聯招物理·全反射臨界角法測透明材料折射率

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

光從光密介質射向光疏介質（材料 → 空氣）時，入射角增大到某一值，折射角達到 90°，再大就只剩反射——這個角叫臨界角 C。由折射定律 n·sin C = 1·sin 90° = 1，得

n = 1 / sin C（空氣折射率取 1.00）。

這法的優點是把「測兩個角再算比值」壓成「測一個角」；代價是 n 對 C 很敏感，測角差半度，n 就會動到小數點後第二位。所以完整作答要有三步：寫明光路條件（從材料射向空氣、C 是材料內的角）→ 代入求 n → 把測角誤差傳進 n（端點法或微分法）。下面讀數與材料均為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1 由臨界角求折射率，換波長後求新臨界角

自編示意：某透明材料製成的半圓塊，光從圓弧面沿半徑入射（在圓弧面不發生偏折），在平面處由材料射向空氣。緩慢增大入射角，測得剛好發生全反射時的臨界角 C = 42.0°（sin42.0° ≈ 0.6691，空氣折射率取 1.00）。
(1) 求該材料對這一波長光的折射率 n；(2) 換用波長較長的光，已知此時 n′ = 1.470，求新的臨界角 C′（可用 arcsin 表示並給出近似角度）；(3) 說明為什麼「插針法」與「全反射法」測同一材料、同一波長的光，結果應當一致；若明顯不一致，列舉兩個可能原因。

解析

(2) sin C′ = 1/n′ = 1/1.470 ≈ 0.68027，故 C′ = arcsin(0.68027) ≈ 42.87° ≈ 42.9°。
方向核對：n 變小（1.4945 → 1.470），sin C = 1/n 變大，C 隨之變大（42.0° → 42.9°），與「波長變長、折射率通常略降、臨界角略增」的自編示意設定一致。數值回代：sin42.87° ≈ 0.6803，1/0.6803 ≈ 1.470 ✓。
（用微分快速估：ΔC ≈ −Δn/(n·cos C 的相應形式)，此處直接反算更乾淨，不硬套近似式。）

(3) 一致性的理由：兩法測的都是同一材料對同一波長光的折射率 n，且都源於同一條折射定律 n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂——插針法由「空氣→材料」的入射角與折射角算 n = sin i / sin r，全反射法由「材料→空氣」的臨界角算 n = 1/sin C，是同一常數 n 的兩種可互推的測量路徑（光路可逆）。故在誤差範圍內應一致。
不一致的可能原因（任舉兩條）：① 波長不同——兩法若用了不同光源，n 本身隨波長變（色散），結果自然不同；② 材料表面狀態——平面處有汙膜、劃痕或吸附層，改變了實際界面，使臨界角判讀偏移；③ 判讀「剛好全反射」的主觀誤差——折射光消失的臨界點靠肉眼判斷，容易偏大半度；④ 溫度差異或半圓塊與插針法用的不是同一塊樣品（材料不均勻）；⑤ 插針法中玻璃磚界面與所畫線不重合、大頭針間距過近帶來的作圖誤差。注意：「兩法原理不同所以結果本來就不該一樣」是錯誤說法，不能作為答案。

答案　(1) n ≈ 1.49（1.4945）；(2) C′ = arcsin(1/1.470) ≈ 42.9°；(3) 兩法同源於折射定律、光路可逆，測同一 n 故應一致；不一致可從波長/表面狀態/臨界判讀/溫度與樣品差異/插針作圖誤差中任舉兩條。

採分點　寫出 n sin C = 1 與光路條件 2 分；(1) 數值與回代各 1 分；(2) sin C′=1/n′ 1 分、arcsin 與近似角度各 1 分、方向核對 1 分；(3) 同一常數與光路可逆各 1 分、兩條原因各 1 分、排除「原理不同本就不一致」1 分。

易錯點　把 C 當成空氣中的角，或寫成光由空氣射入材料；把 n 寫成 sin C（得 0.669）；第(2)問寫成 C′ = arcsin(n′) 或把角度變小；忽略「同一波長」這一前提就談一致性；把「表面有汙膜」答成「全反射法原理錯了」；arcsin 結果沒換成度數。

