題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
幾何概型只有一句公式：P = 有利區域測度 / 樣本空間測度。難點全在「樣本空間是哪塊區域、等可能落在什麼上」。會面問題裡，兩人各自到達時刻 (x, y) 等可能地落在正方形 [0,T]×[0,T] 內，所以測度是面積；圓內隨機取點，測度也是面積；線段上取點則是長度。
三條紀律：① 先畫圖定區域；② 邊界（等號）測度為零，帶不帶等號不改概率；③ 用模擬頻率互驗（次數足夠大時應靠近理論值）。下面時段、次數與頻率均為自編示意數據，不代表真實統計。
二、逐題精講
題1
題1 會面問題的面積比
自編情境：兩人約定在 0 到 60 分鐘之間各自獨立、均勻地到達某處，先到者等候 10 分鐘後離開。求兩人能見面的概率。
(1) 寫出樣本空間與「能見面」的條件，畫出有利區域並求其面積與概率。(2) 說明為什麼「恰好相差 10 分鐘」這條邊界不影響答案。(3) 用隨機數模擬 1000 次，命中 306 次，與理論值互驗。
解析
(1) 設兩人到達時刻為 x, y ∈ [0, 60]（分鐘），樣本空間 Ω = 正方形，測度 SΩ = 60 × 60 = 3600。能見面 ⇔ |x − y| ≤ 10。
有利區域是正方形中夾在兩直線 y = x − 10 與 y = x + 10 之間的帶狀區域。用補集更好算：不利區域是左上、右下兩個全等直角三角形，每個直角邊長為 60 − 10 = 50，面積各為 ½ × 50 × 50 = 1250，合計 2500。
S_A = 3600 − 2500 = 1100；
P = 1100/3600 = 11/36 ≈ 0.30556。
直接算法互驗：帶狀面積也可寫成 60² − (60−10)² = 3600 − 2500 = 1100 ✓（一般式 T² − (T−w)²，T=60、w=10）。再代一個極限檢查：w=0 時 P=0（必須同時到）；w=60 時 P=1（先到者等滿全程），公式兩端都對。
(2) 邊界 |x − y| = 10 是平面上的兩條線段，面積為零。幾何概型按面積測度算，零測度集合加不加都不改變積分值，故≤ 與 < 給出同一概率。注意這條只在連續型、按面積等可能時成立；若是離散計數（如整點到達），邊界上的點有正概率，就不能隨手丟掉。
(3) 模擬互驗：頻率 f = 306/1000 = 0.306；理論值 11/36 = 0.305556…，差 ≈ 0.00044，相對偏差約 0.14%，在 1000 次模擬的隨機波動範圍內，一致。
若模擬 10000 次，按同一理論值期望命中約 3056 次；頻率應更靠近 0.3056。這裡要防一個常見誤讀：模擬頻率不是「證明」理論值，只是互驗；偏差大時先查隨機數是否真的在 [0,60]×[0,60] 上均勻、兩次到達是否獨立，而不是先改公式。
答案 (1) Ω 為 60×60 正方形 S=3600，條件 |x−y|≤10，不利兩三角形各 ½·50²=1250，S_A=1100，P=11/36≈0.30556。(2) 邊界為兩條線段、面積為零，≤ 與 < 同概率（僅連續按面積時成立）。(3) f=0.306，與 0.30556 差約 0.00044，互驗一致。
採分點 寫出 Ω 與 SΩ=3600 1 分；條件 |x−y|≤10 1 分；不利區域為兩直角邊 50 的三角形 1 分；S_A=1100 1 分；P=11/36≈0.30556 1 分；用補集/一般式互驗 1 分；說明邊界零測度 1 分；模擬頻率 0.306 與差 0.00044 並判一致 1 分。
易錯點 把樣本空間當作線段長度 60，用 10/60 得 1/6；把不利三角形直角邊算成 60−5=55；把兩條邊界線各算 10×60 的矩形重複扣；離散整點情形下仍隨手丟邊界；把模擬頻率當理論證明。
題2
題2 圓內取點、不同測度與「等可能」口徑
(1) 在半徑為 r 的圓內等可能地取一點，求它落在該圓內接正方形內的概率。(2) 若改成「在圓內隨機取一條弦」，僅憑「隨機」二字能否得到唯一概率？說明為什麼必須指定等可能落在什麼上。(3) 在線段 [0, 1] 上獨立均勻取兩點，把線段分成三段，求這三段能構成三角形的概率。
解析
(1) 內接正方形對角線 = 2r，邊長 = 2r/√2 = √2 r，面積 = (√2 r)² = 2r²；圓面積 = πr²。P = 2r²/(πr²) = 2/π ≈ 0.63662，與 r 無關（量綱約掉，可作自檢）。
