聯招物理·凸透鏡焦距測量：自準法與共軛法

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

共軛法的巧妙之處：把物與屏固定在距離 L 處，移動透鏡會有兩個位置能成清晰像，兩者相距 d。設兩次的物距/像距互換（u₁ = v₂、v₁ = u₂），由 u + v = L、v − u = d 可得 u = (L−d)/2、v = (L+d)/2，代入 1/f = 1/u + 1/v 即得 f = (L² − d²)/(4L)。全程不必知道光心精確位置，只讀 L 與 d。

成立條件藏在這個式子裡：d 為實數要求 L ≥ 4f（L = 4f 時 d = 0，兩次位置重合，只有一個像）。所以實驗前要先把物屏距離拉到足夠大。下面距離、位置與放大率均為自編示意，全部經公式回代驗證。

二、逐題精講

題1

題1 共軛法求焦距（含推導與回代）

自編示意實驗：物與光屏固定相距 L = 80.0 cm。移動凸透鏡，找到兩個能在屏上成清晰像的位置，兩位置間距 d = 40.0 cm。

(1) 由 1/f = 1/u + 1/v 與 u+v = L 推導 f = (L² − d²)/(4L)；(2) 求 f，並求兩次成像的物距、像距與放大率；(3) 用透鏡公式逐次回代驗算；(4) 說明為什麼必須滿足 L > 4f。

解析

(2) f = (80.0² − 40.0²)/(4×80.0) = (6400 − 1600)/320 = 4800/320 = 15.0 cm。
u₁ = (80.0−40.0)/2 = 20.0 cm，v₁ = (80.0+40.0)/2 = 60.0 cm，放大率 m₁ = v₁/u₁ = 3.0（放大實像）；
第二次 u₂ = 60.0 cm、v₂ = 20.0 cm，m₂ = 1/3 ≈ 0.333（縮小實像）。兩次放大率互為倒數，可作快速自檢。

(3) 逐次回代：
第一次 1/20.0 + 1/60.0 = 3/60 + 1/60 = 4/60 = 1/15.0 → f = 15.0 cm ✓；
第二次 1/60.0 + 1/20.0 同上 ✓；
再用 f 公式反算：d² = L² − 4Lf = 6400 − 4×80.0×15.0 = 6400 − 4800 = 1600 → d = 40.0 cm ✓ 與題給一致。三路閉合。

(4) 條件：由 d² = L² − 4Lf ≥ 0 得 L ≥ 4f。L = 4f 時 d = 0，兩個成像位置重合，只有一個像，無法測 d；L < 4f 時 d² < 0，無實位置能成清晰實像。故須 L > 4f。本題 4f = 60.0 cm < 80.0 cm ✓ 條件滿足；若把物屏距縮到 50.0 cm，則無論怎麼移動透鏡都得不到兩個清晰像。寫出「由 d² ≥ 0 推出」比只背結論更穩。

答案　(1) 由光路可逆得兩次物像距互換，聯立得 f=(L²−d²)/(4L)；(2) f=15.0 cm，u₁/v₁=20.0/60.0 cm、m₁=3.0，u₂/v₂=60.0/20.0 cm、m₂=1/3；(3) 兩次透鏡公式與 d 反算三路一致；(4) d²=L²−4Lf≥0 ⇒ L>4f（本題 4f=60.0 cm）。

採分點　光路可逆與兩次互換 2 分；聯立求 u、v 2 分；推導 f 公式 2 分；f 數值 1 分；四個物像距各 0.5 分；兩放大率 1 分；逐次回代 2 分；d 反算 1 分；L>4f 推導 2 分；本題條件核對 1 分。

易錯點　推導時沒有寫出「兩次物像距互換」，直接套公式；把 d 當成「像距之差」而非「透鏡兩位置之差」；把 f 公式記成 (L²−d²)/(2L)；放大率寫成 u/v；忘記 L>4f 條件，或把 4f 算成 2f。

