聯招物理·最小偏向角法測玻璃折射率

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

公式先擺好：對頂角 A 的三稜鏡，當偏向角取最小值 δ_min 時，光路關於稜鏡對稱：i₁ = i₂ = (A + δ_min)/2，r₁ = r₂ = A/2。由折射定律得
n = sin[(A + δ_min)/2] / sin(A/2)。

三個動作：δ_min 由「入射光方向」與「最小偏向時的出射光方向」兩個刻度讀數之差得到（不是直接給一個數就代）；驗對稱（把 i₁、r₁ 代回折射定律看是否回到同一個 n）；判誤差方向——A 在分母的 sin(A/2) 裡、δ 只在分子，記偏要分別代回。下面頂角、刻度與 n 均為自編示意數值，不代表真實測量。

二、逐題精講

題1

題1 由讀數求折射率並驗對稱

自編示意：三稜鏡頂角 A = 60.0°。分光計上讀得入射光方向刻度 120°30′，轉動稜鏡找到最小偏向位置時出射光方向刻度 157°42′。

(1) 求最小偏向角 δ_min（用度表示）；(2) 求折射率 n；(3) 驗算 i₁ = i₂ 與 r₁ = r₂，並用它們代回折射定律核對 n。

解析

(2) (A + δ_min)/2 = (60.0 + 37.2)/2 = 48.6°；A/2 = 30.0°。
n = sin48.6° / sin30.0° = 0.750111 / 0.5000 = 1.50022 ≈ 1.50。
數量級自檢：常見玻璃折射率約 1.5，1.50 落在合理區間；若算出 0.75 或 2.0，先回查分子分母是否顛倒。

(3) 對稱條件：i₁ = i₂ = (A+δ)/2 = 48.6°，r₁ = r₂ = A/2 = 30.0°。兩處折射角之和 r₁+r₂ = 60.0° = A ✓，與稜鏡幾何一致。
代回折射定律：n = sin i₁ / sin r₁ = sin48.6°/sin30.0° = 0.750111/0.5 = 1.50022，與(2)完全相同 ✓；出射側 n = sin i₂ / sin r₂ 同樣得 1.50022 ✓。
為什麼必須對稱：偏向角 δ 隨入射角 i₁ 變化，在 i₁ = i₂ 處取極小（dδ/di₁ = 0）。若未轉到最小偏向位置就讀數，δ 偏大，代入公式會把 n 算大；所以實驗中要緩慢轉動稜鏡、盯住譜線反轉的那個位置再讀數。

答案　(1) δ_min=37°12′=37.2°；(2) n=sin48.6°/sin30.0°≈1.50；(3) i₁=i₂=48.6°、r₁=r₂=30.0°，r₁+r₂=A=60.0°，代回折射定律得同一 n=1.50；須在最小偏向（對稱）位置讀數。

採分點　兩讀數相減 1 分；分轉度 1 分；37.2° 1 分；(A+δ)/2=48.6° 1 分；sin30=0.5 1 分；n≈1.50 1 分；對稱條件兩式 1 分；r₁+r₂=A 回驗 1 分；折射定律代回 1 分；說明最小偏向位置 1 分。

易錯點　把 157°42′ 直接當 δ；把 12′ 換算成 0.12°；公式寫成 sin(A/2)/sin[(A+δ)/2]（倒置）；漏驗 r₁+r₂=A；不在最小偏向位置讀數卻仍套公式；忘記說明「兩遊標取平均消偏心」這一規範。

題2

題2 參數記偏的誤差方向與未到極小的判據

(1) 若把 δ_min 誤讀成 37.0°（頂角仍按 60.0°），求算出的 n，並判斷偏大還是偏小、偏多少；(2) 若頂角實際為 60.2°，但記錄時仍按 60.0° 代入（δ 仍 37.2°），求算出的 n 並判斷方向；(3) 若尚未轉到最小偏向位置，讀得 δ = 39.0°，求按公式算出的 n，並說明這個數為什麼不能作為折射率報告值。

