聯招數學·線性規劃與基本不等式：最值的兩路求法

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

兩組自編題設：

(一) 線性規劃：max z = 3x + 2y，約束 x + y ≤ 6，2x + y ≤ 8，x ≥ 0，y ≥ 0。
(二) 基本不等式：x > 0，y > 0，且 2x + 3y = 12，求 (a) xy 的最大值；(b) 1/x + 1/y 的最小值。

兩條紀律先立住：線性規劃的最優值一定在可行域頂點（或邊界）取到，必須把頂點逐個代入比大小；基本不等式給的是「≤ / ≥」的界，只有等號條件在約束內可滿足時，這個界才是真正的最值。

二、逐題精講

題1

題1 線性規劃的頂點枚舉與目標函數平移

(1) 畫出可行域，求出全部頂點，逐個代入 z = 3x + 2y，給出最大值與取等點。(2) 用「目標函數直線平移」解釋為什麼最大值落在那個頂點；若把目標改成 z′ = 2x + 3y，最優點是否變化？請重新枚舉並說明原因。

解析

逐個代入：z(O)=0；z(A)=3·0+2·6=12；z(B)=3·4+2·0=12；z(C)=3·2+2·4=6+8=14。
故 z_max = 14，在 C(2,4) 取到。順帶發現：A 與 B 都是 12，說明目標函數在兩條不同邊界上可以取同值，不能只算一個頂點就下結論。

(2) 平移解釋。 把 z = 3x+2y 寫成 y = −(3/2)x + z/2，斜率 −3/2 固定，z 越大縱截距越大，直線越往右上平移。可行域兩條斜邊的斜率分別是 −1（x+y=6）與 −2（2x+y=8），而 −2 < −3/2 < −1，即目標直線夾在兩條邊界斜率之間；平行上移時最後離開可行域的點正是兩斜邊的交點 C(2,4)，故最優在 C。這與枚舉結果一致。

目標改成 z′ = 2x + 3y：重新枚舉 z′(O)=0；z′(A)=18；z′(B)=8；z′(C)=4+12=16。
最優點變為 A(0,6)，z′_max = 18。原因：z′ 寫成 y = −(2/3)x + z′/3，斜率 −2/3 比 −1 更平緩，平移到最後離開可行域時先撞到 y 軸上的 A，而不是交點 C。結論：可行域沒變，但目標函數方向一變，最優點會沿邊界「滑」到另一個頂點；每次換目標都必須重新枚舉全部頂點，不能沿用上一問的取等點。

答案　(1) 頂點 O(0,0)、A(0,6)、B(4,0)、C(2,4)；z 依次為 0、12、12、14，最大 14 在 C(2,4)。(6,0) 與 (0,8) 因違反另一約束被劃掉。(2) 目標直線斜率 −3/2 夾在 −2 與 −1 之間，最後離開點在 C；改 z′=2x+3y 後重新枚舉得最大 18 在 A(0,6)，最優點改變。

採分點　畫出可行域並列出四個有效頂點 2 分；指出 (6,0)、(0,8) 不可行並說明驗約束 1 分；四個 z 值逐個代入 1 分；zmax=14 與 C(2,4) 1 分；斜率 −3/2 夾在 −2 與 −1 之間的平移解釋 1 分；改目標後四個 z′ 值 1 分；最優點變為 A(0,6)、值 18 1 分；說明「換目標必須重新枚舉」1 分。

易錯點　把 (6,0) 或 (0,8) 當頂點直接代入（沒驗另一條約束）；只算交點 C 就算完，不枚舉 A、B；見 A、B 同為 12 就以為最優在整條邊上；把目標直線斜率寫反（−2/3 與 −3/2 混）；改目標後沿用 C 點；把「最大值」與「上界」混用而不驗取等點。

題2

題2 基本不等式與柯西：最值、等號條件與回代

設 x > 0，y > 0，2x + 3y = 12。(1) 求 xy 的最大值，並驗證等號在約束內可取得。(2) 求 1/x + 1/y 的最小值；請用柯西不等式與消元求導兩路計算並對照，給出等號條件與最小值（可用根式）。