題2

題2 自準法、1/u–1/v 圖與誤差方向

承接題1。(1) 簡述自準法的操作與讀數，寫出它給出的 f；(2) 由下表示意數據作 1/v–1/u 圖，寫出線性關係並求 f：

(3) 說明 L 讀數偏大、d 讀數偏小分別使 f 偏大還是偏小，並解釋共軛法為什麼比「逐次測 u、v」更準。

解析

(2) 線性化：由 1/u + 1/v = 1/f 得 1/v = 1/f − 1/u，即 1/v 對 1/u 是斜率為 −1、縱截距為 1/f 的直線。
把表中數據取倒數（單位 cm⁻¹）：

任意兩點檢驗斜率：(0.0333−0.0167)/(0.0500−0.0333) 取絕對值 ≈ 1 ✓（取 (0.0167, 0.0500) 與 (0.0500, 0.0167)：Δ(1/v)/Δ(1/u) = −0.0333/0.0333 = −1）；截距 = 1/v + 1/u = 0.0167 + 0.0500 = 0.0667 cm⁻¹，故 f = 1/0.0667 ≈ 15.0 cm ✓ 與共軛法一致。中間點 u=v=30.0 cm 時 1/u=1/v=1/30，正是 2f 位置（u=v=2f=30.0 cm），可作獨立校驗。

(3) 誤差方向，用 f = (L² − d²)/(4L) = L/4 − d²/(4L) 判斷：
L 讀數偏大：對 L 求增量，∂f/∂L = 1/4 + d²/(4L²) > 0，故 f 偏大。
d 讀數偏小：∂f/∂d = −d/(2L) < 0，d 減小使 f 增大，故 f 也偏大。可用數值驗：L=80.0、d=39.0 時 f = (6400−1521)/320 = 15.25 cm > 15.0 ✓；L=81.0、d=40.0 時 f = (6561−1600)/324 ≈ 15.31 cm > 15.0 ✓。
為什麼更準：① 只需測 L（物屏固定距離）與 d（透鏡兩位置差），二者都是可直接量出的長度，不必確定透鏡光心的精確位置，避開了逐次測 u、v 時的主要系統誤差；② 兩次成像互為共軛，放大率互為倒數，可自檢；③ 用差值 d 而非絕對位置，刻度尺零點偏差被抵消一部分。寫出「避開光心定位」這一句是採分核心。

答案　(1) 透鏡後加平面鏡，移到像與物等大倒立清晰，物距即 f=15.0 cm；(2) 1/v = 1/f − 1/u，斜率 −1、截距 0.0667 cm⁻¹ ⇒ f≈15.0 cm；(3) L 偏大與 d 偏小均使 f 偏大；共軛法只測 L、d，不需確定光心位置且可自檢。

採分點　自準法三層判據各 1 分；f 讀數 1 分；線性化公式 2 分；倒數表 1 分；斜率與截距各 1 分；f 數值 1 分；u=v=2f 校驗 1 分；兩項誤差方向各 1 分；偏導數或數值驗算 2 分；「避開光心定位」2 分；自檢/零點理由 1 分。

易錯點　自準法把平面鏡放在透鏡前側；把「等大倒立」寫成「等大正立」；線性化寫成 1/v = 1/u + 1/f 導致斜率 +1；截距取成 f 而非 1/f；把 d 偏小判成 f 偏小（負號漏掉）；只答「更方便」不寫避開光心定位。

三、規律小結與對照表

共軛法的價值不在公式本身，而在它把「測光心到物的距離」換成了「測兩位置之差」：L 與 d 都是尺上直接讀的長度，光心定位這一最大誤差源被繞開了。算完用透鏡公式逐次回代、用 u=v=2f 校驗一次，再看 L>4f 是否滿足，三步齊全就穩。本文距離、位置與放大率均為自編示意數據，全部經公式回代驗證。

四、自測清單

• 推導先寫「光路可逆 → 兩次物像距互換」，別直接套公式
• 把 d 理解為透鏡兩位置之差，不是像距之差
• 算完用 1/u+1/v=1/f 逐次回代，並用 d²=L²−4Lf 反算
• 先查 L>4f；L=4f 時只有一個像，d=0
• 1/v–1/u 圖斜率是 −1、截距是 1/f，別取成 f
• 誤差題用偏導或代一組鄰近數值判方向，別憑直覺