題2

題2 測角不確定度如何傳進 n（兩路互驗）

仍取題1 的自編裝置。某次測角儀讀數為 C = 42.0° ± 0.5°（即 C 可能落在 41.5° ~ 42.5°），sin41.5° ≈ 0.6626、sin42.5° ≈ 0.6756。
(1) 用端點法求 n 的取值範圍與中心值的不確定度；(2) 用微分法估算 |dn| 並與端點法對照；(3) 若要讓 n 的不確定度降到 ±0.005 以內，測角精度需提高到約多少度？

解析

(2) 微分法：n = 1/sin C = (sin C)⁻¹，
dn/dC = −cos C / sin² C（C 用弧度）。取 C = 42.0°：cos42.0° ≈ 0.7431、sin²42.0° ≈ 0.4477，得 |dn/dC| ≈ 0.7431/0.4477 ≈ 1.6597 rad⁻¹。
ΔC = 0.5° = 0.5 × π/180 ≈ 8.727 × 10⁻³ rad，故 |dn| ≈ 1.6597 × 8.727×10⁻³ ≈ 0.0145。
兩路對照：端點法給 ±0.015，微分法給 ±0.0145，相差約 3%，屬一階近似與大區間端點的正常差別；若 ΔC 更小，兩者會更貼近。必須把角度換成弧度，直接用 0.5 代入會得 0.83，錯得離譜。

(3) 由 |dn| ≈ |dn/dC|·ΔC，要求 |dn| ≤ 0.005：
ΔC ≤ 0.005/1.6597 ≈ 3.01 × 10⁻³ rad = 3.01×10⁻³ × 180/π ≈ 0.173° ≈ 0.17°。
即測角精度約需從 ±0.5° 提高到 ±0.17°（約 ±10′）。回代：1.6597 × (0.17×π/180) = 1.6597 × 2.967×10⁻³ ≈ 0.0049 ≤ 0.005 ✓。這個結論也說明為什麼全反射法對測角儀要求較高——半度誤差就能讓 n 動 0.015。

答案　(1) n ∈ 1.480~1.509，可寫 1.495 ± 0.015；(2) |dn| ≈ 0.0145（須把 0.5° 化為弧度）；(3) 測角需約 ±0.17°（≈±10′）。

採分點　(1) 兩個端點 n 值各 1 分、中心值與區間 1 分、方向說明 1 分；(2) 寫出 dn/dC=−cos C/sin²C 2 分、角度化弧度 1 分、數值 0.0145 1 分、兩路對照 1 分；(3) 反解 ΔC 與 0.17° 各 1 分、回代 1 分。

易錯點　端點法把「C 大→n 大」寫反；微分法忘記把 0.5° 換成弧度；把 dn/dC 寫成 +cos C/sin²C 後取絕對值卻不說負號的含義；把 ±0.015 寫成 ±0.15；第(3)問用 0.005×1.6597（乘反了）得荒謬值；忽略「中心值應取 1/sin42°」而用兩端點算術平均（1.4947，近似可用但需說明）。

三、規律小結與對照表

全反射法的題，前半段是代入，後半段是誤差怎麼被放大。記住三件事：C 必須是材料內射向空氣的那個角；n = 1/sin C 對 C 很敏感，半度就能帶來約 0.015 的波動；微分法一定要把角度換成弧度。再把插針法與全反射法放回同一條折射定律裡看，兩法結果的比較題就不會答偏。材料、波長、角度與讀數均為自編示意，不代表真實物質常數或測量記錄；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

四、自測清單

• □ 先寫清光路：從材料射向空氣，C 是材料內相對法線的角；
• □ 用 n sin C = 1 求 n，並回代 n·sinC 是否等於 1；
• □ 換波長時先判方向：n 變小則 sin C 變大、C 變大；
• □ 端點法注意「C 偏大 → n 偏小」，別把上下限寫反；
• □ 微分法把 ΔC 化成弧度，寫出 dn/dC = −cosC/sin²C；
• □ 兩法一致性回到折射定律與光路可逆，且限定同一波長；
• □ 列不一致原因時從波長、表面、判讀、溫度、樣品裡選，不否定原理。