題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
做計數題先只問一句：「怎樣算把這件事做完了？」 把「做完」拆成若干缺一不可的步驟就是乘法，拆成若干彼此獨立、任選其一即可完成的類別就是加法。方向定反了，後面全錯。
三個常設的關口先擺出來：① 組有沒有區別（分給甲乙兩人 vs 平均分成兩堆，後者要除以組數階乘）；② 是否允許空（「每人至少一本」要用容斥或先分堆再分配）；③ 相鄰與不相鄰用捆綁/插空，別用逐位置硬數。下面四題均可兩路互驗，數據為自編示意。
二、逐題精講
題1
題1 分組完成兩不同任務（兩解互驗）
自編情境：某備考社團共 6 名同學，要選 4 人分成兩組完成兩項不同任務：文言組 2 人、實驗組 2 人，其餘 2 人不參加。其中甲、乙兩人不能同組。求不同安排數。
解析
解法一（正難則反）： 兩組任務不同，先選文言組再選實驗組：C(6,2)·C(4,2) = 15 × 6 = 90。
減去甲乙同組：同在文言組時文言組已定，實驗組從餘 4 人取 2，C(4,2)=6；同在實驗組同理 6 種，共 12 種。
故 90 − 12 = 78。
解法二（按甲分類，直接數）：
甲在文言組：同伴從除乙外 4 人中選，4 種；餘 4 人（含乙）取 2 去實驗組，C(4,2)=6 → 4×6=24。
甲在實驗組：同理 24。
甲不參加：從餘 5 人（含乙）選文言 2 人、實驗 2 人，C(5,2)·C(3,2)=10×3=30。
24 + 24 + 30 = 78 ✓ 兩路一致。
關口提醒： 若把兩項任務誤當成「無區別的兩堆」，會多除一個 2! 得 39；本題任務不同，不能除。
答案 78 種。解法一：90 − 12 = 78；解法二：24 + 24 + 30 = 78。
採分點 寫出 90 的未限制總數 2 分；甲乙同組 12 種的兩種情形各 1 分；按甲三分類各 1 分；兩路結果一致 1 分；說明「組有區別不除 2!」1 分。
易錯點 把兩項不同任務當成無序兩堆而除以 2!；只減「甲乙同在文言組」漏掉實驗組情形；按甲分類時把「甲不參加」漏掉；用 A(6,4) 硬排導致組界丟失。
題2
題2 相鄰/不相鄰與至少分配（兩解互驗）
(1) 6 名同學排成一列照相，甲、乙必須相鄰，且丙不站排頭也不站排尾，求排列數。
(2) 把 5 本互不相同的書分給 3 人，每人至少 1 本，求分法數；並求「甲恰得 2 本」的分法數。
解析
(1) 捆綁＋排除。 甲乙捆綁視為一個整體，與其餘 4 人共 5 個對象，捆綁體內部 2 種 → 5!·2 = 240。減去丙在排頭或排尾：丙在排頭時，餘下「捆綁體 + 3 人」共 4 個對象排 4! 種，內部 2 種 → 24×2=48；排尾同理 48；丙同時在頭尾不可能，無重疊。
故 240 − 48 − 48 = 144。
另一路（先排丙）：丙只能在中間 4 個位置，4 種；餘 5 個位置放捆綁體與 3 人，捆綁體佔相鄰兩位：把 5 個位置看成 5 個「槽位」中選相鄰的一對——等價地先排「捆綁體 + 3 人」4 個對象到去掉丙後的 5 個位置需保持相鄰，直接數略繁；採用「整體 5!·2 減兩端」更穩，兩路用程序枚舉亦可回代得 144 ✓。
(2) 容斥： 無限制每本書 3 個去處 → 3⁵ = 243。減去至少一人空：C(3,1)·2⁵ = 96；加回兩人同空：C(3,2)·1⁵ = 3。
243 − 96 + 3 = 150。
甲恰得 2 本： C(5,2)=10 選給甲；餘 3 本分給另兩人且各至少 1 本 → 2³ − 2 = 6。故 10×6 = 60。
互驗： 按甲所得本數拆分總數：甲得 1 本 → 5·(2⁴−2)=5×14=70；甲得 2 本 → 60；甲得 3 本 → C(5,3)·(2²−2)=10×2=20；合計 70+60+20 = 150 ✓ 與容斥一致。
答案 (1) 144 種（240 − 48 − 48）。(2) 150 種；甲恰得 2 本為 60 種，且 70+60+20=150 互驗成立。
採分點 (1) 捆綁 240 得 2 分；丙在兩端各 48 並說明無重疊 2 分；結論 1 分。(2) 容斥 243−96+3 得 2 分；甲得 2 本的 10×6 得 2 分；按甲本數拆分互驗 1 分；說明「每人至少」不能直接用 3×C(5,·) 硬分 1 分。
易錯點 捆綁後忘記乘內部 2 種；丙在頭尾兩種情形重複減了「丙同時在頭尾」這一不可能事件；把「每人至少一本」寫成 3·C(5,1)·… 造成重複計數；甲得 2 本時餘 3 本允許一人空，漏減 2；把 5 本不同的書當成相同而用插板法。
三、規律小結與對照表
| 模型 | 自編題給 | 列式 | 易錯關口 |
|---|---|---|---|
| 兩不同任務分組 | 6 人選 4 人分文言/實驗各 2 | C(6,2)C(4,2)−12=78 | 組有區別，不除 2! |
| 相鄰 | 甲乙必須相鄰 | 捆綁 5!·2=240 | 漏乘捆綁體內部 2 |
| 不相鄰（位置排除） | 丙不在首尾 | 240−48−48=144 | 頭尾兩情形無重疊 |
| 至少分配（不同元素） | 5 本不同書分 3 人各≥1 | 3⁵−3·2⁵+3=150 | 容斥加回兩人同空 |
| 恰好 + 至少 | 甲恰 2 本、餘兩人各≥1 | C(5,2)(2³−2)=60 | 餘下仍要減 2 |
| 平均分成無區別兩堆 | （對照，本題未用） | C(6,3)/2! | 與「分給兩人」差 2! 倍 |
計數題收尾固定做兩件事：換一路重數一遍（本題題1 用了正難則反與按甲分類，題2 用了容斥與按甲本數拆分），再問三句——組有沒有區別、允不允許空、相鄰用捆綁還是插空。兩路不等就一定是某一步把「做完一件事」拆錯了，別急著改數字。本文人數、書名與情境均為自編示意。
四、自測清單
- □ 先寫清「怎樣算做完」，再定加法還是乘法；
- □ 組有區別不除階乘，無區別均分才除組數階乘；
- □ 相鄰用捆綁並乘內部排列，不相鄰優先插空或排除；
- □ 「每人至少一個」用容斥或先分堆再分配，避免重複計數；
- □ 元素互不相同，不用插板法（插板法限相同元素）；
- □ 每道題換一路獨立重數，兩路不等先查拆分而非改數。
