聯招物理·測電源電動勢與內阻：安阻法、伏阻法的系統誤差

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

先寫含電錶內阻的真實方程，再談「忽略」帶來的偏差：

安阻法（電流表內阻 R_A 與電源串聯）：E = I(R + r + R_A) → 1/I = R/E + (r+R_A)/E。作 1/I–R 圖，斜率 1/E、截距 (r+R_A)/E。若按理想表處理（把截距當成 r/E），得 r_meas = r + R_A，E 準確、r 偏大 R_A。

伏阻法（電壓表內阻 R_V 與 R 並聯分流）：1/U = 1/E + (r/E)(1/R + 1/R_V)，截距變成 (1/E)(1+r/R_V)，故 E_meas = E/(1+r/R_V)、r_meas = r/(1+r/R_V)，兩者都偏小。下面數值均為自編示意，不代表真實測量。

二、逐題精講

題1

題1 安阻法：由兩組讀數求 E、r 與偏大量

自編示意：電源真值 E = 1.500 V、r = 1.00 Ω，電流表內阻 R_A = 0.500 Ω。用電阻箱取兩組值，讀得：

R₁ = 2.00 Ω → I₁ = 0.4286 A；R₂ = 5.00 Ω → I₂ = 0.2308 A。

(1) 由 1/I–R 直線的斜率與截距求 E 與「表觀內阻」；(2) 說明為什麼 E 準確而表觀內阻偏大，並求出真值 r；(3) 若實驗者完全不知 R_A，報告 r = 1.50 Ω，指出偏大量與相對偏差。

解析

(2) 真實方程 E = I(R + r + R_A) 中，R_A 與 r 串聯、地位完全相同，所以線性化後截距裝的是 (r + R_A)/E。斜率只由 1/E 決定，不含 R_A，故 E 測得準確；而按理想表把截距讀成 r/E，就把 R_A 一併算進了內阻。
由 r_app = r + R_A 得真值 r = 1.50 − 0.500 = 1.00 Ω，與題給真值閉合 ✓。
等效解釋：從電阻箱兩端看進去，電流表內阻與電源內阻串在同一條迴路裡無法區分，安阻法只能測到「兩者之和」。

(3) 偏大量 = r_app − r = 0.500 Ω = R_A；相對偏差 = 0.500/1.00 = +50.0%。
注意這個相對偏差很大，是因為本示意取 R_A 與 r 同量級；真實實驗裡應選 R_A ≪ r 的電流表，或事先測出 R_A 並在結果中扣除。不能靠多測幾組取平均消除——這是系統誤差，不隨次數收斂。

答案　(1) 斜率 0.6667→E=1.500 V，截距 1.0000→r_app=1.50 Ω；(2) 截距實為 (r+R_A)/E，斜率不含 R_A，故 E 準、r 偏大；真值 r=1.00 Ω；(3) 偏大 0.500 Ω（＝R_A），相對 +50.0%，屬系統誤差不能靠多次測量消除。

採分點　兩次 1/I 1 分；斜率與 E 1 分；截距 1 分；r_app 1 分；寫出含 R_A 的方程 1 分；說明斜率不含 R_A 1 分；r 真值 1 分；偏大量 1 分；相對偏差與系統誤差性質 1 分。

易錯點　把 1/I₁ 直接當 I₁ 用；斜率算成 ΔR/Δ(1/I)（倒置）；把 r_app 當成真值；說「多測幾組取平均可消除」；把偏大量寫成 R_A/2；忽略 R_A≪r 的選表條件。

題2

題2 伏阻法：有限內阻 R_V 使 E、r 同向偏小

自編示意：同一電源（E = 1.500 V，r = 1.00 Ω），改用電壓表內阻 R_V = 1000 Ω 的伏阻法。

(1) 寫出含 R_V 的 1/U–1/R 方程，指出截距與斜率各變成什麼；(2) 求忽略 R_V 時測得的 E_meas 與 r_meas（用解析式），並給出數值；(3) 比較伏阻法與安阻法的誤差方向，說明為什麼一個「E 準」一個「E 也偏小」；(4) 若把 R_V 增大到 10000 Ω，求新的相對偏差。

