題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
設三稜錐 P–ABC，PA ⊥ 平面 ABC，底面 △ABC 中 ∠ABC = 90°，AB = 2，BC = 2，PA = 2（長度單位自定，均為自編示意數值）。這個模型的好處是：三條互相垂直的線段給了天然座標系，同時三垂線定理又能直接給出二面角的平面角，便於兩路互驗。
兩條主線：求二面角——幾何法先證 BC ⊥ 平面 PAB，從而 ∠PBA 就是二面角 P–BC–A 的平面角；座標法則求兩平面法向量夾角。求距離——點 A 到平面 PBC 的距離，幾何法用 Rt△PAB 斜邊上的高，座標法用等體積換底 V = (1/3)S·d。兩法不等，先查法向量與面積，不急著改數。
二、逐題精講
題1
題1 二面角 P–BC–A 的大小（兩法互驗）
在三稜錐 P–ABC 中，PA ⊥ 平面 ABC，∠ABC = 90°，AB = BC = PA = 2。(1) 用幾何法找出二面角 P–BC–A 的平面角並求其大小。(2) 建立空間直角座標系，用法向量法求兩平面夾角的餘弦，並說明與(1)是否一致。
解析
(1) 幾何法。 因 PA ⊥ 平面 ABC，得 PA ⊥ BC；又 ∠ABC = 90° 即 AB ⊥ BC。PA、AB 是平面 PAB 內兩條相交直線，故 BC ⊥ 平面 PAB。於是 BC ⊥ PB、BC ⊥ AB，∠PBA 即二面角 P–BC–A 的平面角（也可由三垂線定理：AB 是 PB 在底面的射影，BC ⊥ 射影則 ⊥ 斜線）。在 Rt△PAB 中 PA = AB = 2，tan∠PBA = PA/AB = 1，故 ∠PBA = 45°，即二面角為 45°，cos = √2/2。PB = √(2²+2²) = 2√2，可回代 sin∠PBA = PA/PB = 2/(2√2) = √2/2 ✓。
(2) 座標法。 以 A 為原點，AB、過 A 平行 BC 的方向、AP 分別為 x、y、z 軸：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)。底面 ABC 的法向量取 n₁ = (0,0,1)。平面 PBC：PB = (2,0,−2)，PC = (2,2,−2)，法向量 n₂ = PB × PC = (0·(−2)−(−2)·2, (−2)·2−2·(−2), 2·2−0·2) = (4, 0, 4)，可取 n₂ = (1,0,1)。
cos〈n₁,n₂〉 = (0·1+0·0+1·1)/(1·√2) = 1/√2 = √2/2，兩平面夾角（銳角）為 45°，與(1)一致 ✓。
符號提醒：法向量夾角可能是鈍角（取決於 n₂ 取向），二面角通常取銳角或按題意取平面角；本題 ∠PBA 明確是 45°，故取 |cos|。若把 n₂ 取成 (−1,0,−1)，cos = −√2/2，取絕對值仍得 45°。
答案 (1) 平面角為 ∠PBA = 45°（BC ⊥ 平面 PAB）。(2) n₁=(0,0,1)、n₂=(1,0,1)，|cos|=√2/2，夾角 45°，兩法一致。
採分點 證出 PA⊥BC 與 AB⊥BC 各 1 分；推出 BC⊥平面 PAB 1 分；指認 ∠PBA 為平面角 1 分；tan=1 得 45° 1 分；座標與四點座標準確 1 分；叉積求 n₂ 1 分；|cos|=√2/2 1 分；說明法向量取向與取絕對值、兩法互驗 1 分。
易錯點 把 ∠PAB（90°）誤當二面角的平面角；不證 BC⊥平面 PAB 就直接用 ∠PBA；叉積算錯符號後不取絕對值，答出 135°；把 C 寫成 (0,2,0)（與 ∠ABC=90° 不符，應為 (2,2,0)）；座標法與幾何法不等時直接改數而不查法向量。
題2
題2 點 A 到平面 PBC 的距離（兩法互驗）與參數變化
(1) 用幾何法與等體積法分別求點 A 到平面 PBC 的距離 d。(2) 若把 PA 改為 3，其餘不變，重新求二面角正切值與 d，並說明 d 隨 PA 增大如何變化（不必求導，給出趨勢與理由）。
解析
(1) 幾何法。 由題1 知 BC ⊥ 平面 PAB，故平面 PBC ⊥ 平面 PAB，交線為 PB。在平面 PAB 內作 AH ⊥ PB 於 H，則 AH ⊥ 平面 PBC，AH 即所求距離。Rt△PAB 斜邊上的高 AH = PA·AB/PB = 2·2/(2√2) = √2。等體積法。 S△ABC = (1/2)·2·2 = 2，V = (1/3)·2·2 = 4/3。又 BC ⊥ PB，S△PBC = (1/2)·BC·PB = (1/2)·2·2√2 = 2√2。由 V = (1/3)S△PBC·d 得 d = 3V/S = 4/(2√2) = √2 ✓ 兩法一致。
