題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
摺疊題先寫一句不變量清單：摺痕上的點不動；被翻起的那一半圖形形狀全等（邊長、對角線、點到摺痕的垂距都不變）；只有兩半平面之間的二面角 θ 在變。於是求空間距離時，常把「翻起的點」投影到摺痕上，用不變的那段垂距配合 θ 分解。
本題取正方形 ABCD 邊長 2，沿對角線 BD 把 △ABD 翻到 △PBD（A→P）。設 O 為 BD 中點（也是正方形中心）：AO = √2、BD = 2√2、OC = √2，這三個量摺疊後一律不變。以 O 為原點、BD 為 x 軸、平面 BCD 為 xy 平面建系，可把任意 θ 下的 P 寫出來。下列邊長與角度均為自編示意數值。
二、逐題精講
題1
題1 折成直二面角（90°）
把 △ABD 沿 BD 翻起，使平面 PBD ⊥ 平面 BCD（θ = 90°）。
(1) 求 P 到平面 BCD 的距離；(2) 求 PC 的長；(3) 說明 P 到 BD 的距離為什麼仍等於 √2，並指出翻折過程中改變了與沒改變的量各兩例。
解析
(1) 摺疊前 A 到 BD 的垂距 = 正方形邊長 2 的對角線一半的一半？直接算：S△ABD = ½·2·2 = 2 = ½·BD·AO = ½·2√2·AO，故 AO = 2/(√2) = √2。翻折後 PO = AO = √2（不變量），且平面 PBD ⊥ 平面 BCD、PO 在平面 PBD 內且垂直於交線 BD，故 PO ⊥ 平面 BCD，即 P 到平面 BCD 的距離 = √2。(2) 用座標回驗：B(−√2,0,0)、D(√2,0,0)、C(0,√2,0)、P(0,0,√2)。
PC² = (0−0)² + (0−√2)² + (√2−0)² = 2 + 2 = 4 → PC = 2。
另一路（勾股）：PO ⊥ 平面 BCD ⇒ PO ⊥ OC，故 PC² = PO² + OC² = 2 + 2 = 4，同樣得 PC = 2。兩路互驗，說明「不變量 PO=OC=√2」用對了。
(3) P 到 BD 的距離仍為 √2，因為 △PBD 與 △ABD 全等——翻折是剛性轉動，繞軸 BD 旋轉不改變圖形內部任何距離；A 到 BD 的垂足就是 O，故 PO = AO = √2。
沒改變：① 各邊長（AB=AD=PB=PD=2，BC=CD=2）；② 到摺痕的垂距 AO=PO=√2、以及 BD=2√2、OC=√2。
改變了：① 二面角 A-BD-C（由 180° 的平角變為 90°）；② A（即 P）與 C 之間的空間距離 —— 未折時 AC 是正方形對角線 2√2 ≈ 2.828，折成 90° 後 PC = 2；③ P 到平面 BCD 的距離由 0 變為 √2。
易錯提醒：不要把「A 到 BD 的距離」與「A 到 C 的距離」混為一談，前者是不變量、後者隨 θ 變。
答案 (1) P 到平面 BCD 距離 = √2；(2) PC = 2（座標法與 PO⊥OC 勾股兩路一致）；(3) 因 △PBD≌△ABD 剛性轉動，PO=AO=√2；不變：邊長、到摺痕垂距/BD/OC；變：二面角、AC 由 2√2→2、P 到平面 BCD 距離 0→√2。
採分點 由面積求 AO=√2 1 分；指出 PO=AO 不變量 1 分；說明 PO⊥平面 BCD 1 分；距離 √2 1 分；座標或勾股求 PC²=4 1 分；PC=2 1 分；解釋剛性轉動/全等 1 分；不變兩例 1 分；改變兩例 1 分。
易錯點 把 AO 算成 1 或 2；認為翻折後 PB、PD 變了；把 P 到平面 BCD 的距離寫成 PO 在平面內的投影；算 PC 時漏掉 z 分量；把未折時 AC=2√2 當成折後 PC；混淆「到摺痕距離」與「到 C 的距離」。
題2
題2 一般二面角 θ 與通式回驗
設平面 PBD 與平面 BCD 的二面角為 θ（0 < θ ≤ 90°），仍用上題的正方形與座標系。
(1) 寫出 P 的座標（用 θ 表示）；(2) 推出 PC² 關於 θ 的表達式，並分別驗算 θ = 0°（未折）、θ = 60°、θ = 90° 三種情形；(3) 求 θ = 60° 時 P 到平面 BCD 的距離與 PC，並說明 θ = 0° 的結果為什麼恰好是正方形對角線長。
解析
(1) 翻折前 A = (0, −√2, 0)（在 xy 平面內、位於 BD 的 −y 側），C = (0, √2, 0)。繞 x 軸（BD）轉過 θ 後，P 到 BD 的垂距仍為 √2，其在 yz 平面內的方向由 −y 向 +z 旋轉 θ：P = (0, −√2·cosθ, √2·sinθ)。驗：θ=90° → (0, 0, √2)，與題1 一致 ✓；θ=0° → (0, −√2, 0) = A ✓。
