聯招數學·數列求和：等差最值、裂項與錯位相減

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

三組自編數列：

(一) 等差 a₁ = 20，d = −2，求 S_n 的最大值及對應 n。
(二) 裂項：求 T_n = Σ_k=1ⁿ 1/[k(k+1)]，並算 T₉₉。
(三) 錯位相減：求 U_n = Σ_k=1ⁿ k·2^k，並算 U₅。

三型各配一條回代互驗：等差用「S_n=n(a₁+a_n)/2」逐項加一遍；裂項用「前幾項手工通分」對照公式；錯位相減用「直接逐項相加」對照閉式。不等就先查相減後剩了幾項，別急著改答案。

二、逐題精講

題1

題1 等差 Sn 最值與裂項相消

(1) 對等差數列 a₁=20、d=−2，寫出 a_n 與 S_n，求 S_n 最大值及取到的 n；用「正項加到哪一項為止」與「二次函數對稱軸」兩路互驗。(2) 推導 T_n = Σ 1/[k(k+1)] 的閉式，算 T₉₉；再用前三項手工通分驗證閉式，並說明裂項後「剩下哪幾項」。

解析

第一路：看正項。 a_n > 0 ⇔ 22 − 2n > 0 ⇔ n < 11，故 a₁…a₁₀ 為正、a₁₁ = 0、a₁₂ = −2 起為負。S_n 在加到第 10 項時最大；因 a₁₁=0，S₁₁ = S₁₀ 同為最大。
第二路：二次函數。 S_n = −n² + 21n，開口向下，對稱軸 n = 21/2 = 10.5；n 須為整數，故最近的兩個整數 10 與 11 同取最大。S₁₀ = 10×11 = 110，S₁₁ = 11×10 = 110 ✓ 兩路一致。
逐項回代：20+18+16+14+12+10+8+6+4+2 = 110 ✓；再加 a₁₁=0 仍 110；加 a₁₂=−2 得 108，開始下降。
易錯點：只答 n=10 漏掉 n=11；把對稱軸 10.5 四捨五入成 11 就只給一個；或誤以為「a_n 變負時 S_n 立刻變小」而忽略 a₁₁=0 這一項。

(2) 裂項：1/[k(k+1)] = 1/k − 1/(k+1)。故
T_n = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + … + (1/n − 1/(n+1))，中間全部相消，只剩首項的 1 與末項的 −1/(n+1)：
T_n = 1 − 1/(n+1) = n/(n+1)。T₉₉ = 99/100 = 0.99。

前三項手工通分驗證：T₃ = 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) = 1/2 + 1/6 + 1/12 = 6/12 + 2/12 + 1/12 = 9/12 = 3/4；公式給 3/(3+1) = 3/4 ✓。
再驗 n=1、2：T₁=1/2=1/2 ✓；T₂=1/2+1/6=2/3，公式 2/3 ✓。
「剩哪幾項」要寫清：裂項後保留的是第一括號的正首項 1 與最後一個括號的負末項 −1/(n+1)，共兩項；若題目改成 Σ1/[k(k+2)]，則相消後剩前兩項與後兩項（因為步長變成 2），答案會是 (3/2 − 1/(n+1) − 1/(n+2))/2 一類——步長決定剩幾項，這是裂項題最重要的推廣點。

答案　(1) a_n=22−2n，S_n=21n−n²；Smax=110，在 n=10 與 n=11 同時取到（a₁₁=0、對稱軸 10.5），逐項加和 110 回代一致。(2) T_n=n/(n+1)，T₉₉=0.99；前三項通分 3/4 與公式一致；裂項後剩首項 1 與末項 −1/(n+1) 共兩項，步長變 2 則剩四項。

採分點　a_n 與 S_n 表達式各 1 分；正項法判 a₁₁=0 1 分；對稱軸 10.5 與兩整數 1 分；Smax=110 與 n=10,11 各 1 分；逐項回代 1 分；裂項拆分 1 分；T_n=n/(n+1) 與 T₉₉ 1 分；前三項通分驗證 1 分；說明「剩兩項」及步長推廣 1 分。

易錯點　Sn 寫成 n(a₁+a_{n+1})/2；只給 n=10 漏 n=11；把對稱軸 10.5 四捨五入；裂項忘變號寫成 1/k+1/(k+1)；T_n 寫成 1−1/n；算 T₉₉ 用 99/100 卻寫成 0.099；不驗「剩幾項」就套到步長 2 的變式。

題2

題2 錯位相減與兩路互驗

(1) 推導 U_n = Σ_k=1ⁿ k·2^k 的閉式；用 n=5 的直接逐項相加回代驗證。(2) 把方法推廣到 V_n = Σ_k=1ⁿ k·q^k（q≠1），寫出閉式並說明 q=1 時退化成什麼；再用 q=3、n=3 回代一次。

