題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
兩個工具先擺好：幾何——|x−a| 是數軸上 x 到 a 的距離，故 |x−a|+|x−b| ≥ |a−b|（三角不等式），等號當且僅當 x 落在 a、b 之間；代數——以 x=a、x=b 為零點把數軸切成三段，逐段去絕對值符號再解，最後把各段解集並起來並與本段範圍取交。
兩個提醒：分段解必須回代本段範圍（解出的 x 若不在該段要舍）；含參恆成立先把它化成「函數最小值 ≥ 常數」，再反解參數。下面 a、b、參數與區間均為自編示意數值。
二、逐題精講
題1
題1 分段解不等式與幾何回驗
設 f(x) = |x − 1| + |x − 3|（自編示意表達式）。
(1) 求 f(x) 的最小值及取到最小值的 x 範圍；(2) 解不等式 f(x) ≤ 4；(3) 用幾何意義說明為什麼 f(x) 沒有最大值。
解析
(1) 由三角不等式 |x−1|+|x−3| ≥ |3−1| = 2，等號當 x ∈ [1, 3]。逐段驗算：x ≤ 1：f = (1−x)+(3−x) = 4−2x，隨 x 增大而減，在 x=1 取 2；
1 < x < 3：f = (x−1)+(3−x) = 2（常數）；
x ≥ 3：f = (x−1)+(x−3) = 2x−4，在 x=3 取 2。
故 最小值 2，x ∈ [1,3]。注意不能寫 0：兩段距離之和是「到 1 與到 3 的距離相加」，x 落在兩點之間時恰等於兩點間距 2，不可能更小。
(2) 以 1、3 分三段，逐段解並與本段範圍取交：
x ≤ 1：4−2x ≤ 4 → −2x ≤ 0 → x ≥ 0，與本段交得 [0, 1]；
1 < x < 3：f = 2 ≤ 4 恆成立，整段 (1, 3) 保留；
x ≥ 3：2x−4 ≤ 4 → 2x ≤ 8 → x ≤ 4，與本段交得 [3, 4]。
並集 [0,1] ∪ (1,3) ∪ [3,4] = [0, 4]。
幾何回驗：f(x) ≤ 4 即「到 1、3 兩段距離之和不超過 4」；最小值 2 在中間，兩側各線性增長，端點由 4−2x=4 得 x=0、由 2x−4=4 得 x=4，區間對稱於 x=2，與 [0,4] 一致 ✓。
(3) 當 x → +∞ 時 f(x) = 2x−4 → +∞；當 x → −∞ 時 f(x) = 4−2x → +∞。幾何上就是「點 x 越往數軸兩端走，到 1 與到 3 的距離之和越大，沒有上界」，故 f(x) 無最大值（只有最小值 2）。這一點與「閉區間上的連續函數必有最大最小」不矛盾——本題定義域是全體實數，不是閉區間。
答案 (1) 最小值 2，x∈[1,3]；(2) 解集 [0,4]；(3) x→±∞ 時 f→+∞，定義域為 R 無上界，故無最大值。
採分點 三角不等式得 |3−1|=2 1 分；等號條件 x∈[1,3] 1 分；三段表達式各 1 分；三段解集 [0,1]/(1,3)/[3,4] 各 1 分；並集 [0,4] 1 分；幾何回驗 1 分；(3) 說明無上界 1 分。
易錯點 把最小值寫成 0；分段解出 x≥0 後不與 x≤1 取交，直接寫 [0,+∞)；中段漏掉「恆成立」；把三段解集相減或求交而非求並；認為 f 在 R 上必有最大值（混淆閉區間結論）。
題2
題2 含參恆成立與多項絕對值
(1) 若 |x − 1| + |x − m| ≥ 3 對一切實數 x 恆成立（自編示意參數），求 m 的取值範圍；(2) 求 g(x) = |2x − 1| + |x + 2| 的最小值及取到時的 x，並逐段驗算；(3) 說明第(1)問為什麼可以「不分段」直接做，而第(2)問必須分段。
解析
(1) 左邊的最小值由三角不等式直接給出：min(|x−1|+|x−m|) = |m − 1|（等號在 x 落在 1 與 m 之間時取到）。要「對一切 x 恆 ≥ 3」，只需最小值 ≥ 3：|m − 1| ≥ 3 → m − 1 ≥ 3 或 m − 1 ≤ −3 → m ≥ 4 或 m ≤ −2。
回驗端點：m=4 時最小值 |4−1|=3，恰取等，成立；m=−2 時 |−2−1|=3，也恰取等；m=2 時最小值 1 < 3，不成立 ✓。
(2) 零點為 x = 1/2（來自 2x−1=0）與 x = −2（來自 x+2=0），分三段：