解析

(2) 本題要分清「記錄值算出的 n」與「真實稜鏡應有的 n」，且 A 同時出現在分子與分母，不能只看一半：
按記錄 A = 60.0° 代入：(60.0+37.2)/2 = 48.6°，A/2 = 30.0°，得 n_rec = sin48.6°/sin30.0° = 0.750111/0.5000 = 1.5002。
真實稜鏡 A = 60.2°（δ 實測仍 37.2°）：(60.2+37.2)/2 = 48.7°，A/2 = 30.1°，得 n_true = sin48.7°/sin30.1° = 0.751264/0.501511 = 1.4980。
故按 60.0° 代入算出的 1.5002 比真實值偏大約 0.15%。
逐項拆開看：分子從 sin48.7° 降到 sin48.6°（變小，使 n 偏小），分母從 sin30.1° 降到 sin30.0°（變小，使 n 偏大）；兩項同時作用，分母的相對變化更大（0.501511→0.5000 相對 −0.30%，分子 0.751264→0.750111 相對 −0.15%），合力為偏大。這正是本題要練的：A 記偏時分子分母都動，必須逐項代回再比相對變化，不能憑「A 在分母」一句話定方向。

(3) δ = 39.0° 時 (60.0+39.0)/2 = 49.5°，n′ = sin49.5°/sin30.0° = 0.760406/0.5000 = 1.5208。
不能作為折射率報告值：公式 n = sin[(A+δ)/2]/sin(A/2) 的成立前提是 δ 取最小值（光路對稱、i₁=i₂）。δ=39.0° > δ_min=37.2° 說明稜鏡還沒轉到反轉位置，此時 i₁ ≠ i₂、r₁ ≠ r₂，對稱關係不成立；把非極小的 δ 代進去，等於把公式用在前提之外，得到的 1.5208 是一個偏大的偽值（δ 越大分子越大）。
實驗判據：慢慢轉動稜鏡，譜線會向一個方向移動、到某位置反向——那個反轉點才是 δ_min；讀數前必須確認已過反轉點，且用兩遊標讀數平均消偏心。

答案　(1) δ 記 37.0° 得 n≈1.4979，偏小約 0.15%（δ 只在分子）；(2) 按記錄 A=60.0° 代入得 n_rec=1.5002，真實 A=60.2° 的稜鏡應為 n_true=1.4980，故偏大約 0.15%——分子分母同時隨 A 變，分母相對變化更大，須逐項代回；(3) 未到極小 δ=39.0° 得 1.5208，因對稱前提不成立，是偏大的偽值，不能報告。

採分點　(1) 48.5° 與 1.4979 1 分；方向判據 1 分；(2) 指出分子分母同時含 A 1 分；真實值 1.4980 1 分；記錄值 1.5002 1 分；偏大 0.15% 1 分；(3) 49.5° 與 1.5208 1 分；說明對稱前提不成立 1 分；說明 δ>δ_min 導致偏大偽值 1 分；寫出反轉點判據 1 分。

易錯點　(2) 只看分母就判「偏小」，漏掉分子也含 A；把「按記錄值算出的 n」與「真實 n」混為一談；(3) 把 1.5208 當正常測量值報告；不知道最小偏向位置要靠譜線反轉來判；忽略兩遊標平均消偏心。

三、規律小結與對照表

最小偏向角法三句話：δ_min 是兩方向讀數之差；公式只在 i₁=i₂、r₁=r₂=A/2 的對稱位置成立；判誤差方向要逐項代回——δ 只進分子好判，A 卻同時進分子與分母，只看一半會判反。沒轉到譜線反轉點就讀數，δ 偏大、算出的 n 是偏大的偽值，不能報告。A=60.0°、37°12′、n≈1.50、1.4980 與 1.5208 均為自編示意數值，不代表真實測量；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

四、自測清單

• □ δ 由入射與出射兩個方向讀數相減，別把單個刻度當代入；
• □ 代公式前先寫對稱條件 i₁=i₂=(A+δ)/2、r₁=r₂=A/2；
• □ 用 sin i₁/sin r₁ 回驗 n 與主公式一致；
• □ δ 記偏隻影響分子；A 記偏分子分母都動，逐項算；
• □ 確認已過譜線反轉點（δ 極小）再讀數；
• □ 兩遊標分別取差再平均，消除偏心。