解析

(2) 按理想公式處理：由截距取倒數得 E_meas = E/(1 + r/R_V)；由「斜率 = r_meas/E_meas」得 r_meas = (r/E)·E_meas = r/(1 + r/R_V)。
代入 r/R_V = 1.00/1000 = 0.001：
E_meas = 1.500/1.001 = 1.4985 V，偏小 0.1%；
r_meas = 1.00/1.001 = 0.9990 Ω，偏小 0.1%。
兩者同向偏小、且相對偏差相同（都乘了因子 1/(1+r/R_V)），這是伏阻法有限內阻的特徵。

(3) 安阻法：R_A 與 r 串聯，只進截距、不進斜率，斜率仍嚴格等於 1/E，故 E 準確、r 偏大 R_A。
伏阻法：R_V 的分流改變了截距的係數（乘了 1+r/R_V），而 E 由截距取倒數得到，於是 E 被一併拉偏；r 又由「斜率/E_meas」聯動，故一起偏小。
一句話：串聯附加電阻只汙染「和內阻有關的量」，並聯分流連「電動勢標尺」一起動了。兩法的誤差都屬系統誤差，不隨測量次數收斂。

(4) R_V = 10000 Ω 時 r/R_V = 1.00×10⁻⁴，因子 1/(1+1e−4) ≈ 0.99990001，故 E 與 r 的相對偏差均約 −0.0100%（E_meas ≈ 1.49985 V，r_meas ≈ 0.99990 Ω）。
與 R_V=1000 Ω 時的 −0.1% 相比，R_V 增大 10 倍，偏差約降為 1/10，印證「選 R_V ≫ r 的電壓表」這一選表原則；也可用解析式 相對偏差 ≈ −r/R_V（當 r/R_V ≪ 1）快速估算。

答案　(1) 1/U=(1/E)(1+r/R_V)+(r/E)(1/R)，截距含 (1+r/R_V)、斜率 r/E；(2) E_meas=1.4985 V、r_meas=0.9990 Ω，均偏小 0.1%；(3) 串聯 R_A 只進截距不動斜率故 E 準，並聯 R_V 改了截距係數故 E、r 同向偏小；(4) R_V=10000 Ω 時相對偏差約 −0.0100%（降為 1/10）。

採分點　寫出含 R_V 的方程 1 分；截距/斜率各 1 分；E_meas 解析式 1 分；r_meas 解析式 1 分；兩個數值 1 分；同向偏小且比例相同 1 分；(3) 兩法機理對比 1 分；(4) 數值與 1/10 結論 1 分；近似式 −r/R_V 1 分。

易錯點　把伏阻法方程寫成 1/U = 1/E + (r/E)(1/R)（漏 R_V 項）；把 E_meas 寫成 E(1+r/R_V)（方向反）；只算 E 不算 r；(3) 說「兩法都偏大」或「E 都不受影響」；(4) 把 −0.01% 寫成 −1%；誤把系統誤差當偶然誤差。

三、規律小結與對照表

兩法誤差分界一句話：安阻法的 R_A 串聯，只進截距不進斜率，所以 E 準、r 偏大 R_A；伏阻法的 R_V 並聯分流，改了截距係數，所以 E 與 r 同乘 1/(1+r/R_V) 一起偏小。偏差都是系統誤差，多測幾組不收斂，只能靠選表（R_A≪r、R_V≫r）或先驗出內阻再扣除。E=1.500 V、r=1.00 Ω、R_A=0.500 Ω、R_V=1000/10000 Ω 均為自編示意數值，不代表真實測量；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

四、自測清單

• □ 先寫含電錶內阻的真實方程，再線性化；
• □ 安阻法：斜率 1/E 不含 R_A，截距是 (r+R_A)/E；
• □ 伏阻法：截距係數 (1+r/R_V)，E、r 同向偏小；
• □ 由解析式算數值，不只寫「偏大/偏小」；
• □ 兩法都判為系統誤差，不靠多次測量消除；
• □ 用 R_V 增大 10 倍偏差降 1/10 回驗近似式 −r/R_V。