x < −2：g = (1−2x) + (−x−2) = −3x − 1，隨 x 增大而減，在 x→−2⁻ 時趨於 5；
−2 ≤ x < 1/2：g = (1−2x) + (x+2) = 3 − x，隨 x 增大而減，在 x = 1/2 處取 2.5；
x ≥ 1/2：g = (2x−1) + (x+2) = 3x + 1，隨 x 增大而增，在 x = 1/2 處取 2.5。
三段在 x=1/2 處銜接一致（3−0.5 = 2.5，3×0.5+1 = 2.5），故 最小值 2.5 = 5/2，取到於 x = 1/2。
注意：因 |2x−1| 的係數是 2，g 不是「兩段等權距離和」，不能直接套 |a−b|；兩個零點處的值分別是 g(−2)=5、g(1/2)=2.5，最小落在係數較大的那個零點上，這一點要由分段驗算得出，不能憑感覺。
(3) 第(1)問是「對一切 x 恆成立」，只關心左邊的全局最小值，而三角不等式恰好一步給出 min = |m−1|，無需知道 x 具體在哪一段取到，故可不分段。
第(2)問是「求最小值及取到時的 x」，既要值又要位置，且因 |2x−1| 帶係數 2，三角不等式不能直接給出 min；必須逐段寫出 g 的表達式、比較各段單調性與端點值，才能確定最小落在 x=1/2。
方法分界：只問「恆成立 / 參數範圍」→ 先試最小值公式；既問「最值」又問「何時取到」或各項係數不等 → 老實零點分段。
答案 (1) m≤−2 或 m≥4（由 min=|m−1|≥3）；(2) 最小值 5/2，取於 x=1/2，三段分別為 −3x−1 / 3−x / 3x+1；(3) 恆成立只需全局最小值可一步得，求最值且帶係數 2 時須分段定位置。
採分點 (1) 寫出 min=|m−1| 1 分；解 |m−1|≥3 1 分；m≤−2 或 m≥4 1 分；端點回驗 1 分；(2) 兩零點 1 分；三段表達式各 1 分；最小值 5/2 與 x=1/2 1 分；銜接一致回驗 1 分；(3) 兩問方法分界 1 分。
易錯點 (1) 把恆成立寫成 |m−1|≤3；漏掉 m≤−2 一支；(2) 只找一個零點（漏 x=−2）；把 |2x−1| 當成 |x−1/2| 直接套 |a−b|；把最小值寫成 3（誤用 x=−2 處）；三段解完不檢查銜接；(3) 說「兩題都要分段」或「兩題都不用分段」。
三、規律小結與對照表
| 工具/結論 | 適用 | 自編示意結果 | 易錯 |
|---|---|---|---|
| 三角不等式 | |x−a|+|x−b|≥|a−b| | min f=2，x∈[1,3] | 寫成 min=0 |
| 零點分段 | 三段去符號 | 4−2x / 2 / 2x−4 | 解不回代本段 |
| 解集 | 各段解集求並 | [0,1]∪(1,3)∪[3,4]=[0,4] | 寫成求交 |
| 無最大值 | 定義域 R 無上界 | x→±∞, f→+∞ | 套閉區間結論 |
| 恆成立 | min ≥ 常數 | |m−1|≥3→m≤−2 或 ≥4 | 方向寫反 |
| 係數不等 | |2x−1|+|x+2| | 零點 −2 與 1/2 | 只找一個零點 |
| 分段結果 | −3x−1 / 3−x / 3x+1 | min=5/2 於 x=1/2 | 直接套 |a−b| |
| 方法分界 | 恆成立 vs 求最值 | 一步公式 / 老實分段 | 混用 |
絕對值題兩把鑰匙：幾何上 |x−a|+|x−b| 的最小值就是 |a−b|（在兩點之間取到，絕不是 0），代數上以兩個零點切三段、逐段解並與本段取交。只問「恆成立/參數範圍」時一步用最小值公式即可；既問最值又問位置、或某項帶係數（如 |2x−1|），就必須分段定位置。本題 2、[0,4]、m≤−2 或 ≥4、5/2 均為自編示意數值；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
四、自測清單
- □ 先寫出兩個零點，數軸切三段；
- □ 每段去絕對值後，解集必須與本段範圍取交；
- □ 三段結果求並（不是求交），再代端點回驗；
- □ 用「兩段距離和 ≥ 兩點間距」驗最小值，別寫 0；
- □ 含參恆成立化成「最小值 ≥ 常數」再反解；
- □ 係數不等時別直接套 |a−b|，老實分段。
