聯招物理·共鳴管（駐波）法測聲速與管口修正

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

音叉在管口發聲，管內空氣柱形成駐波：閉口端是位移波節、開口端是位移波腹。因開口處的波腹略在管口之外，實際有效長度要加一個端修正 e，於是共鳴條件為

L₁ + e = λ/4，L₂ + e = 3λ/4，L₃ + e = 5λ/4 …（相鄰共鳴長度對應奇數個 λ/4）。

兩式相減：L₂ − L₁ = λ/2，e 被消掉。所以 v = fλ = 2f(L₂ − L₁)——這就是本法的全部關鍵：不測 e、也不依賴管徑，只用相鄰兩次共鳴的長度差。下面頻率與長度均為自編示意讀數。

二、逐題精講

題1

題1 由相鄰兩次共鳴求波長與聲速

自編示意：一端封閉的共鳴管，水面可調；用頻率 f₁ = 512 Hz 的音叉在管口激發，緩慢下降水面，先後兩次聽到明顯共鳴，測得空氣柱長度 L₁ = 0.163 m、L₂ = 0.496 m。
(1) 求聲波波長 λ₁ 與聲速 v₁；(2) 說明為什麼用 L₂ − L₁ 而不用 L₁ 直接算 λ；(3) 若誤把 L₁ 當作 λ/4，會算出多大的聲速？偏差方向如何？

解析

(2) 因為開口端波腹在管口外側，有效長度是 L + e 而不是 L；單次式 L₁ + e = λ/4 裡含有未知的 e，不測管徑、不作修正就無法單獨求 λ。相鄰兩式相減把 e 消去，只剩可測的 ΔL，故 λ = 2(L₂ − L₁) 與 e 無關，系統誤差顯著減小。這也是「不追求單次精度、追求兩次差」的實驗設計思路。

(3) 若誤用 λ′ = 4L₁ = 4 × 0.163 = 0.652 m，則 v′ = 512 × 0.652 = 333.8 m/s，比 341 m/s 偏低約 7.2 m/s（約 2.1%）。
偏差方向解釋：真實有效長度 = L₁ + e > L₁，故把 L₁ 當 λ/4 會低估波長，聲速隨之偏小；e 越大，低估越明顯。數值回代：4(L₁+e) = 4 × 0.1665 = 0.666 = λ₁ ✓，恰好補回那 0.014 m 的差（= 4e = 0.014 m → e = 0.0035 m）。

答案　(1) λ₁ = 0.666 m，v₁ ≈ 341 m/s；(2) 單次式含未知端修正 e，相鄰兩次相減可消去 e；(3) 誤用 4L₁ 得 v′ ≈ 333.8 m/s，偏低約 2.1%（因低估了有效長度）。

採分點　(1) ΔL=0.333 1 分、λ=2ΔL 2 分、v=341 m/s 1 分、回代兩次讀數 1 分、駐波條件與 3:1 核對 1 分；(2) 寫出 L+e 與相消 e 2 分、說明系統誤差減小 1 分；(3) 333.8 與偏低方向各 1 分、4e=0.014 回代 1 分。

易錯點　把 L₂ − L₁ 當成 λ 或 λ/4（漏乘 2）；把兩次共鳴判成「基模與二次諧波」（閉管只有奇次）；用 L₁ 直接算 λ 卻說不出端修正；把 e 的影響方向寫成「使聲速偏大」；忽略單位，把 0.333 m 寫成 33.3 cm 又代回米制公式。

題2

題2 兩組頻率、端修正與溫度估計（多量回代）

同一自編裝置，換用 f₂ = 384 Hz 的音叉，測得相鄰兩次共鳴長度 L₁′ = 0.220 m、L₂′ = 0.663 m；管口內徑 d = 2.0 cm。取經驗式 e ≈ 0.3d、聲速溫度式 v ≈ 331 + 0.6t（t 為攝氏溫度，自編示意常數）。
(1) 由第二組求 λ₂ 與 v₂，並與第一組取平均；(2) 由第一組的 L₁ 反推端修正 e，與 0.3d 比較；(3) 由平均聲速估室溫 t，並說明這一估計的侷限。

