聯招數學·實係數方程的虛根成對：判別式、韋達與模

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

實係數方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）當 Δ = b² − 4ac < 0 時，求根公式寫成
x = −b/(2a) ± i·√(4ac − b²)/(2a)，兩根實部相同、虛部相反，即 x₂ = conj(x₁)。

三條可互驗：① 韋達仍成立（x₁+x₂ = −b/a，x₁x₂ = c/a，虛部自動抵消）；② 模的平方 |x|² = x·conj(x) = c/a；③ 判別式 |x₁ − x₂|² = −Δ/a²。算完至少用兩條回代。下面係數與根為自編示意數據。

二、逐題精講

題1

題1 求根與三重回驗

自編方程：x² − 4x + 13 = 0。

(1) 求判別式並判定根的類型；寫出兩根。(2) 用韋達定理、模的平方、根的差三條分別回驗。(3) 若把常數項誤抄成 12（即 x² − 4x + 12 = 0），根的虛部變為多少？說明 Δ 與虛部的關係。

解析

(2) 三重回驗：
韋達：x₁+x₂ = (2+3i)+(2−3i) = 4 = −b/a = 4 ✓；x₁x₂ = 2² + 3² = 13 = c/a = 13 ✓（也可直接 (2+3i)(2−3i)=4−9i²=13）。
模：|x₁| = √(2²+3²) = √13；|x₁|² = 13 = c/a ✓，且 |x₁| = |x₂|（共軛模相等）。
根的差：x₁ − x₂ = 6i，|x₁ − x₂|² = 36；而 −Δ/a² = 36/1 = 36 ✓。三條全閉合。

(3) 常數項改為 12：Δ = 16 − 48 = −32；x = 2 ± i·√32/2 = 2 ± 2√2 i（√32 = 4√2，除以 2 得 2√2 ≈ 2.828）。
關係：虛部大小 = √(−Δ)/(2a)。c 從 13 降到 12，|Δ| 從 36 降到 32，虛部從 3 降到 2√2 ≈ 2.828，隨 |Δ| 單調減小；實部 −b/(2a) = 2 不變。再看模：|x|² = c/a 由 13 降為 12，|x| 由 √13 ≈ 3.606 降為 √12 ≈ 3.464，與虛部變小一致。

答案　(1) Δ=−36，共軛虛根 x=2±3i。(2) 韋達：和為4、積為13；|x|²=13=c/a；|x₁−x₂|²=36=−Δ/a²，三條均閉合。(3) c=12 時 Δ=−32，x=2±2√2 i；虛部=√(−Δ)/(2a)，實部不變。

採分點　Δ=−36 並判共軛虛根 1 分；寫出 2±3i 1 分；韋達和=4 1 分；韋達積=13 1 分；|x|²=13=c/a 1 分；|x₁−x₂|²=36=−Δ/a² 1 分；c=12 時虛部 2√2 1 分；說明虛部隨 |Δ| 變、實部不變 1 分。

易錯點　把 √(−36) 寫成 6 而漏 i；求根時把 −b/(2a) 算成 −2；以為虛根下韋達失效；用 |x|²=a/c 把分子分母寫反；把 √32/2 化簡成 √8 後不再化成 2√2。

題2

題2 由一根反推係數與「實係數」前提

自編條件：某實係數二次方程的一個根為 x₁ = 1 + 2i，且常數項為 c = 5（二次項係數 a = 1）。

(1) 寫出另一根，並求 b 與 Δ。(2) 用 |x|² = c/a 回驗 c，並說明「實係數」這一前提為什麼不可省。(3) 若去掉實係數限制、允許復係數，能否由「一根 1+2i、c=5、a=1」唯一確定方程？舉例說明。

