題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
牛頓—萊布尼茨公式一句話：∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)，其中 F′(x) = f(x)。題目真正考的是公式之前那兩步：被積函數是誰（面積題要「上曲線減下曲線」，運動題就是速度函數）、區間從哪到哪（面積題由交點定，運動題由時間定）。
運動題還多一道關：位移是 ∫v dt 的代數和，路程是 ∫|v| dt；若 v 在區間內變號，必須分段。所以先判 v 的符號（本題 v(t) = 3t² − 2t + 1 的判別式 4 − 12 < 0 且首項係數為正，恆正），確認不變號後位移＝路程，能省一段討論。下面兩題數據均為自編示意。
二、逐題精講
題1
題1 兩條曲線圍成的面積
(1) 求由拋物線 y = x² 與直線 y = 2x 所圍成封閉圖形的面積 S₁。
(2) 求由 y = √x、y = 0（x 軸）與直線 x = 4 所圍成圖形的面積 S₂。
(3) 若把 (2) 中的豎線改為 x = 9，面積變為多少？說明它與 S₂ 的倍數關係。
解析
(1) 先定區間：聯立 x² = 2x → x(x − 2) = 0 → x = 0 與 x = 2，即兩交點為 (0,0)、(2,4)。在 0 < x < 2 上取 x = 1：直線 y = 2、拋物線 y = 1，故上曲線是 2x、下曲線是 x²。S₁ = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³/3]₀² = (4 − 8/3) − 0 = 4/3。
回代驗算：F′(x) = 2x − x² ✓；也可按「矩形減拋物線下面積」核對：矩形 2×4 = 8，∫₀²x²dx = 8/3，∫₀²2x dx = 4，差 4 − 8/3 = 4/3 ✓。
(2) 區間 [0, 4]，上曲線 √x、下曲線 0。S₂ = ∫₀⁴ x1/2 dx = [(2/3)x3/2]₀⁴ = (2/3) × 43/2 = (2/3) × 8 = 16/3。
注意 43/2 = (√4)³ = 8，不是 4×3/2；原函數係數 2/3 也不能寫成 3/2。
(3) x = 9 時 S₃ = (2/3) × 93/2 = (2/3) × 27 = 18。倍數 S₃/S₂ = 18 ÷ (16/3) = 54/16 = 27/8 = 3.375。
尺度解釋：對 y = √x，從 0 到 a 的面積 ∝ a3/2，故倍數應為 (9/4)3/2 = (3/2)³ = 27/8 ✓，與直接計算一致——這一路不用重算積分就能驗出結果。
答案 (1) S₁ = 4/3；(2) S₂ = 16/3；(3) S₃ = 18，為 S₂ 的 27/8 倍（= (9/4)^(3/2)）。
採分點 (1) 求交點定上下限 2 分、判定上減下 1 分、寫出原函數 1 分、4/3 1 分、回代驗算 1 分；(2) 原函數 (2/3)x^(3/2) 2 分、4^(3/2)=8 與 16/3 各 1 分；(3) 9^(3/2)=27 與 18 各 1 分、倍數與尺度解釋 2 分。
易錯點 不先求交點就默認從 0 積到 1；把「上減下」寫反成 x²−2x 得 −4/3 後取絕對值蒙對；把 √x 的原函數寫成 (3/2)x^(3/2) 或 x^(3/2)；算 4^(3/2) 得 6；第(3)問按長度倍數 9/4 硬套，漏掉 a^(3/2) 的尺度律。
題2
題2 變速直線運動：位移、路程與瞬時加速度
自編示意：一物體沿直線運動，速度 v(t) = 3t² − 2t + 1（單位 m/s，t 單位 s）。
(1) 判斷 v(t) 在 t ∈ [0, 2] 上是否變號；(2) 求 0 到 2 s 內的位移 s；(3) 求同一時段的路程 L；(4) 求 t = 1 s 時的瞬時加速度 a(1)；(5) 若只把區間改為 [0, 3]，位移變為多少？
解析
