題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
容斥的落點不是背公式，是給每個區域編號。二集合時把平面分成四塊：只 A、只 B、A∩B、都不；三集合時是八塊。先對號入座填數，再回答「至少／恰好／都不」，幾乎不會錯。
三條紀律：「至少」用並集（|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|）；「恰好一個」要把交集從每個單集裡剔掉再相加；「恰好兩個」＝Σ(兩兩交 − 三者交)。每算完用總數回驗一遍：所有互斥區域之和必須等於總人數。下面數據為自編示意，不代表真實統計。
二、逐題精講
題1
題1 二集合容斥與對立事件
自編調查：某年級一個班共 40 人，參加文學社的有 22 人，參加科創社的有 18 人，兩個都參加的有 8 人。
(1) 求只參加文學社、只參加科創社、至少參加一個、恰好參加一個、兩個都不參加的人數。(2) 用對立事件重算「至少參加一個」，並說明為什麼「22+18」不能直接當答案。
解析
(1) 先填四塊：A∩B = 8；只 A = 22 − 8 = 14；只 B = 18 − 8 = 10；都不 = 40 − (14 + 10 + 8) = 40 − 32 = 8。至少參加一個＝|A∪B|＝14 + 10 + 8＝32，也等於 22 + 18 − 8＝32。
恰好參加一個＝只 A + 只 B＝14 + 10＝24；注意它不是 32（32 裡含了 8 個「兩個都參加」）。
(2) 對立事件法：設 E＝「至少參加一個」，則 Ē＝「兩個都不參加」＝既不在 A 也不在 B。由 (1) 的區域表，都不＝8，故 |E|＝40 − 8＝32，與容斥一致。
為什麼 22+18 不能直接用：把 A 與 B 的人數相加時，A∩B 的 8 人被數了兩次，得到 40，恰等於全班人數，但它把「重疊的人」重複計入，既不是並集也不是任何一類所求區域。必須扣回一次交集：22 + 18 − 8＝32。這裡也順帶看出一個易混點：本題 |A|+|B|=40 純屬數值巧合，不能據此推斷「全班都參加了」。
總數回驗：14 + 10 + 8 + 8＝40 ✓，四塊互斥且窮盡，填區無誤。
答案 (1) 只A=14，只B=10，至少一個=32，恰好一個=24，都不=8。(2) 對立事件：40−8=32；22+18 把交集 8 人重複計一次，須減 8。
採分點 只A=14 1 分；只B=10 1 分；至少一個=32（寫出容斥式）1 分；恰好一個=24 1 分；都不=8 1 分；對立事件 40−8=32 1 分；說明 22+18 重複計交集 1 分；四塊和回驗 40 1 分。
易錯點 把「恰好一個」答成 32；用 40−22−18 得 0 當作都不參加；看到 22+18=40 就斷言全班都參加；扣交集時減兩次；忘了四塊之和回驗。
題2
題2 三集合容斥與「恰好兩個」
自編調查：同年級另一班 40 人，參加 A、B、C 三組的人數分別為 18、15、12；兩兩同時參加的為 |A∩B|=7、|A∩C|=5、|B∩C|=4；三組都參加的為 2 人。
(1) 求 |A∪B∪C|、三組都不參加的人數、恰好參加兩組的人數、至少參加兩組的人數。(2) 說明「恰好兩組」為什麼必須用「兩兩交 − 三者交」，直接把 7+5+4 相加錯在哪裡。
解析
(1) 三集合容斥：|A∪B∪C|＝(18+15+12) − (7+5+4) + 2＝45 − 16 + 2＝31。
都不參加＝40 − 31＝9。
恰好參加兩組：三個「兩兩交」裡都含著那 2 個三組全參加的人，各剔一次
