聯招數學·中線長與角平分線長公式的推導

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

記號先定死：△ABC 中，a = BC、b = CA、c = AB；m_a 是 BC 邊上中線 AD 的長，l_a 是 ∠A 的角平分線 AE 的長。兩條公式都要能推出來，而不只是代：

中線走阿波羅尼奧斯定理：AB² + AC² = 2(AD² + BD²)，其中 BD = a/2；角平分線先由角平分線定理分出 BD : DC = c : b，再套斯圖爾特定理 b²m + c²n = a(d² + mn)，或走 l_a = 2bc cos(A/2)/(b+c)。下面邊長與結果均為自編示意，全部經代數回代驗證。

二、逐題精講

題1

題1 中線長推導與三路驗算

自編三角形：a = BC = 6，b = CA = 5，c = AB = 4，D 為 BC 中點。

(1) 由阿波羅尼奧斯定理求中線 m_a = AD；(2) 用向量法獨立推導同一公式；(3) 用餘弦定理在 △ABD 與 △ACD 中做第三路驗算。

解析

(2) 向量法：取 A 為原點，設向量 AB = **u**、AC = **v**，則 |**u**| = c = 4、|**v**| = b = 5，BC = **v** − **u**，故 a² = |**v**−**u**|² = b² + c² − 2**u**·**v** → **u**·**v** = (b²+c²−a²)/2 = (25+16−36)/2 = 5/2。
D 為 BC 中點，AD = (**u** + **v**)/2，故
m_a² = ¼|**u**+**v**|² = ¼(b² + c² + 2**u**·**v**) = ¼(25 + 16 + 5) = 46/4 = 11.5 ✓ 與 (1) 一致。
把 **u**·**v** 的表達式代回即得 m_a² = (2b²+2c²−a²)/4，公式本身也被推出來了，不是隻驗了數。

(3) 餘弦定理第三路：先求 cos B = (a² + c² − b²)/(2ac) = (36+16−25)/(2×6×4) = 27/48 = 9/16。
在 △ABD 中 BD = 3、AB = 4、∠ABD = B：
AD² = AB² + BD² − 2·AB·BD·cos B = 16 + 9 − 2×4×3×(9/16) = 25 − 216/16 = 25 − 13.5 = 11.5 ✓。
再用 △ACD 交叉驗：cos C = (a² + b² − c²)/(2ab) = (36+25−16)/(2×6×5) = 45/60 = 3/4；AD² = AC² + CD² − 2·AC·CD·cos C = 25 + 9 − 2×5×3×(3/4) = 34 − 22.5 = 11.5 ✓。四路（定理、向量、兩個三角形）全部閉合。

答案　(1) m_a² = (2b²+2c²−a²)/4 = 11.5，m_a = √46/2 ≈ 3.391；(2) 向量法 m_a² = ¼(b²+c²+2u·v) = 11.5，並推出同一公式；(3) △ABD 與 △ACD 各用餘弦定理均得 11.5。

採分點　阿波羅尼奧斯定理寫出 2 分；代入與結果 2 分；整理出公式 1 分；向量法 u·v 推導 2 分；¼|u+v|² 結果 1 分；公式推出 1 分；cos B 1 分；兩三角形各 1 分；四路閉合結論 1 分。

易錯點　阿波羅尼奧斯寫成 c²+b² = 2(AD²+BD)（BD 漏平方）；把 a/2 代成 a；向量法把 u·v 符號寫成 (a²−b²−c²)/2；第三路漏乘 2 或把 cos B 代成 cos C；只驗一個數就說「公式得證」。

題2

題2 角平分線長推導與兩法互驗

承接題1，E 為 ∠A 的角平分線與 BC 的交點。

(1) 由角平分線定理求 BE、EC；(2) 用斯圖爾特定理求 l_a = AE；(3) 用 l_a = 2bc cos(A/2)/(b+c) 獨立驗算；(4) 比較 m_a 與 l_a 的大小並說明是否普遍。