解析

逐項回代（n=5）：直接相加 = 2 + 8 + 24 + 64 + 160 = 258；閉式代入 = (5−1)·2⁶ + 2 = 4×64 + 2 = 258 ✓。
再驗 n=1、2、3：n=1 → 0×4+2=2 ✓（只有 1·2）；n=2 → 1×8+2=10 = 2+8 ✓；n=3 → 2×16+2=34 = 2+8+24 ✓ 四點全閉合。
最容易錯的一步：①−② 時中間是等比數列 2+2²+…+2ⁿ 共 n 項，末項還要單獨減去 n·2ⁿ⁺¹；漏掉末項或把等比和寫成 2ⁿ−1（少一個 2）都會得錯閉式。回代 n=1 是最快的攔錯手段。

(2) 一般 q：
V_n = q + 2q² + … + nqⁿ；qV_n = q² + 2q³ + … + nqⁿ⁺¹。
(1−q)V_n = q + q² + … + qⁿ − nqⁿ⁺¹ = q(1−qⁿ)/(1−q) − nqⁿ⁺¹。
故 V_n = [q(1−qⁿ)/(1−q) − nqⁿ⁺¹]/(1−q) = q(1−qⁿ)/(1−q)² − nqⁿ⁺¹/(1−q)；也可通分寫成 V_n = q[1 − (n+1)qⁿ + nqⁿ⁺¹]/(1−q)²。
q=1 退化：公式分母為 0，不能代入；此時 V_n = Σk = n(n+1)/2，就是等差數列求和。必須單獨寫，這是「等比方法不適用於 q=1」的標準考點。
q=2 回驗：代入通式得 [1·(1−2ⁿ)·2/(−1)² − n·2ⁿ⁺¹/(−1)] = 2(2ⁿ−1) + n2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ⁺¹ − 2 + n2ⁿ⁺¹？須複核符號：用更穩的 (1−q)V 形式直接算 —— (1−2)V = −V = 2(1−2ⁿ)/(−1) − n2ⁿ⁺¹ = 2(2ⁿ−1) − n2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ⁺¹ − 2 − n2ⁿ⁺¹，故 V = (n−1)2ⁿ⁺¹ + 2 ✓ 與(1)一致。登記：上面直接套通分式時因 (1−q) 為負，兩項符號容易寫反，用 (1−q)V 原式回代更穩。
q=3, n=3 回代：直接相加 = 1·3 + 2·9 + 3·27 = 3 + 18 + 81 = 102。
用 (1−q)V 式：(1−3)V = −2V = 3(1−27)/(1−3) − 3·3⁴ = 3(−26)/(−2) − 3·81 = 39 − 243 = −204 → V = 102 ✓。
通分式驗算：q[1 − (n+1)qⁿ + nqⁿ⁺¹]/(1−q)² = 3[1 − 4·27 + 3·81]/4 = 3[1 − 108 + 243]/4 = 3·136/4 = 102 ✓ 三路一致。

答案　(1) U_n=(n−1)2^{n+1}+2；n=5 時 2+8+24+64+160=258 與閉式 4×64+2=258 一致，n=1,2,3 亦閉合。(2) V_n=q[1−(n+1)q^n+nq^{n+1}]/(1−q)²（q≠1）；q=1 退化為 n(n+1)/2；q=3,n=3 時直接和 102，(1−q)V 式與通分式三路同為 102。

採分點　寫出①與②並錯位對齊 1 分；①−② 等比部分 2+…+2ⁿ 1 分；閉式 U_n=(n−1)2^{n+1}+2 1 分；n=5 逐項 258 與回代各 1 分；n=1,2,3 三點驗 1 分；一般 q 通式 1 分；q=1 單獨退化 1 分；q=2 回到本題閉式 1 分；q=3,n=3 三路 102 1 分；登記通分式符號風險 1 分。

易錯點　①−② 漏掉末項 n·2^{n+1}；把等比和寫成 2ⁿ−1；閉式寫成 (n+1)2^{n+1}−2；不回代 n=1 就交卷；把 q=1 直接代入通式（分母為 0）；一般式裡 (1−q) 為負時兩項符號寫反；q=3 驗算時把 3⁴ 算成 27；忘記「等差×等比才用錯位相減」。

三、規律小結與對照表

數列求和這三型，每型都自帶一條自檢：等差最值要同時看正項加到哪裡與二次函數對稱軸（本題 a₁₁=0，10 和 11 都取 110）；裂項要數清相消後剩幾項（步長 1 剩兩項，步長 2 剩四項）；錯位相減要驗 ①−② 後的等比和與末項，最省事的是回代 n=1。題2 推廣到一般 q 時，我特意留了一處「直接套通分式符號寫反、改用 (1−q)V 原式才閉合」的痕跡——兩路不等先查符號，不改題給數據。數列與數值均為自編示意。

四、自測清單

• □ 等差最值：先求 a_n 變號點，再看 S_n 對稱軸，別漏 a_n=0 那一項；
• □ 對稱軸是小數時，檢查相鄰兩個整數是否同取最大；
• □ 裂項先寫拆分式，再數「剩首幾項＋末幾項」，步長決定項數；
• □ 錯位相減：①−② 後的等比和 + 末項 n·q^{n+1} 都要在；
• □ 閉式一出來先回代 n=1、2、3；
• □ 一般 q 公式註明 q≠1，並單獨寫 q=1 退化為 n(n+1)/2；
• □ (1−q) 為負時優先用原式回代，避免通分式符號寫反。