(7−2) + (5−2) + (4−2)＝5 + 3 + 2＝10。
至少參加兩組＝恰好兩組 + 三組都參加＝10 + 2＝12。
區域回驗（八塊填數）：只 A＝18 − 5 − 3 − 2＝8（A 裡去掉 AB-only 5、AC-only 3、ABC 2）；只 B＝15 − 5 − 2 − 2＝6；只 C＝12 − 3 − 2 − 2＝5；AB-only＝5、AC-only＝3、BC-only＝2；ABC＝2；都不＝9。合計 8+6+5+5+3+2+2+9＝40 ✓；且 |A|＝8+5+3+2＝18 ✓、|B|＝6+5+2+2＝15 ✓、|C|＝5+3+2+2＝12 ✓，三個單集全部閉合。
(2) 「兩兩交」包含三組都參加者：一個同時參加 A、B、C 的人，在 |A∩B|、|A∩C|、|B∩C| 裡各被數了一次，共三次。直接 7+5+4＝16，既把這 2 人重複計了三次，又把它當成「恰好兩組」的區域和。正確做法是每一塊減一次三者交，得 5+3+2＝10；若要求「至少兩組」，再把 ABC 的 2 補回來得 12。
更一般的記法：「恰好 k 個」看區域，「至少 k 個」看累積；三集合容斥末尾那個 +|A∩B∩C|，正是把「先減三次、再加一次」的淨效果調成「扣兩次」。
答案 (1) |A∪B∪C|=31，都不=9，恰好兩組=10，至少兩組=12。(2) 兩兩交各含三組全參加者，7+5+4 把 2 人各數三次；須每塊減 2 得 10，至少兩組再加回 2 得 12。
採分點 寫出三集合容斥式 1 分；並集=31 1 分；都不=9 1 分；恰好兩組=(7−2)+(5−2)+(4−2)=10 1 分；至少兩組=12 1 分；八塊填數並回驗 40 1 分；說明三者交被數三次 1 分；點明「恰好看區域／至少看累積」1 分。
易錯點 容斥末尾漏 +2 得 29；把 7+5+4=16 直接當恰好兩組；「至少兩組」再加一次 2 得 14；算只 A 時忘了減 ABC；不做單集閉合回驗，看不出填區錯誤。
三、規律小結與對照表
| 所求 | 二集合公式 | 三集合公式 | 區域寫法 | 易錯點 |
|---|---|---|---|---|
| 至少一個 | |A|+|B|−|A∩B| | Σ單−Σ兩兩+三者交 | 所有非空區域求和 | 漏減交集／漏加三者交 |
| 恰好一個 | 只A+只B | Σ(單−相鄰交+三者交) | 三個「只」區域 | 誤用並集 32 |
| 恰好兩個 | （二集合無此塊） | Σ(兩兩交−三者交) | 三個「兩兩 only」 | 直接加兩兩交 |
| 至少兩個 | |A∩B| | 恰好兩組+ABC | 兩兩 only 加 ABC | 把 ABC 又加兩次 |
| 都不 | 總數−|A∪B| | 總數−|A∪B∪C| | 全空區域 | 用 40−22−18 硬減 |
| 回驗 | 四塊和=總數 | 八塊和=總數，且各單集閉合 | 互斥窮盡 | 不算單集閉合 |
容斥題先把平面切成互斥區域並填數，再按「至少／恰好」對號取塊，最後用總數與各單集雙重回驗。三句記牢：「至少」求並集，「恰好」看區域，兩兩交裡永遠含著三者交。本題最典型的錯是把 7+5+4＝16 當「恰好兩組」——那 2 個三組全參加的人被數了三次。本班人數、社團與項目均為自編示意數據，不代表任何真實統計。
四、自測清單
- □ 先畫區域並逐塊填數，不直接套公式；
- □ 「至少」用並集，「恰好」取對應互斥塊；
- □ 三集合容斥末尾記得 +|A∩B∩C|；
- □ 恰好兩組＝Σ(兩兩交 − 三者交)；
- □ 至少兩組＝恰好兩組 + 三者交；
- □ 用「各區域和＝總數」且「各單集閉合」雙重回驗。
