聯招數學·線性迴歸與相關係數：最小二乘、樣本中心點與外推風險

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

給一組 (x, y) 數據求迴歸直線，最快的自驗不是把公式再背一遍，而是記住兩件事：直線一定過 (x̄, ȳ)，以及 r 與 b̂ 同號。前者能立刻驗出 â 算錯，後者能驗出斜率方向反了。

公式按這個順序用：先算 x̄、ȳ → 再算 Sxy = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) 與 Sxx = Σ(xᵢ−x̄)² → b̂ = Sxy / Sxx → â = ȳ − b̂x̄ → 得 ŷ = b̂x + â。相關係數 r = Sxy / √(Sxx·Syy)，其中 Syy = Σ(yᵢ−ȳ)²，取值在 [−1, 1]。下面五組數據為自編示意，x 表示「自編示意的練習周次」，y 表示「自編示意的周測得分增量」，單位與數值均為虛構。

二、逐題精講

題1

題1 求迴歸直線並雙路回驗

自編示意數據（n = 5）：
x：1　2　3　4　5
y：3　5　8　9　12

(1) 計算 x̄、ȳ、Sxy、Sxx，求 b̂、â，寫出迴歸直線 ŷ = b̂x + â。(2) 用「直線過樣本中心點」與「逐點殘差之和」兩路回驗；再計算 Syy 與相關係數 r，說明 r 的符號與 b̂ 是否一致、|r| 說明了什麼。

解析

(2) 回驗一路（中心點）：把 x = 3 代入得 ŷ = 2.2×3 + 0.8 = 7.4 = ȳ ✓，直線過 (3, 7.4)。
回驗二路（殘差和）：逐點 ŷ 為 3.0、5.2、7.4、9.6、11.8；殘差 y−ŷ 為 0、−0.2、0.6、−0.6、0.2，Σ殘差 = 0 ✓（最小二乘的正規方程必然給出這一性質，殘差和為零是 â 算對的硬檢驗）。
Syy = 19.36 + 5.76 + 0.36 + 2.56 + 21.16 = 49.20；
r = 22.0 / √(10×49.20) = 22.0/√492 = 22.0/22.1811 ≈ 0.9918。r > 0 與 b̂ > 0 一致 ✓；|r| 很接近 1，說明這五點在該樣本範圍內線性趨勢很強，但 r 只描述線性關聯強度，不證明因果，也不保證樣本外仍成立。

易錯提醒：b̂ 的分子是離差積之和，不是 Σxᵢyᵢ；若誤用 Σxᵢyᵢ/Σxᵢ² 會得到 133/55 ≈ 2.418，與 2.2 不符，殘差和也不再為 0，立刻暴露。

答案　(1) x̄=3，ȳ=7.4，Sxy=22.0，Sxx=10，b̂=2.2，â=0.8，ŷ=2.2x+0.8。(2) 過 (3,7.4)；殘差 0、−0.2、0.6、−0.6、0.2，和為 0；Syy=49.20，r≈0.9918，與 b̂ 同為正，|r| 接近 1 表示樣本內線性趨勢強。

採分點　x̄、ȳ 各 1 分；Sxy=22.0 與 Sxx=10 各 1 分；b̂=2.2 1 分；â=0.8 1 分；迴歸直線寫法 1 分；中心點回驗 1 分；殘差和為 0 的驗算 1 分；Syy=49.20 與 r≈0.9918 各 1 分；點明 r 不證因果 1 分。

易錯點　把 b̂ 誤寫成 Σxy/Σx²；先算 â 再算 b̂ 導致順序錯；â 用 x̄ 之外的某個 x 代入；漏驗殘差和；把 |r| 接近 1 說成「x 導致 y」；把 r 當成斜率。

