對無內能釋放的普通碰撞，應有 0 ≤ e ≤ 1；e = 2 > 1 意味著分離速度大於接近速度，屬於「超彈性」，與題設的被動碰撞頭矛盾。
動能檢驗：E_k′ = ½ × 0.300 × 0.120² + ½ × 0.200 × 1.080² = 0.00216 + 0.11664 = 0.1188 J，而碰前僅 0.0540 J，憑空多出 0.0648 J（+120%），同樣不可能。結論：動量雖對，數據不可信，最可能是 v₂′ 讀數或小數點記錯（如把 0.720 記成 1.080）或把兩次實驗的記錄串了行。

(3) e = 1 的正確解：聯立
0.300 v₁′ + 0.200 v₂′ = 0.180（動量）
v₂′ − v₁′ = 1 × 0.600 = 0.600（恢復係數定義，v₂ = 0）
由第二式 v₂′ = v₁′ + 0.600 代入第一式：0.500 v₁′ + 0.120 = 0.180 → v₁′ = 0.120 m/s，v₂′ = 0.720 m/s。
雙驗算：動量 0.300 × 0.120 + 0.200 × 0.720 = 0.036 + 0.144 = 0.180 ✓；動能 ½ × 0.300 × 0.0144 + ½ × 0.200 × 0.5184 = 0.00216 + 0.05184 = 0.0540 J ✓ 與碰前相等；e = (0.720 − 0.120)/0.600 = 1.00 ✓。
也可用彈性碰撞通式核對：v₁′ = [(m₁−m₂)/(m₁+m₂)]v₁ = (0.100/0.500) × 0.600 = 0.120；v₂′ = [2m₁/(m₁+m₂)]v₁ = (0.600/0.500) × 0.600 = 0.720，兩路一致。注意 A 並不反彈（m₁ > m₂），題給「A 反彈」本身已是線索。

答案　(1) 動量 0.180 = 0.180，守恆；(2) e = 2.00 > 1、碰後動能 0.1188 J > 0.0540 J，數據不可信；(3) v₁′ = 0.120 m/s、v₂′ = 0.720 m/s，動量與動能雙守恆。

採分點　(1) 動量計算 2 分；(2) e 公式與數值 2 分、0≤e≤1 判據 1 分、動能前後比較 2 分、給出「數據不可信」及可能原因 1 分；(3) 聯立兩式 2 分、兩速度各 1 分、動量/動能/e 三路驗算各 1 分、通式核對 1 分。

易錯點　只驗動量就下「守恆成立、數據可信」的結論；把 e 寫成 (v₁′−v₂′)/(v₁−v₂) 得 −2 後取絕對值；忘記 v₂ = 0 而把分母寫成 0.600 − 0 之外的量；把彈性碰撞公式裡 2m₁/(m₁+m₂) 寫成 m₁/(m₁+m₂)；算出 A 反彈卻不與 m₁>m₂ 的物理圖像對照。

三、規律小結與對照表

這道題真正要練的不是「會不會算動量」，而是算完之後還肯不肯再算一步。動量只是一個線性方程，一組編錯的數據完全可以剛好滿足它；再加上恢復係數與動能這兩道非線性/二次的關卡，假數據就藏不住了。考場上把「v = d/Δt → Σmv → e 與 Σ½mv²」寫成固定三步，既拿全採分點，也不會被「動量恰好對上」騙過去。裝置、滑塊質量、讀數與記錄均為自編示意，不代表真實測量；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

四、自測清單

• □ 先把擋光片寬度換成米、遮光時間換成秒，再算 v = d/Δt；
• □ 動量守恆只算「必要」條件，不能據此單獨判定數據可信；
• □ 必算 e = (v₂′−v₁′)/(v₁−v₂)，普通碰撞應 0 ≤ e ≤ 1；
• □ 必算碰後總動能，不得大於碰前（無內能釋放時）；
• □ 完全非彈性用 v′ = m₁v₁/(m₁+m₂)，彈性用通式並聯立驗證；
• □ 用 m₁ 與 m₂ 的大小關係預判「輕者是否被彈回」，與結果對照；
• □ 末位寫明系統誤差方向（調平、阻力、擋光片寬度）。