座標法第三驗：平面 PBC 過 P(0,0,2)，法向量 (1,0,1)，方程 x + z − 2 = 0；A(0,0,0) 到該平面距離 |0+0−2|/√(1²+0²+1²) = 2/√2 = √2 ✓。
(2) PA = 3 時。 PB = √(3²+2²) = √13；tan∠PBA = PA/AB = 3/2 = 1.5，二面角 ≈ 56.31°（cos = 2/√13）。V = (1/3)·2·3 = 2；S△PBC = (1/2)·2·√13 = √13；d = 3·2/√13 = 6/√13 ≈ 1.6641（也可用 PA·AB/PB = 3·2/√13 = 6/√13 ✓ 兩法再一致）。
趨勢：設 PA = h，則 PB = √(h²+4)，d = 2h/√(h²+4)。h 增大時 d 增大但趨近於 2（AB 的長度）：h→∞ 時 d→2；h→0 時 d→0。h=2 時 d=√2≈1.4142，h=3 時 1.6641，確為遞增且增速放緩。理由：d = 2/√(1+4/h²)，分母隨 h 增大而減小並趨於 1，故 d 單調增、上界為 2（幾何上，AH 是 Rt△ 斜邊高，永遠不超過直角邊 AB）。
答案 (1) d = √2（幾何法 AH=PA·AB/PB；等體積法 3V/S；座標法 2/√2，三路一致）。(2) PA=3 時 tan=3/2、d=6/√13≈1.6641；d=2h/√(h²+4) 隨 h 單調增且趨近於 2。
採分點 幾何法證 AH⊥平面 PBC 1 分；AH=PA·AB/PB=√2 1 分；V=4/3 1 分；S△PBC=2√2 1 分；d=3V/S=√2 1 分；座標法平面方程與距離第三驗 1 分；PA=3 重算 tan 與 d 各 1 分；給出 d=2h/√(h²+4) 與上界 2 的單調性理由 1 分。
易錯點 把 S△PBC 用 (1/2)·BC·PA 算（PA 不垂直於 BC 所在平面內的 PB，高應是 PB 不是 PA）；等體積換底時漏乘 3；把 d=2h/√(h²+4) 寫成隨 h 減小；認為 h→∞ 時 d→∞，忽略直角邊 AB 是上界；只算一法不互驗。
三、規律小結與對照表
| 量 | 幾何法 | 座標／體積法 | 本題自編數值 | 互驗關係 |
|---|---|---|---|---|
| BC ⊥ 平面 PAB | PA⊥BC 且 AB⊥BC | n(PAB)=(0,1,0) 與 BC=(0,2,0) | — | 兩法前提一致 |
| 平面角 | ∠PBA，tan=PA/AB=1 | |cos〈n₁,n₂〉|=√2/2 | 45° | tan 與 cos 互換一致 |
| PB | √(PA²+AB²)=2√2 | C(2,2,0)、P(0,0,2) | 2√2≈2.8284 | sin=PA/PB=√2/2 |
| V(P–ABC) | (1/3)·S△ABC·PA | 換底 (1/3)·S△PBC·d | 4/3 | 兩式相等解出 d |
| S△PBC | (1/2)·BC·PB=2√2 | |PB×PC|/2=|(4,0,4)|/2 | 2√2≈2.8284 | 叉積模長校驗 |
| d(A→PBC) | AH=PA·AB/PB=√2 | |0+0−2|/√2=√2 | √2≈1.4142 | 三路一致 |
| PA=3 時 | tan=3/2，PB=√13 | d=6/√13 | ≈1.6641 | 兩法再一致 |
| 趨勢 | d=2h/√(h²+4) | =2/√(1+4/h²) | 單調增，上界 2 | 極限 h→∞ 得 2 |
立體幾何不怕算，怕只算一路。二面角用三垂線定理找平面角、用法向量算 |cos|，距離用斜邊高、等體積換底、點到平面公式三路，本題全部落在 √2 與 45° 上；PA 改成 3 後三路仍同時給出 6/√13 與 tan=3/2，說明結構沒變、只是參數變了。若兩路不等，先查法向量取向、面積公式裡的「高是不是 PB」、體積有沒有漏乘 3，再考慮改數。圖形與數值均為自編示意。
四、自測清單
- □ 先證線面垂直，再指認平面角，不跳步；
- □ 座標建系後把四個點座標逐個回代題設角度與長度；
- □ 法向量夾角記得取絕對值，二面角按題意取銳角或平面角；
- □ S△PBC 的高是 PB（因 BC⊥平面 PAB），不是 PA；
- □ 等體積換底寫成 V=(1/3)S·d，解 d 時乘回 3；
- □ 至少兩路互驗，不等先查法向量與面積，不先改題給數據。
