聯招數學·橢圓與雙曲線：離心率、焦點三角形與漸近線

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

兩組自編標準方程：

橢圓 x²/25 + y²/9 = 1：a = 5，b = 3，c = √(25−9) = 4，e = c/a = 4/5 = 0.8，焦點 F₁(−4,0)、F₂(4,0)，|F₁F₂| = 2c = 8。
雙曲線 x²/9 − y²/16 = 1：a = 3，b = 4，c = √(9+16) = 5，e = 5/3，漸近線 y = ±(4/3)x。

先記牢兩處不同：橢圓是 a² = b² + c²（a 最大），雙曲線是 c² = a² + b²（c 最大）；寫反則離心率全錯。下面每問都用定義＋餘弦定理與面積公式兩路互驗。

二、逐題精講

題1

題1 橢圓焦點三角形面積（兩法互驗）

橢圓 x²/25 + y²/9 = 1 上一點 P 滿足 ∠F₁PF₂ = 60°。(1) 求 △F₁PF₂ 的面積 S；請用「定義＋餘弦定理」與「焦點三角形面積公式 S = b² tan(θ/2)」兩路計算並對照。(2) 求 |PF₁|·|PF₂|，並判斷 P 是否可能落在短軸端點上。

解析

第二路：公式。 S = b² tan(θ/2) = 9 · tan30° = 9/√3 = 3√3 ✓ 兩路一致。
公式來路（順手驗一遍）：由上面 4c² = 4a² − (2+2cosθ)r₁r₂ 得 r₁r₂ = 2b²/(1+cosθ)（用 a²−c²=b²），故 S = (1/2)·[2b²/(1+cosθ)]·sinθ = b²·sinθ/(1+cosθ) = b² tan(θ/2) ✓。本題 θ=60°：2·9/(1+0.5) = 18/1.5 = 12 = r₁r₂ ✓ 三處閉合。

(2) |PF₁|·|PF₂| = 12（已由兩路得出）。
能否在短軸端點：短軸端點 B(0,3) 處 r₁ = r₂ = √((4)²+3²) = 5，此時 cos∠F₁BF₂ = (r₁²+r₂²−(2c)²)/(2r₁r₂) = (25+25−64)/50 = −14/50 = −0.28，夾角 ≈ 106.26°，不是 60°；且 r₁r₂ = 25 ≠ 12。故 P 不可能落在短軸端點。
補充定位：由 r₁+r₂=10、r₁r₂=12 得兩根為 5±√13（≈ 8.606 與 1.394），兩者差 2√13 ≈ 7.211 < 2c=8，滿足三角形不等式；對應 P 靠近某一焦點、關於 x 軸與 y 軸對稱共 4 個點。可回代面積：由 S = (1/2)·2c·|y_P| 得 |y_P| = S/c = 3√3/4 ≈ 1.299，代入橢圓得 x²/25 = 1 − (27/16)/9 = 1 − 3/16 = 13/16 → x = ±5√13/4 ≈ ±4.507 ✓ 在 |x|≤5 內，構型成立。

答案　(1) S=3√3≈5.1962；定義+餘弦定理得 r₁r₂=12 再算面積，與 S=b²tan(θ/2)=9·tan30° 一致。(2) r₁r₂=12；短軸端點處 r₁=r₂=5、夾角≈106.26°，故 P 不在短軸端點（實際 |y_P|=3√3/4、x=±5√13/4，共 4 點）。

採分點　寫出 a=5,b=3,c=4,e=0.8 各 1 分；定義 r₁+r₂=10 1 分；餘弦定理化出 100−3r₁r₂=64 得 12 1 分；S=(1/2)r₁r₂sin60°=3√3 1 分；公式 S=b²tan(θ/2)=3√3 1 分；推導或說明公式來路與三處閉合 1 分；短軸端點夾角/積的檢驗 1 分；給出 |y_P| 與 x 的回代定位 1 分。

易錯點　把橢圓關係寫成 c²=a²+b²（得 c=√34，全盤錯）；餘弦定理展開時漏掉 −2r₁r₂ 項，寫成 100−2r₁r₂=64；tan(θ/2) 用成 tanθ；把 θ 當成 ∠F₁F₂P（頂點搞錯）；判斷短軸端點時只憑「對稱」不驗夾角；忘記 P 有上下左右共 4 個對稱位置。