解析

(2) 由 L₁ + e = λ₁/4 = 0.666/4 = 0.1665 m，得 e = 0.1665 − 0.163 = 0.0035 m = 3.5 mm。
用 L₂ 獨立核對：3λ₁/4 = 0.4995 m，e = 0.4995 − 0.496 = 0.0035 m ✓ 兩次一致。
經驗式 e ≈ 0.3d = 0.3 × 2.0 cm = 0.6 cm = 6.0 mm。比較：同量級但經驗值偏大約 71%（6.0 vs 3.5 mm），說明 e ≈ 0.3d 只是粗略近似，實際端修正還受管口形狀、法蘭、頻率與周圍障礙影響；這也再次說明為什麼本實驗要用「相鄰兩次相減」把 e 消掉，而不是拿經驗值去補單次長度。
（若改用經驗 e=6.0 mm 反算 λ = 4(L₁+e) = 4 × 0.169 = 0.676 m，v = 512 × 0.676 = 346 m/s，反而比 341 偏大，進一步印證經驗值不可硬套。）

(3) 由 v̄ ≈ 331 + 0.6t 得 t ≈ (340.608 − 331)/0.6 = 9.608/0.6 ≈ 16.0 ℃。
回代：331 + 0.6 × 16.0 = 340.6 ✓。
侷限（須寫明）：① 該式是幹空氣、常壓附近的一階近似，溼度、氣壓、CO₂ 含量變化都會帶來偏差；② 聲速測量本身有讀數誤差（共鳴最強點靠耳判，L 的 ±1 mm 就會讓 v 變動約 1~2 m/s，摺合 t 約 2~3 ℃），故 t 只能作粗略估計，不是溫度計讀數；③ 本組為自編示意數據，v̄ 與 t 的對應關係僅用於演示誤差傳遞，不代表真實氣溫。

答案　(1) λ₂ = 0.886 m、v₂ ≈ 340 m/s，平均 v̄ ≈ 340.6 m/s；(2) e = 3.5 mm（兩次讀數一致），經驗 0.3d = 6.0 mm 偏大；(3) t ≈ 16.0 ℃，屬幹空氣常壓下一階近似的粗略估計。

採分點　(1) ΔL′ 與 λ₂ 各 1 分、v₂ 1 分、平均值 1 分、兩組互驗 1 分；(2) 由 L₁ 與 L₂ 兩路求 e 各 1 分、0.3d 數值 1 分、比較與「經驗式不可硬套」2 分；(3) 反解 t 與回代各 1 分、三條侷限各 1 分。

易錯點　第二組把 ΔL′ 算成 0.883 m；平均時把兩組聲速相加不除 2；反推 e 用 3λ/4 時算成 0.4995 − 0.496 卻寫成 0.035 m；把 0.3d 的 d 用成半徑；由 v 估 t 時把 (v−331) 乘 0.6 而非除以 0.6；把 16 ℃ 當成精密測溫結果而漏寫侷限。

三、規律小結與對照表

共鳴管法最值得記的不是公式，而是那個設計思路：與其費力測管口端修正 e，不如取相鄰兩次共鳴長度之差，讓 e 自己抵消。剩下的活兒是三件——用奇次 λ/4 判對諧波、把 ΔL 乘 2 得波長、再用兩組頻率互驗；反推 e 或估溫度時都把「經驗式只是粗略近似」寫進結論。頻率、長度、管徑、常數與溫度均為自編示意，不代表真實測量；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

四、自測清單

• □ 閉管共鳴只取奇次 λ/4：λ/4、3λ/4、5λ/4；
• □ 用相鄰兩次 ΔL = λ/2，把端修正 e 消掉，別用單次 L；
• □ 聲速寫 v = 2fΔL，並回代 λ = v/f 驗一次；
• □ 反推 e 時用 L₁ 與 L₂ 兩路互驗，數值應一致；
• □ 經驗 e≈0.3d 只作量級對照，不硬套進正式計算；
• □ 由 v 估 t 時說明幹空氣常壓、一階近似與讀數誤差；
• □ 兩組頻率互查 ΔL 與 f 是否近似成反比。