解析

(2) 模回驗：|x₁|² = 1²+2² = 5 = c/a = 5/1 ✓；|x₂|² 同為 5。
「實係數」不可省的理由：共軛成對只在係數全為實數時成立。證明很直接：若 a,b,c ∈ ℝ 且 ax₁²+bx₁+c=0，兩邊取共軛得 a·conj(x₁)² + b·conj(x₁) + c = 0，即 conj(x₁) 也是根。若 b 或 c 是複數，取共軛後係數變了，等式不再成立，另一根不必是 1−2i。
順帶一條：本題還可由 |x|² = c/a 直接反推 c = a|x₁|² = 5——但這一步同樣依賴共軛成對（否則 x₁x₂ ≠ |x₁|²），所以前提仍是實係數。

(3) 不能唯一確定。 設另一根為任意複數 t，則 x₁ + t = −b，x₁·t = c/a = 5 ⇒ t = 5/(1+2i) = 5(1−2i)/5 = 1 − 2i，此時 b = −(x₁+t) = −2 ——看起來唯一？注意這裡 c/a = x₁x₂ 的韋達關係並不要求係數為實數，只要 a=1、c=5 給定，t 就由乘積定死為 1−2i，b 也隨之定為 −2。
修正說明（如實登記）：在 a=1 且 c=5 都固定的條件下，即使允許復係數，另一根仍被乘積鎖定為 1−2i、方程仍唯一為 x²−2x+5=0。真正不唯一的情形是只固定 a 與 c、卻允許 b 為複數時仍須滿足乘積——但乘積已把 t 定死，故本小問應改為：若只給「一根 1+2i、a=1」而不給 c，則 t 任意、c=t(1+2i)、b=−(1+2i+t)，方程無窮多；例如取 t = 2（實數），得 c = 2+4i、b = −3−2i，方程 x² + (−3−2i)x + (2+4i)=0 有根 1+2i，但另一根不是其共軛。
結論：共軛成對的唯一依據是「實係數」，與「給了多少項係數」是兩件事；本題 (3) 按原題面（a、c 均固定）會退化為唯一解，故把不唯一的條件明確為不固定 c，並在下方清單登記這一口徑更正。

答案　(1) 另一根 1−2i，b=−2，Δ=−16，方程 x²−2x+5=0。(2) |x|²=5=c/a ✓；共軛成對只在係數全實時成立。(3) 原題面 a、c 固定時仍唯一；正確不唯一條件是「只給一根與 a、不固定 c」，此時另一根可任取，如實登記口徑更正。

採分點　寫出 1−2i 1 分；b=−2 1 分；Δ=−16 1 分；|x|²=5=c/a 1 分；用取共軛證明實係數前提 1 分；指出 a、c 固定時乘積鎖定 t 1 分；給出不固定 c 的反例 1 分；如實登記 (3) 口徑更正 1 分。

易錯點　不由共軛直接寫另一根，卻把 b 算成複數；把 |x|²=c/a 用到復係數情形；把 Δ 算成正數；(3) 直接答「一定不唯一」而忽略 a、c 已固定；發現題面退化後悄悄改答案不登記。

三、規律小結與對照表

實係數二次方程 Δ<0 時，兩根必共軛：實部相同、虛部相反。算完用三條回代——韋達和 −b/a、韋達積 c/a、模的平方 |x|² = c/a，再加 |x₁−x₂|² = −Δ/a² 獨立驗一次。最要緊的前提是「實係數」：只有係數全實，取共軛後方程不變，conj(x₁) 才必為另一根。本題 (3) 還如實登記了一處口徑更正：a 與 c 都固定時乘積會鎖定另一根，真正的不唯一須不固定 c——發現題面退化就明說，不悄悄改答案。本題係數、根與模值均為自編示意數據。

四、自測清單

• □ 先算 Δ，Δ≥0 不進入共軛虛根流程；
• □ 寫根時保留 i，實部用 −b/(2a)；
• □ 用韋達和與積各回代一次；
• □ 用 |x|²=c/a 驗模，並確認兩根模相等；
• □ 用 |x₁−x₂|²=−Δ/a² 做第四條獨立回驗；
• □ 凡用共軛成對，先確認題面寫了「實係數」。