題2

題2 雙曲線的離心率、漸近線與焦點到漸近線距離

雙曲線 x²/9 − y²/16 = 1。(1) 求 a、b、c、e 與漸近線方程，並求焦點 F(5,0) 到漸近線的距離，驗證它是否等於 b。(2) 若把方程改為 y²/16 − x²/9 = 1（焦點在 y 軸），重新給出 e 與漸近線，並說明哪些量不變、哪些量變了；再用定義驗證一點：雙曲線上一點到兩焦點距離之差應為 2a。

解析

(2) 改為 y²/16 − x²/9 = 1：此時正項在 y，a² = 16 → a = 4（實半軸沿 y），b² = 9 → b = 3，c² = 16+9 = 25 → c = 5，e = c/a = 5/4 = 1.25。漸近線由 y²/16 − x²/9 = 0 得 y = ±(4/3)x 形式不變（但此時應寫成 x = ±(3/4)y 更貼開口方向）；焦點變為 (0, ±5)。
不變 / 變：c = 5 不變、漸近線斜率 ±4/3 不變、a²+b² = 25 不變；變的是 a 與 b 互換（3↔4）、e 由 5/3 變 5/4、焦點所在軸由 x 變 y、開口方向由左右變上下。關鍵提醒：a 永遠是正項分母的平方根，不是「較大的那個數」；本題改式後 a=4>b=3，若仍按「大數是 b」就會把 e 算成 5/3。

定義驗證：取頂點 V(0,4)（在雙曲線上：16/16 − 0 = 1 ✓）。兩焦點 F₁(0,−5)、F₂(0,5)。|VF₁| = 9，|VF₂| = 1，差 = 8 = 2a = 2·4 ✓。
再取一點回代：令 y = 5，則 25/16 − x²/9 = 1 → x² = 9·(9/16) = 81/16 → x = 9/4 = 2.25，點 P(2.25, 5)。|PF₁| = √(2.25² + 10²) = √(5.0625+100) = √105.0625 = 10.25；|PF₂| = √(2.25² + 0²) = 2.25；差 = 8.00 = 2a ✓ 兩處閉合。可順帶說明：10.25 與 2.25 恰為「整數化」的設計值（10.25²=105.0625 正好等於 2.25²+100），不是湊巧，是因為選了 y=c 這一行。

答案　(1) a=3,b=4,c=5,e=5/3，漸近線 4x±3y=0；焦點到漸近線距離 d=20/5=4=b（一般式 d=bc/√(a²+b²)=b）。(2) 改式後 a=4,b=3,c=5,e=5/4，漸近線斜率仍 ±4/3、焦點轉到 y 軸；不變的是 c 與斜率與 a²+b²，變的是 a/b 互換、e、焦點軸與開口方向；頂點處距離差 9−1=8=2a，另取 P(2.25,5) 得 10.25−2.25=8 亦閉合。

採分點　a/b/c/e 四個量各 0.5 分；漸近線 4x±3y=0 1 分；d=4 並給出一般推導 d=bc/√(a²+b²)=b 1 分；改式後 a=4,b=3,e=5/4 各 1 分；說明「a 是正項分母根」1 分；不變/變清單 1 分；頂點定義驗證 1 分；P(2.25,5) 二次驗證 1 分。

易錯點　把雙曲線關係寫成 a²=b²+c²；改式後仍取 a=3 而算 e=5/3（沒認出正項換了軸）；漸近線寫成 y=±(3/4)x（把 a、b 弄反）；認為焦點到漸近線距離等於 a；用橢圓定義「和為 2a」去驗雙曲線；取驗證點時選了不在曲線上的數卻不回代方程。

三、規律小結與對照表

圓錐曲線的題，起手只要兩件東西：正項分母給出 a，以及橢圓 a²=b²+c²、雙曲線 c²=a²+b²。焦點三角形面積用定義＋餘弦定理算一遍、用 S=b²tan(θ/2) 再算一遍，本題都落在 3√3；焦點到漸近線距離等於 b 也可以一般地推出來，不必死記。最容易翻車的是把方程換軸後仍按舊 a 算 e——記住 a 永遠跟著正項走。方程與數值均為自編示意。

四、自測清單

• □ 先找正項，a² 是正項分母，別按「大數」取 a；
• □ 橢圓 a²=b²+c²、雙曲線 c²=a²+b²，寫前先停一秒；
• □ 焦點三角形用「定義＋餘弦定理」與 S=b²tan(θ/2) 兩路互驗；
• □ θ 的頂點是 P（兩焦半徑夾角），別認成焦點處的角；
• □ 漸近線令右端為 0；驗 d=bc/√(a²+b²)=b；
• □ 換軸後重新認 a、e、焦點座標，並用 |r₁−r₂|=2a 回代驗點。