解析

(2) 第一路：柯西不等式。
(1/x + 1/y)(2x + 3y) ≥ (√(1/x·2x) + √(1/y·3y))² = (√2 + √3)² = 5 + 2√6。
因 2x+3y = 12，得 1/x + 1/y ≥ (5 + 2√6)/12 ≈ (5 + 4.898979)/12 = 0.824915。
等號條件：柯西取等要求 (1/x)/ (2x) 與 (1/y)/(3y) 成比例，等價地 x/y = √3/√2 = √6/2 ≈ 1.224745；聯立 2x+3y=12 解得 y = 12/(2·√6/2 + 3) = 12/(√6+3)，x = (√6/2)y。數值：y ≈ 12/5.44949 = 2.20204，x ≈ 2.69694；回代 2x+3y ≈ 5.3939+6.6061 = 12.000 ✓。

第二路：消元求導。 由約束 y = (12 − 2x)/3，定義域 0 < x < 6。設
f(x) = 1/x + 3/(12 − 2x)。
f′(x) = −1/x² + 6/(12 − 2x)²。令 f′=0 → 6x² = (12 − 2x)² → √6 x = 12 − 2x（取正根，因兩邊為正）→ x = 12/(2 + √6) ≈ 2.69694 ✓ 與柯西等號點一致。
代回：y = (12 − 2x)/3 ≈ 2.20204，f = 1/2.69694 + 1/2.20204 ≈ 0.37078 + 0.45413 = 0.82491；與柯西值 0.824915 一致（差僅來自取位），再用精確式複核：
x = 12/(2+√6)，1/x = (2+√6)/12；12 − 2x = 12√6/(2+√6)，故 3/(12−2x) = 3(2+√6)/(12√6) = (2+√6)/(4√6)。兩者和 = (2+√6)[1/12 + 1/(4√6)] = (2+√6)(√6+3)/(12√6) = [(2+√6)(3+√6)]/(12√6) = (6 + 2√6 + 3√6 + 6)/(12√6) = (12 + 5√6)/(12√6) = 12/(12√6) + 5√6/(12√6) = 1/√6 + 5/12 = √6/6 + 5/12 = (2√6 + 5)/12 = (5 + 2√6)/12 ✓ 兩路精確一致。

兩路對照的意義：柯西給界快但必須驗等號可達；求導給駐點但必須驗定義域與端點（x→0⁺ 或 6⁻ 時 f→+∞，故唯一駐點是最小值）。兩條路都指向 (5+2√6)/12，且等號點相同，答案才站得住。

答案　(1) 6xy≤36 → xy≤6，等號在 2x=3y=6 即 (3,2) 取得，最大值 6。(2) 最小值 (5+2√6)/12≈0.824915；柯西等號 x/y=√3/√2≈1.224745，消元求導駐點 x=12/(2+√6)≈2.69694 與之相同，精確回代兩路一致；端點 f→+∞ 保證是最小值。

採分點　配湊 2x·3y 並寫出 6xy≤36 1 分；最大值 6 1 分；驗等號 (3,2) 在約束內且回代 1 分；柯西寫出 (√2+√3)²=5+2√6 1 分；最小值 (5+2√6)/12 1 分；柯西等號條件 x/y=√6/2 1 分；消元與 f′ 1 分；駐點 x=12/(2+√6) 與等號點一致 1 分；精確回代兩路一致 1 分；端點 f→+∞ 說明是最小值 1 分。

易錯點　直接用 xy≤((x+y)/2)² 而忽略約束是 2x+3y（配湊錯）；只寫 xy≤6 不驗等號就稱最大值；柯西漏平方或把 (√2+√3)² 算成 5+√6；求導後不驗 0<x<6 與端點；把 (5+2√6)/12 近似值當精確答案；兩路數值略有出入時不查取位就直接改答案。

三、規律小結與對照表

這一組最值題，兩路各有各的「最後一腳」：線性規劃必須把頂點逐個代入（還要先把 (6,0)、(0,8) 這類違反另一約束的假交點劃掉），基本不等式/柯西必須驗等號在約束內真的取得到——只寫出「≤6」「≥(5+2√6)/12」是界，不是最值。題2 用柯西與消元求導兩路算，駐點都落在 x=12/(2+√6) 上，精確回代同為 (5+2√6)/12；若兩路數值差一點，先查中間取位，別急著改答案。題設與數值均為自編示意。

四、自測清單

• □ 線性規劃先把所有交點驗一遍約束，劃掉不可行的；
• □ 四個頂點逐個代入目標函數，別隻算交點；
• □ 換目標函數必須重新枚舉，最優點會沿邊界滑動；
• □ 用基本不等式前先配湊出「定和/定積」的形式；
• □ 寫出 ≤ 或 ≥ 之後，必須驗等號條件在約束內可達；
• □ 求導法補驗定義域與端點（本題兩端都趨於 +∞）；
• □ 兩路不等先查中間取位，用精確式回代閉合。