聯招數學·二項式定理：指定項、係數和與賦值法

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

二項式定理的全部功夫，壓在一行通項上：
(a + b)ⁿ 的第 (k+1) 項 T_k+1 = C_n^k a^n−k b^k（k = 0, 1, …, n）。

把 a、b 具體代進去、把 x 的指數合併成一次式，「求哪一項」就變成解一個一元一次方程；求「係數和」則完全不用展開，靠給 x 賦特殊值。兩個要分清：二項式係數只是 C_n^k，項的係數還要把 a、b 裡的常數（如 2^k、(−1)^k）乘進去。下面兩題數據均為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1 由係數和定 n，再求指定項

已知 (x + 2/x²)ⁿ 的展開式中，所有二項式係數之和為 512。
(1) 求 n；(2) 求展開式中的常數項；(3) 求 x³ 項的係數；(4) 判斷展開式中是否存在 x² 項，並說明理由。

解析

通項：T_k+1 = C₉^k x^9−k (2/x²)^k = C₉^k 2^k x^9−3k，k = 0, 1, …, 9。

(2) 常數項：令 9 − 3k = 0 → k = 3。係數 = C₉³ · 2³ = 84 × 8 = 672。回代：C₉³ = 9·8·7/(3·2·1) = 84 ✓，2³ = 8 ✓。

(3) x³ 項：令 9 − 3k = 3 → k = 2。係數 = C₉² · 2² = 36 × 4 = 144。

(4) x² 項：令 9 − 3k = 2 → k = 7/3，不是 0~9 的整數，故不存在 x² 項。更快的看法：指數 9 − 3k 恆為 3 的倍數，而 2 不是 3 的倍數，所以所有項的次數只能是 9, 6, 3, 0, −3, −6, −9, −12, −15, −18，x² 必然缺席。

兩路互驗：把 k = 0 到 9 的指數列出共 10 項，常數項（k=3）與 x³ 項（k=2）各出現一次，無重項；再把 (x + 2/x²)⁹ 各項係數相加（令 x=1）應為 3⁹ = 19683，與題2 的賦值結果一致。

答案　(1) n = 9；(2) 常數項 672；(3) x³ 項係數 144；(4) 不存在 x² 項（9−3k=2 無整數解，指數恆為 3 的倍數）。

採分點　由 2ⁿ=512 得 n=9 並說明與「係數和」區別 2 分；寫出通項 C₉ᵏ2ᵏx^(9−3k) 3 分；常數項 k=3 與 672 各 1 分；x³ 項 k=2 與 144 各 1 分；(4) 整數性判斷與倍數視角 2 分；回代驗算 1 分。

易錯點　把「二項式係數和 512」當成「令 x=1 的係數和」，誤列 3ⁿ=512；通項裡漏掉 2ᵏ 或把 (2/x²)ᵏ 寫成 2/x^(2k) 之外的形式；把第 (k+1) 項與 k 的對應搞錯；解出 k=7/3 後硬取整；把 C₉³ 算成 504（用了排列數 A₉³）。

題2

題2 賦值法求四類係數和

設 (1 − 2x)⁹ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a₉x⁹。求：
(1) a₀ + a₁ + … + a₉；(2) a₀ − a₁ + a₂ − … − a₉；
(3) a₁ + 2a₂ + 3a₃ + … + 9a₉；(4) a₀ + a₂ + a₄ + a₆ + a₈。

解析

(2) 令 x = −1：f(−1) = (1 + 2)⁹ = 3⁹ = 19683，即 a₀ − a₁ + a₂ − … − a₉ = 19683（9 次項符號為負）。

(3) 求導後賦值：f′(x) = 9(1−2x)⁸·(−2) = −18(1−2x)⁸；另一方面 f′(x) = a₁ + 2a₂x + … + 9a₉x⁸。令 x = 1：f′(1) = −18(−1)⁸ = −18，即所求為 −18。鏈式法則裡的 −2 最易漏；漏了會得 +9。

(4) 奇偶分離：偶次項和 = [f(1) + f(−1)]/2 = (−1 + 19683)/2 = 9841；順帶奇次項和 = [f(1) − f(−1)]/2 = (−1 − 19683)/2 = −9842。

逐項回代驗算：a₀ = 1，a₁ = C₉¹(−2) = −18，a₂ = C₉²·4 = 144，a₃ = C₉³(−8) = −672，a₄ = C₉⁴·16 = 2016，a₅ = C₉⁵(−32) = −4032，a₆ = C₉⁶·64 = 5376，a₇ = C₉⁷(−128) = −4608，a₈ = C₉⁸·256 = 2304，a₉ = C₉⁹(−512) = −512。求和：1 − 18 + 144 − 672 + 2016 − 4032 + 5376 − 4608 + 2304 − 512 = −1 ✓；偶次項 1 + 144 + 2016 + 5376 + 2304 = 9841 ✓；加權和 −18 + 2·144 + 3(−672) + 4·2016 + 5(−4032) + 6·5376 + 7(−4608) + 8·2304 + 9(−512) = −18 ✓。三路閉合。

答案　(1) −1；(2) 19683；(3) −18；(4) 9841（奇次項和 −9842）。

採分點　x=1、x=−1 賦值各 2 分；(3) 寫出 f′(x) 並令 x=1 共 3 分（漏鏈式 −2 扣 2 分）；(4) 奇偶分離公式與結果 2 分；逐項係數展開與三路回代 2 分；區分「係數和」與「二項式係數和」1 分。

易錯點　(3) 直接令 x=1 代進原式求導式，或漏鏈式法則的 −2；(2) 把 3⁹ 算成 1968 或 3⁸；(4) 忘記除以 2；把 (−1)⁹ 寫成 +1；把二項式係數 C₉ᵏ 與項係數 C₉ᵏ(−2)ᵏ 混為一談。

三、規律小結與對照表

二項式定理的口訣可以壓成四句：通項先合併指數，求項就解一次方程；係數和令 x=1，交錯和令 x=−1；帶 k 的加權和先求導再賦值；奇偶分離取平均再除二。寫完一定回代一次——把十個係數真展開加一遍，比盯著公式看更能擋住符號錯。本題組數據為自編示意，解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

四、自測清單

• □ 先分清「二項式係數」Cₙᵏ 與「項的係數」Cₙᵏ·常數ᵏ；
• □ 通項寫成 Cₙᵏ a^(n−k)bᵏ 後，把 x 的指數合併成一次式；
• □ 解出的 k 必須是 0~n 的整數，分數一律判「不存在」；
• □ 係數和 x=1、交錯和 x=−1，別代反；
• □ 加權和先求導，鏈式法則的因子不能漏；
• □ 奇偶分離記得除以 2；最後把係數逐項展開回代驗一遍。