題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
做概率題先寫一句「我是在哪個範圍裡取比值」。P(A) 在全體裡取；P(A|B) 在「B 已發生」這個縮小後的範圍裡取；而「已知結果反推來源」用的是 P(B|A)·P(A)/P(B)，分母是全概率，不是先驗概率。範圍一寫清，公式就不用背了。
再分兩個模型：有放回/獨立重複用二項分佈 B(n,p)，E(X)=np、Var(X)=np(1−p)；不放回、從有限總體裡抽用超幾何，分母是 C(N,n)，不能按二項硬套。下面合格率、批量與抽檢數均為自編示意取值，與任何真實生產數據無關。
二、逐題精講
題1
題1 全概率與反向歸因（兩解互驗）
自編示意：某批零件來自兩條產線，A 線佔 60%、次品率 2%，B 線佔 40%、次品率 5%；兩線混合均勻後任取一件。
(1) 求取到次品的概率；(2) 已知取到的是次品，求它來自 A 線的概率；(3) 用「設 1000 件」的整數計數法重做 (1)(2)，驗證結果。
解析
(1) 全概率： P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) = 0.60×0.02 + 0.40×0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032（3.2%）。(2) 反向歸因： P(A|D) = P(A∩D)/P(D) = 0.012 / 0.032 = 0.375（37.5%）。注意不是 0.60：雖然 A 線佔六成，但其次品率低，故在「次品」這個縮小後的範圍裡 A 的份額被壓到 37.5%；B 線佔 0.020/0.032 = 0.625 ✓ 兩者和為 1，可作自檢。
(3) 整數計數互驗： 設共 1000 件 → A 線 600 件，次品 600×0.02 = 12 件；B 線 400 件，次品 400×0.05 = 20 件；合計次品 32 件。
P(D) = 32/1000 = 0.032 ✓；P(A|D) = 12/32 = 0.375 ✓。兩路完全一致。
關口提醒： 分母 32 是「次品全體」，不是 1000、也不是 600；把「已知是次品」讀成「已知來自 A 線」就正好把條件與結論調反了。
答案 (1) P(D)=0.032；(2) P(A|D)=0.012/0.032=0.375（B 為 0.625，和為 1 自檢）；(3) 1000 件法：32 件次品中 A 線 12 件 → 12/32=0.375 ✓。
採分點 全概率兩項各 1 分、結果 1 分；貝葉斯分子分母各 1 分、結果 1 分；整數法兩路數值各 1 分；「和為 1」自檢 1 分；說明分母是次品全體 1 分。
易錯點 把 P(A|D) 直接寫成 0.60；把分母寫成 P(A)=0.60 或 1；全概率漏乘產線佔比，直接把 2% 與 5% 相加；整數法裡把 600×0.02 算成 120；兩線後驗概率相加不為 1 卻未察覺。
題2
題2 二項分佈與超幾何（兩解互驗）
(1) 自編示意：某工序產品合格率 0.90，獨立抽取 5 件（有放回/可視為獨立）。設 X 為合格件數，求 P(X=4)、P(X≥4)、E(X) 與 Var(X)。
(2) 另有一盒 8 件，其中 3 件次品、5 件合格，不放回任取 3 件，求恰有 1 件次品的概率；並說明為什麼不能用二項分佈 B(3, 3/8) 計算。
解析
(1) X ~ B(5, 0.90)：P(X=4) = C(5,4)·0.9⁴·0.1 = 5 × 0.6561 × 0.1 = 0.32805；
P(X=5) = 0.9⁵ = 0.59049；P(X≥4) = 0.32805 + 0.59049 = 0.91854；
E(X) = np = 5×0.90 = 4.5；Var(X) = np(1−p) = 5×0.90×0.10 = 0.45（σ = √0.45 ≈ 0.6708）。
