聯招物理·氣墊導軌驗證動量守恆：遮光條與恢復係數

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

氣墊導軌上滑塊近似無摩擦，碰撞前後系統動量守恆；但動能是否守恆要看碰撞類型。測速靠光電門：滑塊上寬 d 的遮光條通過時擋光 Δt，則 v = d / Δt。注意這是平均速度近似瞬時速度，d 要小；且方向由滑塊運動方向定，碰後若反彈，v 要帶負號。

三個判據固定：動量 m₁v₁+m₂v₂ = m₁v₁′+m₂v₂′；動能 只有彈性碰撞才相等；恢復係數 e = (v₂′−v₁′)/(v₁−v₂)，彈性 e=1、完全非彈性 e=0。下面質量、遮光條寬度與擋光時間均為自編示意數值，不代表任何真實測量。

二、逐題精講

題1

題1 彈性碰撞：由擋光時間求速度並驗守恆

自編示意裝置：滑塊 1 質量 m₁ = 0.300 kg，滑塊 2 質量 m₂ = 0.200 kg，碰前 m₂ 靜止；兩滑塊遮光條寬度均為 d = 2.00 cm。碰前滑塊 1 擋光時間 Δt₁ = 0.0200 s；碰後兩滑塊擋光時間分別為 Δt₁′ = 0.100 s、Δt₂′ = 0.0167 s（均沿原方向）。

(1) 求碰前 v₁ 與碰後 v₁′、v₂′；(2) 驗算碰前碰後總動量與總動能；(3) 求恢復係數 e，並判斷碰撞類型。

解析

(2) 碰前動量 p = m₁v₁ = 0.300×1.00 = 0.300 kg·m/s；碰後 p′ = 0.300×0.200 + 0.200×1.20 = 0.060 + 0.240 = 0.300 kg·m/s，守恆。
碰前動能 Eₖ = ½×0.300×1.00² = 0.150 J；碰後 Eₖ′ = ½×0.300×0.200² + ½×0.200×1.20² = 0.0060 + 0.144 = 0.150 J，也守恆。

(3) e = (v₂′ − v₁′)/(v₁ − v₂) = (1.20 − 0.200)/(1.00 − 0) = 1.00，屬彈性碰撞。
用公式回驗：彈性碰撞 v₁′ = (m₁−m₂)/(m₁+m₂)·v₁ = (0.100/0.500)×1.00 = 0.200 m/s；v₂′ = 2m₁/(m₁+m₂)·v₁ = (0.600/0.500)×1.00 = 1.20 m/s，與由擋光時間讀出的兩值完全一致。兩路互驗是本實驗最穩的核題手段：讀數算一遍、守恆公式算一遍，不等就回查 Δt 或方向。

答案　(1) v₁=1.00 m/s，v₁′=0.200 m/s，v₂′≈1.20 m/s；(2) 動量 0.300=0.300 kg·m/s、動能 0.150=0.150 J 均守恆；(3) e=1.00，彈性碰撞；彈性公式回驗兩速度一致。

採分點　d 換算 0.0200 m 1 分；三個速度各 1 分；碰前動量 1 分；碰後動量 1 分；碰前動能 1 分；碰後動能 1 分；e=1.00 與類型判斷 1 分；用彈性公式回驗 1 分。

易錯點　把 Δt 直接當速度比（認為 v₁′/v₁ = 0.100/0.0200 = 5）；d 忘換成米；把 v₂′=0.0200/0.0167 算成 0.012 m/s；碰後動能漏算某一滑塊；把「動能守恆」當成所有碰撞都成立；忽略取位帶來的 1.198 與 1.20 之差而不說明。

題2

題2 完全非彈性碰撞與誤差方向

仍用上題 m₁ = 0.300 kg、m₂ = 0.200 kg、v₁ = 1.00 m/s、v₂ = 0，改用粘合式碰撞（碰後兩滑塊連在一起運動）。

(1) 求共同速度 v 與對應的遮光時間 Δt（d = 0.0200 m）；(2) 求碰前總動能、碰後總動能與動能損失（含損失百分比）；(3) 求恢復係數 e；(4) 若把 20 次全振動式的計時思路誤用過來，把「碰後 0.100 s 的擋光時間」記成 0.0900 s，求由此算出的 v₁′ 與動量，並判斷動量是否仍守恆、說明這屬於哪類誤差。