(2) 向量 OP = (0, −√2cosθ, √2sinθ)，OC = (0, √2, 0)，|OP| = |OC| = √2，OP·OC = −2cosθ。故
PC² = |OP|² + |OC|² − 2·OP·OC = 2 + 2 + 4cosθ = 4 + 4cosθ。
逐項驗：θ=0° → PC² = 8 → PC = 2√2（正方形對角線 AC）✓；θ=60° → PC² = 4+4×0.5 = 6 → PC = √6 ≈ 2.449；θ=90° → PC² = 4 → PC = 2，與題1 兩路一致 ✓。
也能直接用座標差：PC² = (√2 + √2cosθ)² + (√2sinθ)² = 2(1+cosθ)² + 2sin²θ = 2(1+2cosθ+cos²θ+sin²θ) = 4 + 4cosθ ✓，兩路閉合。
(3) θ = 60°：P 到平面 BCD 的距離即 z 座標 = √2·sin60° = √6/2 ≈ 1.225；PC = √6（由上）。此時 P 在平面 BCD 內的投影為 (0, −√2/2, 0)，仍在 BD 的 −y 側但已抬起，與「翻起一半」的圖景一致。
θ=0° 恰為對角線長：θ=0 表示根本沒翻，P 與 A 重合、四點共面，PC 就是正方形的對角線 AC = √(2²+2²) = 2√2。這一端點回驗很有用——若通式在 θ=0 給不出 2√2，說明座標或夾角定義反了；同理 θ=90° 必須回到題1 的 2。
答案 (1) P=(0, −√2cosθ, √2sinθ)；(2) PC²=4+4cosθ；θ=0°→2√2，60°→√6，90°→2，三端點均與前面一致；(3) θ=60° 時距離 √6/2、PC=√6；θ=0 即未折，PC 為正方形對角線 2√2。
採分點 寫出 P 座標 1 分；驗 θ=90°/0° 兩端點 1 分；向量法得 OP·OC=−2cosθ 1 分；PC²=4+4cosθ 1 分；座標差法回驗 1 分；三個 θ 值各 1 分；(3) 距離 √6/2 1 分；解釋 θ=0 未折且等於對角線 1 分。
易錯點 把 P 的 y 分量寫成 +√2cosθ（方向反，θ=0 時落到 C 側）；把二面角 θ 定義成平面 PBD 與 xy 平面的補角；PC² 寫成 4−4cosθ；θ=0 時誤給 PC=2；忘記 P 到平面距離是 z 分量而不是 PO=√2。
三、規律小結與對照表
| 量 | 折前（θ=0） | θ=60° | θ=90° | 是否不變量 |
|---|---|---|---|---|
| 到摺痕垂距 PO | √2 | √2 | √2 | 不變（剛性轉動） |
| 邊長 PB=PD=AB | 2 | 2 | 2 | 不變 |
| BD / OC | 2√2 / √2 | 同 | 同 | 不變 |
| P 到平面 BCD | 0 | √6/2≈1.225 | √2 | 變 |
| 二面角 | 180°(平) | 60° | 90° | 變 |
| PC | 2√2 | √6≈2.449 | 2 | 變 |
| 通式 | PC²=4+4cosθ | 6 | 4 | θ=0 給 8 ✓ |
| P 座標 | (0,−√2,0) | (0,−√2/2,√6/2) | (0,0,√2) | — |
摺疊題只靠一句站住：繞摺痕剛性轉動，被翻起那一半自身的所有長度與角度都不變。於是 PO=√2 永遠成立，變的是二面角 θ 與跨半平面的距離；把 P 寫成 (0,−√2cosθ, √2sinθ) 後，PC²=4+4cosθ 一個式子把 θ=0°（對角線 2√2）、60°（√6）、90°（2）三個端點全串起來，端點回驗比多算十遍都穩。邊長 2、√2、√6 均為自編示意數值；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
四、自測清單
- □ 先列不變量清單：摺痕上的點、各邊長、到摺痕垂距；
- □ 認準「到摺痕距離」與「跨半平面距離」不是一回事；
- □ 以摺痕為 x 軸、底面為 xy 平面建系，寫出 P 的座標；
- □ 用向量點積或座標差推 PC²，再代 θ=0°/90° 兩端點回驗；
- □ θ=0 必須回到未折時的正方形對角線；
- □ P 到平面距離取 z 分量，別寫成 PO=√2。