題2

題2 內插、外推與相關係數誤用辨析

(1) 用題1 的迴歸直線：① 估計 x = 2.5 時的 y；② 有人據此斷言「x = 20 時 y 必為 44.8」，請指出問題並寫出嚴謹表述。(2) 判斷下列說法是否正確並說明理由：①「r≈0.9918，所以練習周次增加是得分增量的原因」；②「把五組數據的 x、y 對調重新迴歸，新斜率等於 1/2.2」；③「若給每個 y 都加 3，b̂ 不變、â 增加 3」；④「若給每個 x 都乘 2，b̂ 變為原來的一半」。

解析

(2) ① 錯。r 只度量線性關聯強度與方向，不提供因果方向，也不排除第三個變量（如基礎水平、題目難度）同時影響兩者；只能說「在該樣本中兩者呈強正線性關聯」。② 錯。y 對 x 迴歸的斜率是 Sxy/Sxx = 2.2，x 對 y 迴歸的斜率是 Sxy/Syy = 22.0/49.20 ≈ 0.4472，二者乘積 = r² ≈ 0.9837，不是 1；只有 |r| = 1（完全共線）時兩斜率才互為倒數。③ 對。y 整體平移 3：ȳ 增 3、離差 (y−ȳ) 全不變 → Sxy、Sxx、b̂ 均不變；â′ = (ȳ+3) − b̂x̄ = â + 3 = 3.8。④ 對。x 乘 2：x̄ 乘 2、(x−x̄) 乘 2 → Sxx 乘 4、Sxy 乘 2 → b̂′ = 2Sxy/4Sxx = b̂/2 = 1.1；â′ = ȳ − b̂′(2x̄) = ȳ − (b̂/2)(2x̄) = ȳ − b̂x̄ = â，截距不變（可順帶寫出）。

數值互驗：r² = 22.0²/(10×49.20) = 484/492 = 0.98374；2.2 × 0.44715 = 0.98374 ✓；b̂′ = 1.1 代回 x′ = 2x 時 ŷ = 1.1x′ + 0.8 = 2.2x + 0.8，與原直線完全一致 ✓。

答案　(1) ① 6.3（內插）。② 44.8 只是「若線性趨勢延續」的模型值，屬樣本外外推，不能斷言「必為」。(2) ①錯（r 不證因果）②錯（對調後斜率 = Sxy/Syy≈0.4472，兩斜率乘積 = r²≈0.9837≠1）③對（b̂ 不變，â→3.8）④對（b̂→1.1，â 仍 0.8）。

採分點　內插值 6.3 1 分；外推計算 44.8 1 分；指出「超出樣本範圍」1 分；改寫成條件式估計 1 分；四句判斷各 1 分；② 能算出 0.4472 與 r² 1 分；③ 說明離差不變 1 分；④ 說明截距不變並回代 1 分。

易錯點　把外推值當確定預測；把 r 高說成因果；把 x、y 對調後的斜率當成互為倒數；③ 誤以為平移會改變斜率；④ 只改斜率卻忘了截距不變；忽略 r² 與兩斜率乘積這一現成自驗。

三、規律小結與對照表

線性迴歸的賬要算得閉合：x̄、ȳ → Sxy、Sxx → b̂、â，然後用中心點和殘差和為零各驗一次，再用 r 的符號驗方向。三道自驗都過，答案基本不會錯。最後一關在公式之外：r 再高也不證明因果，樣本之外的 x 再代入也只是模型值。本例五組數據、周次與得分增量均為自編示意，不代表真實觀測或統計結論。

四、自測清單

• □ 先算 x̄、ȳ，再算離差，不直接套 Σxy/Σx²；
• □ b̂ = Sxy/Sxx，â = ȳ − b̂x̄，順序不顛倒；
• □ 把 (x̄, ȳ) 代回直線，應得 ȳ；
• □ 逐點算殘差，其和必須為 0；
• □ r = Sxy/√(Sxx·Syy)，符號與 b̂ 一致，|r|≤1；
• □ 記住兩回歸斜率乘積 = r²，不是 1；
• □ 平移 y 只改 â、縮放 x 改 b̂ 而不改 â；
• □ 內插可作估計，外推必須寫明「若趨勢延續」且不作確定斷言。