(1) 判號：v(t) = 3t² − 2t + 1 是開口向上的二次函數，判別式 Δ = (−2)² − 4×3×1 = 4 − 12 = −8 < 0，且首項係數 3 > 0，故 v(t) > 0 恆成立。也可配方：3(t − 1/3)² + 2/3 ≥ 2/3 > 0，兩路一致。結論：區間內不變號，位移與路程相等，無需分段。(2) 位移：s = ∫₀² (3t² − 2t + 1) dt = [t³ − t² + t]₀² = (8 − 4 + 2) − 0 = 6 m。
原函數逐項核對：(3t²)→t³、(−2t)→−t²、(1)→t，求導回代 3t²−2t+1 ✓。端點 F(2) = 6、F(0) = 0。
(3) 路程：由 (1) v > 0，L = ∫₀² |v| dt = ∫₀² v dt = 6 m。寫法分：必須先寫「因 v 恆正，故 L = s」，只寫 6 m 不給判斷分；若 v 變號，則要找零點 t₀ 並分段算 ∫₀^{t₀}v dt − ∫_{t₀}² v dt。
(4) 加速度：a(t) = v′(t) = 6t − 2，故 a(1) = 6 − 2 = 4 m/s²。單位別漏：v 是 m/s、a 是 m/s²；也不要把 a 誤當成 ∫v dt。
(5) s(0→3) = [t³ − t² + t]₀³ = 27 − 9 + 3 = 21 m。
增量核對：2→3 s 這一段走了 21 − 6 = 15 m；直接算 ∫₂³ v dt = F(3) − F(2) = 21 − 6 = 15 ✓。另一路用平均速度粗驗：v(2) = 12 − 4 + 1 = 9、v(3) = 27 − 6 + 1 = 22，凸函數上梯形法給 (9+22)/2 × 1 = 15.5 m，略大於 15 m（凸函數梯形高估），方向合理，未抹平。
答案 (1) v(t)>0 恆成立（Δ=−8<0，或 3(t−1/3)²+2/3）；(2) 位移 6 m；(3) 路程 6 m；(4) a(1)=4 m/s²；(5) 0→3 s 位移 21 m。
採分點 (1) 判別式或配方判號 2 分、得出「不變號→無需分段」1 分；(2) 原函數 1 分、F(2)−F(0)=6 1 分、求導回代 1 分；(3) 寫出 L=∫|v|dt 並說明因 v>0 故 L=s 2 分；(4) a=v′ 與 4 m/s² 各 1 分、單位 1 分；(5) F(3)=21 1 分、增量與梯形法核對 1 分。
易錯點 不判 v 符號就直接寫「路程＝位移」（結論對但丟判斷分，換一道變號的題就全錯）；把原函數寫成 t³−t² 漏掉 +t；把 a(1) 算成 v(1)=2（混淆速度與加速度）；判別式算成 4−12=−8 卻仍寫「有兩個根」；第(5)問把上限 3 代進 v 得 22 當位移。
三、規律小結與對照表
| 需求 | 公式 | 自編結果 | 把關點 |
|---|---|---|---|
| 面積區間 | 聯立求交點 | x=0, 2 | 先定上下限 |
| 面積被積 | 上曲線−下曲線 | 2x−x² | 取點驗上下 |
| 冪函數原函數 | ∫x^n = x^(n+1)/(n+1) | ∫√x=(2/3)x^(3/2) | 係數別倒置 |
| 尺度律 | S(0→a)∝a^(3/2) | 27/8 | 不用重算可驗 |
| 位移 | ∫v dt = F(b)−F(a) | 6 m | 原函數逐項核對 |
| 路程 | ∫|v| dt | 6 m（v>0） | 變號須分段 |
| 加速度 | a = v′ | 4 m/s² | 不是 ∫v |
| 凸函數粗驗 | 梯形法高估 | 15.5 > 15 | 只作方向核對 |
定積分入門題的四句口訣：面積先求交點、上減下；原函數逐項求、再求導回代；運動題先判 v 變不變號，變號才分段；加速度是 v′ 不是 ∫v。再把端點 F(b)、F(a) 單獨列出來相減，符號錯和漏項基本都能擋住。本題組函數、區間與數值均為自編示意；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
四、自測清單
- □ 面積題先聯立求交點，明確積分區間；
- □ 在區間內取一點驗證「哪條在上」，寫清上減下；
- □ 冪函數原函數係數取 1/(n+1)，寫完後求導回代；
- □ 運動題先用判別式/配方判 v 符號，再決定路程要不要分段；
- □ 位移寫 F(b)−F(a)，把 F(a)、F(b) 分列，別心算；
- □ 加速度用 v′(t)，單位 m/s²；
- □ 擴大區間時用增量與尺度律各驗一次。