解析

(2) 碰前 Eₖ = ½×0.300×1.00² = 0.150 J；碰後 Eₖ′ = ½×0.500×0.600² = ½×0.500×0.360 = 0.090 J；損失 ΔE = 0.150 − 0.090 = 0.060 J，佔 40.0%。
用公式回驗：完全非彈性碰撞損失比例 = m₂/(m₁+m₂) = 0.200/0.500 = 0.400，與 0.060/0.150 = 0.400 一致。動量仍守恆、動能不守恆——這正是兩類碰撞的分界，不能寫出「動能損失所以動量不守恆」。

(3) e = (v₂′ − v₁′)/(v₁ − v₂) = (0.600 − 0.600)/1.00 = 0，屬完全非彈性碰撞；e=1 與 e=0 正好是上題與本題的兩個端點。

(4) 按 0.0900 s 讀數：v₁′ = 0.0200/0.0900 = 0.222 m/s（真值 0.200）。若仍按彈性公式取 v₂′ = 1.20 m/s 不變，算得 p′ = 0.300×0.222 + 0.200×1.20 = 0.0667 + 0.240 = 0.307 kg·m/s，與碰前 0.300 不再相等，表面上看「動量不守恆」。
這是測量（偶然／讀數）誤差擋光時間偏小導致速度偏大，不是物理規律失效：動量守恆定律在此仍成立，偏差 0.0067 kg·m/s 約 2.2% 應歸因於 Δt 的讀數。處理辦法是多次測量取平均、用更窄的遮光條、檢查光電門是否正對；不能據此修改守恆式，也不能把偏差寫成「系統誤差使動量增加」。

答案　(1) v=0.600 m/s，Δt=0.0333 s；(2) 0.150 J→0.090 J，損失 0.060 J＝40.0%（=m₂/(m₁+m₂)）；(3) e=0；(4) v₁′=0.222 m/s、p′=0.307 kg·m/s，表面不守恆，屬擋光時間讀數偏小引起的測量誤差（約 +2.2%），非規律失效。

採分點　共同速度 0.600 m/s 1 分；Δt 0.0333 s 1 分；碰前動能 1 分；碰後動能 1 分；損失 0.060 J 與 40.0% 1 分；公式 m₂/(m₁+m₂) 回驗 1 分；e=0 1 分；第(4)問速度與動量 1 分；判為測量誤差並說明處理 1 分。

易錯點　把完全非彈性碰撞寫成「動量不守恆」；共同速度算成 (m₁−m₂)/(m₁+m₂)·v₁（那是彈性公式）；把動能損失比例算成 m₁/(m₁+m₂)=60%；把讀數誤差當成定律失效並去「修正」守恆式；忘記 Δt 偏小則 v 偏大的方向。

三、規律小結與對照表

氣墊導軌題三步：由 d/Δt 換速度（含方向）、分別列動量與動能、用 e 判碰撞類型。彈性案 e=1、動能守恆且公式與讀數兩路互驗；粘合案 e=0、動量仍守恆而動能損失 m₂/(m₁+m₂)=40%。最後記住：讀數偏差造成的是「看起來不守恆」，先查 Δt 與導軌調平，不要改守恆式。質量、2.00 cm 遮光條、0.0200 s 等時間均為自編示意數值，不代表任何真實測量；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

四、自測清單

• □ 先統一 d 的單位，再用 v=d/Δt 換出每個速度；
• □ 碰後若反彈，給速度帶上負號再列動量；
• □ 動量與動能分開驗，別把「動能損失」說成動量不守恆；
• □ 彈性案用公式回驗讀數，粘合案用 m₂/(m₁+m₂) 回驗損失比例；
• □ e=1 / e=0 兩個端點先定，再談中間情形；
• □ 出現「不守恆」先查擋光時間、遮光條寬度與導軌調平。