聯招數學·給值求角與角的範圍討論

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

這類題的固定動作是先平方、再驗符號：由 (sinα + cosα)² = 1 + sin2α 可立刻得 sin2α，但平方把 α 的象限信息抹掉了，所以後面每一個帶根號的量（如 cosα − sinα）都必須回原範圍定符號。

兩條工具要備好：① (cosα − sinα)² = 1 − sin2α，開方後靠「cosα 與 sinα 誰大」定正負；② 輔助角公式 sinα + cosα = √2 sin(α + π/4)，既用來判斷給值是否可能（|值| ≤ √2），也用來把 α 的區間夾出來。三角形裡還要加一條：A ∈ (0, π) 且 A + B + C = π。下面數據為自編示意，全部經數值回代驗證。

二、逐題精講

題1

題1 平方求值與符號判定（含數值回代）

自編：已知 sinα + cosα = 1/2，且 α ∈ (0, π)。

(1) 求 sin2α；(2) 判斷 α 所在區間，並說明 sinα、cosα 的符號；(3) 求 cosα − sinα 的值；(4) 用 sin²α + cos²α = 1 回代驗證。

解析

(2) 範圍：α ∈ (0, π) ⇒ 2α ∈ (0, 2π)。由 sin2α = −3/4 < 0 得 2α ∈ (π, 2π)，故 α ∈ (π/2, π)，為鈍角：sinα > 0、cosα < 0。
解的存在性校驗（輔助角）：sinα + cosα = √2 sin(α + π/4) = 1/2 → sin(α + π/4) = 1/(2√2) ≈ 0.3536。α + π/4 ∈ (3π/4, 5π/4)，其中 sin > 0 的部分是 (3π/4, π)，故 α + π/4 ∈ (3π/4, π) → α ∈ (π/2, 3π/4)，比 (π/2, π) 更緊，且確有解（α ≈ 1.995 rad ≈ 114.3°）。這一驗不可省：它排除了「條件不相容」的可能。

(3) (cosα − sinα)² = 1 − sin2α = 1 + 3/4 = 7/4，故 |cosα − sinα| = √7/2。
由 (2) 知 cosα < 0 < sinα，故 cosα − sinα < 0，取 cosα − sinα = −√7/2（≈ −1.3229）。開方後定符號這一步是本題最大采分點，只寫 ±√7/2 不給分。

(4) 回代：聯立 sinα + cosα = 1/2 與 cosα − sinα = −√7/2：
2sinα = 1/2 + √7/2 = (1+√7)/2 → sinα = (1+√7)/4 ≈ 0.9114；
2cosα = 1/2 − √7/2 = (1−√7)/2 → cosα = (1−√7)/4 ≈ −0.4114。
sin²α + cos²α = [(1+√7)² + (1−√7)²]/16 = [ (8+2√7) + (8−2√7) ]/16 = 16/16 = 1 ✓；
sin2α = 2sinαcosα = 2×[(1+√7)(1−√7)]/16 = 2×(1−7)/16 = −12/16 = −3/4 ✓。兩式全對，結果成立。

答案　(1) sin2α=−3/4；(2) α∈(π/2,3π/4) 為鈍角，sinα>0、cosα<0；(3) cosα−sinα=−√7/2；(4) 解得 sinα=(1+√7)/4、cosα=(1−√7)/4，平方和為 1、sin2α=−3/4，回代一致。

採分點　平方關係寫出 1 分；sin2α 數值 1 分；2α 範圍推導 2 分；輔助角驗存在區間 2 分；sin/cos 符號 1 分；(cosα−sinα)² 式 1 分；定負號理由 2 分；結果 1 分；聯立回代兩式各 1 分。

易錯點　平方後漏掉 sin²+cos²=1 得 sin2α=1/4；把 cosα−sinα 寫成 +√7/2（不看鈍角符號）；把 α 判成銳角；不做輔助角存在性校驗，遇到條件不相容的題就發現不了；回代時把 (1±√7)² 展開錯。