解析

(2) 斯圖爾特定理：對 cevian AE，記 m = BE = 8/3、n = EC = 10/3、a = m+n = 6、d = l_a，公式為 b²m + c²n = a(d² + mn)（注意 b 對的是 n 側、c 對的是 m 側，按圖對應不能互換）。
左邊 = 25×(8/3) + 16×(10/3) = 200/3 + 160/3 = 360/3 = 120。
右邊 = 6(d² + (8/3)(10/3)) = 6d² + 6×80/9 = 6d² + 160/3。
令兩式相等：120 = 6d² + 160/3 → 6d² = 120 − 160/3 = 200/3 → d² = 100/9 → l_a = 10/3 ≈ 3.333。
整理成通式：l_a² = bc[1 − a²/(b+c)²] = bc[(b+c)² − a²]/(b+c)²，即 l_a = √(bc[(b+c)²−a²])/(b+c)。本題 √(20×45)/9 = 30/9 = 10/3 ✓。

(3) 第二路驗算：先由余弦定理 cos A = (b²+c²−a²)/(2bc) = (25+16−36)/40 = 5/40 = 1/8。
半角：cos(A/2) = √((1+cos A)/2) = √(9/16) = 3/4。
l_a = 2bc cos(A/2)/(b+c) = 2×5×4×(3/4)/9 = 30/9 = 10/3 ✓ 兩路一致。
再把 √(bc[(b+c)²−a²])/(b+c) 與 2bc cos(A/2)/(b+c) 用 cos A 代換連起來，可證兩式恆等，公式本身得證。

(4) 比較：m_a = √11.5 ≈ 3.391 > l_a = 10/3 ≈ 3.333，本題中線略長。
不普遍：兩者都是 A 到 BC 上某點的距離，但落點不同（D 是中點，E 按 c:b 分點）。當 b = c（等腰）時 D 與 E 重合，m_a = l_a；當 b ≠ c 時一般不等，且大小關係隨邊長組合而變。寫「僅當 b=c 時相等、本題恰 b≠c」才算把結論說全，只比較數值不給分。

答案　(1) BE=8/3，EC=10/3；(2) 斯圖爾特定理得 l_a=10/3，通式 l_a=√(bc[(b+c)²−a²])/(b+c)；(3) cosA=1/8、cos(A/2)=3/4，另一式同得 10/3；(4) 本題 m_a≈3.391 > l_a≈3.333，但不普遍，僅 b=c 時兩者相等。

採分點　角平分線定理與兩段數值 2 分；斯圖爾特定理列式 2 分；左右兩邊計算各 1 分；l_a 結果 1 分；通式整理 1 分；cos A 1 分；半角公式 1 分；第二路結果 1 分；兩式恆等說明 1 分；數值比較 1 分；「不普遍/僅等腰相等」2 分。

易錯點　角平分線定理把比例寫成 b:c（應為 c:b，即 AB:AC）；斯圖爾特定理把 b² 與 c² 配錯 n、m；半角公式寫成 √((1−cosA)/2)（那是 sin(A/2)）；通式裡漏掉 a² 項；(4) 只比數值不討論普遍性，或斷言「中線總比角平分線長」。

三、規律小結與對照表

這兩條公式的分數在「推」不在「代」：中線用阿波羅尼奧斯或向量點積，角平分線用「先分點、再斯圖爾特」，最後再用餘弦定理/半角式各驗一遍。本題四路數值全落在 11.5 與 10/3 上，任何一路對不上就說明係數配錯了。邊長與結果均為自編示意數據，全部經代數回代驗證。

四、自測清單

• 記號先定死：a 對 A，b=CA，c=AB，別把 b、c 對調
• 中線公式裡是 (a/2)²，不是 a²；向量法先求 u·v
• 角平分線定理比例是 c:b（AB:AC），分點別寫反
• 斯圖爾特定理的 b²m + c²n 與 m、n 的對應要按圖核
• 半角用 cos(A/2)=√((1+cosA)/2)，別與 sin 混
• 比較 m_a 與 l_a 時討論 b=c 的特例，別把個別當普遍