這裡等可能落在圓的面上，測度是面積；邊界（圓周、正方形邊）面積為零，不影響結果。
(2) 不能。「隨機取一條弦」沒有指定等可能落在哪個參數空間，不同的等可能口徑給出不同答案，這就是著名的貝特朗悖論式歧義。至少三種合理口徑：
· 弦的中點在圓內按面積均勻分佈 → 弦長大於內接正三角形邊長的概率 1/4；
· 弦的端點在圓周上均勻、固定一端 → 概率 1/3；
· 弦到圓心的距離在 [0, r] 上均勻 → 概率 1/2。
三者都對，因為「均勻」的對象不同。結論：幾何概型題必須先寫明樣本空間與等可能的測度（面積、長度、角度、還是某個參數），否則題目本身不完備。這與 (1) 形成對照——(1) 說清了「圓內等可能取點」，答案才唯一。
(3) 設兩切點為 x, y ∈ [0,1]，Ω 為單位正方形，SΩ = 1。三段長（設 x < y）：a = x，b = y − x，c = 1 − y；能構成三角形 ⇔ 每段都小於 1/2（因 a+b+c=1，三角形條件 a+b>c 等價於 c<1/2，另兩個同理）。
在 x < y 的半個正方形（面積 1/2）中，滿足 x < 1/2、y − x < 1/2、y > 1/2 的區域是一個直角邊 1/2 的小三角形，面積 = ½ × (1/2) × (1/2) = 1/8；由對稱性，y < x 的半邊同樣 1/8，合計 S_A = 1/4。
P = (1/4)/1 = 1/4。
回驗：三段中「最長段 ≥ 1/2」的概率為 3/4（三段對稱，任一成為最長且 ≥1/2 的三塊各 1/4），1 − 3/4 = 1/4 ✓。
答案 (1) P=2/π≈0.63662，與 r 無關。(2) 不能唯一；中點按面積/端點按圓周/距離按長度均勻分別得 1/4、1/3、1/2，須指定等可能的對象與測度。(3) P=1/4，由「每段<1/2」得有利面積 1/4，或用 1−3/4 回驗。
採分點 內接正方形邊長 √2 r、面積 2r² 1 分；P=2/π 並指出與 r 無關 1 分；指出「隨機取弦」口徑不完備 1 分；列出三種口徑與 1/4、1/3、1/2 1 分；三角形條件化為「每段<1/2」1 分；有利面積 1/4 1 分；P=1/4 1 分；用 1−3/4 或對稱性回驗 1 分。
易錯點 把內接正方形邊長當成 r；用周長比 4√2 r/(2πr) 代替面積比；以為「隨機」二字天然唯一；(3) 只考慮 x<y 卻忘了乘 2，得 1/8；把三角形條件寫成「兩段之和>第三段」後不化簡到每段<1/2。
三、規律小結與對照表
| 題型 | 樣本空間 | 測度 | 有利區域 | 概率 | 要點 |
|---|---|---|---|---|---|
| 會面問題 | [0,60]² 正方形 | 面積 3600 | |x−y|≤10 帶狀 1100 | 11/36≈0.30556 | 用補集兩三角形 |
| 邊界 | 兩條線段 | 面積 0 | — | 不變 | 僅連續按面積成立 |
| 圓內取點 | 半徑 r 的圓面 | 面積 πr² | 內接正方形 2r² | 2/π≈0.63662 | 與 r 無關 |
| 隨機取弦 | 未指定 | 面積/弧長/距離皆可 | — | 1/4,1/3,1/2 | 必須指定等可能對象 |
| 切兩段成三段 | [0,1]² 正方形 | 面積 1 | 三段皆<1/2 → 1/4 | 1/4 | 兩半對稱各 1/8 |
| 模擬互驗 | 1000 次 | 頻率 306/1000=0.306 | — | ≈0.30556 | 互驗非證明 |
| 自檢 | — | 量綱 | — | — | 比值須與尺度無關 |
幾何概型就一句 P = 有利測度 / 樣本空間測度，功夫全在「等可能落在哪塊區域上」。會面問題落在正方形面積上，用補集兩三角形最省；圓內取點落在圓面面積上，2/π 與 r 無關可作自檢；「隨機取一條弦」若不指定口徑，1/4、1/3、1/2 都對——題目不完備，不是答案不唯一。兩條紀律：邊界在連續測度下為零（離散整點時不能隨手丟）、模擬頻率是互驗不是證明，偏差大先查隨機數是否真的均勻獨立。本題時段、次數、頻率與半徑均為自編示意數據，不代表任何真實統計。
四、自測清單
- □ 先寫出樣本空間與「等可能落在什麼上」；
- □ 會面問題用補集算兩三角形，別硬積分；
- □ 檢查概率是否與尺度（r、T 的單位）無關；
- □ 連續型邊界測度為零，離散型不可隨手丟；
- □ 遇「隨機取弦」類先判題目是否指定口徑；
- □ 模擬頻率與理論值互驗，偏差大先查隨機數。