互驗： 用補集 P(X≥4) = 1 − P(X≤3)；也可逐項展開 Σ_{k=0}^{5} C(5,k)0.9^k 0.1^{5−k} = (0.9+0.1)⁵ = 1 ✓ 全概率歸一。另 P(X=0)+…+P(X=5) 逐項相加為 1，期望亦可由 Σk·P(X=k) 回代得 4.5 ✓。
(2) 超幾何： 從 8 件取 3 件共 C(8,3) = 56 種；恰 1 件次品需從 3 件次品取 1、從 5 件合格取 2：
P = C(3,1)·C(5,2) / C(8,3) = 3 × 10 / 56 = 30/56 = 15/28 ≈ 0.5357。
互驗（按次品數分解）： P(0) = C(3,0)C(5,3)/56 = 10/56；P(1)=30/56；P(2)=C(3,2)C(5,1)/56 = 15/56；P(3)=C(3,3)C(5,0)/56 = 1/56；合計 (10+30+15+1)/56 = 56/56 = 1 ✓。
為何不能用 B(3, 3/8)： 二項分佈要求各次試驗獨立且 p 恆定；不放回抽取時，第一次結果會改變盒中次品比例（若首件為次品，剩餘 7 件中次品僅 2 件，p 由 3/8 變為 2/7），各次不獨立、p 不恆定。硬套會得 C(3,1)(3/8)(5/8)² ≈ 0.4395，與 15/28 明顯不等，正好可作反證。總體小、抽取比例大時二者差別不可忽略。
答案 (1) P(X=4)=0.32805，P(X≥4)=0.91854，E(X)=4.5，Var(X)=0.45；(2) P=15/28≈0.5357；不放回使各次不獨立、p 變動，不能用二項分佈（硬套約 0.4395，可反證）。
採分點 (1) 四項各 1 分，歸一互驗 1 分；(2) 分子分母與結果各 1 分，按次品數分解歸一 1 分；「不獨立/p 不恆定」說明 2 分；硬套數值反證 1 分。
易錯點 把 P(X≥4) 只寫成 P(X=4)；Var 寫成 np 或 np²；把超幾何分母寫成 8³ 或 C(8,1)C(7,1)C(6,1)（有序抽取卻用無序分子）；不放回仍套二項；把「恰 1 件次品」寫成 C(3,1)C(5,2)/C(8,3) 後忘記 C(5,2)=10。
三、規律小結與對照表
| 模型 | 自編題給 | 關係式 | 樣本空間 |
|---|---|---|---|
| 全概率 | A 60%/2%，B 40%/5% | 0.6·0.02+0.4·0.05=0.032 | 全部 1000 件 |
| 反向歸因 | 已知是次品求來自 A | 0.012/0.032=0.375 | 全體次品 32 件 |
| 二項分佈 | B(5,0.90) | C(5,4)0.9⁴0.1=0.32805 | 5 次獨立重複 |
| 期望與方差 | np / np(1−p) | 4.5 / 0.45 | 歸一 ΣP=1 自檢 |
| 超幾何 | 8 件取 3，恰 1 次品 | C(3,1)C(5,2)/C(8,3)=15/28 | 56 個無序組合 |
| 不適用二項 | 不放回 | p 由 3/8→2/7 | 各次不獨立 |
| 歸一自檢 | P(0)+…+P(3) | 56/56=1 | 防止漏項 |
概率題收尾固定兩問：「分母是哪個範圍？」與「各次獨立嗎？」。前者分清先驗、條件與後驗，後者分清二項與超幾何；再用「歸一」（所有互斥情形相加為 1）和「設整數件數」兩路互驗，算錯幾乎都能當場抓出來。本文合格率、批量與抽檢數均為自編示意取值，不代表任何真實生產數據。
四、自測清單
- □ 動筆先寫「在哪個範圍裡取比值」，分母隨條件變化；
- □ 全概率按來源加權，別把兩個次品率直接相加；
- □ 後驗概率用 P(來源∩次品)/P(次品)，並與另一來源相加驗和為 1；
- □ 二項分佈只在獨立且 p 恆定時用，E=np、Var=np(1−p)；
- □ 不放回優先超幾何，分子分母都用組合數、口徑一致；
- □ 用歸一自檢與「設 1000 件」整數法各驗一遍。