題2

題2 三角形內角約束與兩解討論

自編：(1) 在 △ABC 中，若 sinA + cosA = 1/2，判斷三角形按角分類屬於哪一類，並求 sin2A；(2) 若把條件改為 sinA + cosA = 7/5，求 sin2A 並討論 A 有幾個可能值、三角形形狀能否唯一確定。

解析

(2) 兩解情形：先查可行性：7/5 = 1.4 < √2 ≈ 1.414，給值在允許範圍內 ✓。
平方：1 + sin2A = (7/5)² = 49/25 → sin2A = 24/25 = 0.96 > 0。
A ∈ (0, π) ⇒ 2A ∈ (0, 2π)，sin2A > 0 給 2A ∈ (0, π)，即 A ∈ (0, π/2)，A 為銳角。
但 sin2A = 24/25 在 (0, π) 內有兩個解：2A = arcsin(24/25) ≈ 73.74° 或 2A = π − arcsin(24/25) ≈ 106.26°，故 A ≈ 36.87° 或 A ≈ 53.13°。
兩者都要保留：它們都滿足 sinA + cosA = 7/5（可數值回代：sin36.87°≈0.600、cos≈0.800，和 1.400；sin53.13°≈0.800、cos≈0.600，和同樣 1.400 ✓），且都落在 (0, π/2) 內，題目沒有給「A 是最大角/最小角」之類附加條件，無法捨去任何一個。
形狀結論：A 是銳角，但 B、C 中完全可能有一個鈍角（例如 A ≈ 36.87°、B = 100°、C ≈ 43.13° 滿足內角和），也可能三個角都是銳角。故三角形形狀不能唯一確定——只能確定「A 為銳角、sin2A = 24/25、A 有兩個可能值」。把「兩解」寫成一解，或據此斷言「銳角三角形」，是本題兩處最高發的錯。

答案　(1) A 為鈍角（A∈(π/2,3π/4)），△ABC 為鈍角三角形，sin2A=−3/4；(2) sin2A=24/25，A≈36.87° 或 53.13° 兩解均成立，三角形形狀不能唯一確定（A 銳角但 B 或 C 可為鈍角）。

採分點　(1) sin2A 數值 1 分；A 鈍角推導 2 分；鈍角三角形結論 1 分；B+C 自洽說明 1 分；(2) 可行性 |值|≤√2 1 分；sin2A 數值 1 分；2A 範圍 1 分；兩解及數值各 1 分；兩解均滿足的回代 2 分；形狀不唯一結論 2 分；舉例說明 B 可為鈍角 1 分。

易錯點　(1) 把「sin2A<0」誤判成 A 為銳角；漏寫三角形內角和自洽；(2) 只取 arcsin 一個解；見 sin2A>0 就斷言「銳角三角形」；忘記先查 |sinA+cosA| ≤ √2；把 7/5 誤當成大於 √2 而判條件不相容。

三、規律小結與對照表

給值求角的可靠節奏是「平方 → 驗符號 → 查存在 → 回代」：平方給出數值，象限給出符號，輔助角給出解到底存不存在、有幾個，最後聯立回代把 sinα、cosα 都解出來驗一遍。尤其在三角形裡，sin2A > 0 只能說明 A 是銳角，不能說明整個三角形是銳角三角形。本題數據均為自編示意，全部經數值回代驗證。

四、自測清單

• 先寫 (sinα+cosα)²=1+sin2α，別漏掉平方和=1
• 算出 sin2α 後立刻用 2α 的範圍定 α 象限
• 凡開平方（cosα−sinα）必回原範圍定正負
• 用 √2 sin(α+π/4) 檢查給值是否 ≤√2、解落在哪段
• sin2A=k>0 在 (0,π) 內有兩個 2A 解，別隻取 arcsin
• 三角形題寫內角和自洽；A 銳角 ≠ 銳角三角形
• 聯立解出 sinα、cosα，代回 sin²+cos²=1 與 sin2α 雙驗