題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
單縫夫琅禾費衍射的暗紋條件：a sinθ = kλ（k = 1, 2, 3…），其中 a 是縫寬。小角近似 sinθ ≈ tanθ = x/L，得第 k 級暗紋到中心的距離 x_k = kLλ/a。
關鍵一句：中央明紋夾在 k = +1 與 k = −1 兩條暗紋之間，寬度 W = 2x₁ = 2Lλ/a，是其他明紋寬度的兩倍；反推縫寬 a = 2Lλ/W。下面數據為自編示意，不代表真實測量結果。
二、逐題精講
題1
題1 正向求條紋位置與反推縫寬
自編裝置：波長 λ = 632.8 nm 的單色光垂直照射單縫，縫到屏距離 L = 1.000 m，縫寬 a = 0.200 mm。
(1) 求第 1、2、3 級暗紋到中心的距離與中央明紋寬度。(2) 另測一未知縫，屏上中央明紋寬度讀為 W = 6.40 mm（L、λ 同上），求縫寬 a。(3) 說明小角近似為什麼在這裡成立。
解析
(1) 統一單位：a = 0.200 mm = 2.00×10⁻⁴ m，λ = 632.8 nm = 6.328×10⁻⁷ m，L = 1.000 m。x₁ = Lλ/a = 1.000 × 6.328×10⁻⁷ / 2.00×10⁻⁴ = 3.164×10⁻³ m = 3.164 mm；
x₂ = 2x₁ = 6.328 mm；x₃ = 3x₁ = 9.492 mm；
中央明紋寬度 W = 2x₁ = 6.328 mm。
注意 x₂ 與 W 數值相同（都是 6.328 mm）但含義不同：x₂ 是第 2 級暗紋到中心的距離，W 是±1 級暗紋之間的全寬，別混。
(2) 反推縫寬：
a = 2Lλ/W = 2 × 1.000 × 6.328×10⁻⁷ / (6.40×10⁻³) = 1.2656×10⁻⁶ / 6.40×10⁻³ = 1.9775×10⁻⁴ m ≈ 0.198 mm。
回代：W = 2×1.000×6.328×10⁻⁷ / 1.9775×10⁻⁴ = 6.40×10⁻³ m = 6.40 mm ✓。
小角近似檢驗：θ₁ ≈ x₁/L = 3.164×10⁻³ rad ≈ 0.181°；sinθ₁ 與 tanθ₁ 之差量級 θ³/2 ≈ 1.6×10⁻⁸，相對偏差約 5×10⁻⁶，可忽略。第 3 級 θ₃ ≈ 9.49×10⁻³ rad ≈ 0.54°，仍遠小於 1 rad，近似全程成立。
單位提醒：a 用 m、λ 用 m、L 用 m、W 用 m；若把 6.40 mm 直接當 6.40 代，會差 10³ 倍。
答案 (1) x₁=3.164 mm、x₂=6.328 mm、x₃=9.492 mm，中央明紋寬 W=6.328 mm。(2) a=2Lλ/W≈1.9775×10⁻⁴ m≈0.198 mm，回代 6.40 mm ✓。(3) θ₁≈3.164×10⁻³ rad≈0.181°，sinθ 與 tanθ 相對偏差約 5×10⁻⁶，近似成立。
採分點 單位換算 1 分；x₁=3.164 mm 1 分；x₂/x₃ 1 分；W=2x₁=6.328 mm 並說明與 x₂ 含義不同 1 分；a=2Lλ/W 公式 1 分；a≈0.198 mm 1 分；回代 6.40 mm 1 分；小角檢驗 θ₁≈0.181° 並給出偏差量級 1 分。
易錯點 把中央明紋寬寫成 x₁=3.164 mm（少乘 2）；把 x₂ 與 W 當同一量；反推時寫成 a=Lλ/W（漏 2）；把 6.40 mm 當 6.40 m；不做小角檢驗就用 sinθ≈tanθ。
題2
題2 誤用雙縫公式、屏距記偏與誤差方向
沿用題1：實測 W = 6.40 mm、λ = 632.8 nm、真實 L = 1.000 m。
(1) 若把中央明紋寬度 W 誤當作「相鄰暗紋間距」，直接套雙縫式 a = Lλ/W，會得到多少？與真值 0.198 mm 差多少？為什麼？(2) 若把屏距誤記為 L′ = 1.10 m，用正確公式 a = 2Lλ/W 反推，結果偏大還是偏小？(3) 單縫與雙縫在條紋間距、中央明紋寬度上各有什麼不同？
解析
(1) 誤用結果：a_wrong = Lλ/W = 1.000 × 6.328×10⁻⁷ / 6.40×10⁻³ = 9.8875×10⁻⁵ m ≈ 0.0989 mm。真值 0.19775 mm，偏小約一半（−50.0%）。
原因：雙縫式 Δx = Lλ/d 裡的 Δx 是相鄰同級條紋（或相鄰暗紋）的間距，等於單縫裡的 x₁ = Lλ/a；而中央明紋寬度 W = 2x₁。把 W 塞進雙縫式，等價於用了 2 倍的間距，算出的 a 自然縮成一半。判別記牢：單縫中央寬是「兩倍寬」，不是「一條紋」。
(2) 屏距記大：a′ = 2 × 1.10 × 6.328×10⁻⁷ / 6.40×10⁻³ = 1.39216×10⁻⁶ / 6.40×10⁻³ = 2.1753×10⁻⁴ m ≈ 0.218 mm。
偏大 +10.0%：因 a = 2Lλ/W 與 L 成正比，L 記大 → a 偏大。與 00347 旋光法「c 與 l 成反比」、00335 霍爾「B 與 d 成正比」放一起看，仍是同一條紀律：先看量在分子還是分母。
(3) 單縫 vs 雙縫：
條紋間距：雙縫干涉等間距，Δx = Lλ/d（d 為雙縫間距），各級明紋寬度基本相同；單縫衍射不等間距——暗紋位置 x_k = kLλ/a 雖按 k 線性，但中央明紋佔 ±1 級之間共 2x₁，其餘明紋只佔相鄰兩暗紋之間約 x₁，中央是旁側的兩倍寬。
強度：雙縫各級明紋強度相近（受單縫包絡調製）；單縫中央最亮，旁側明紋強度迅速衰減。
公式符號：雙縫明紋 d sinθ = kλ；單縫暗紋 a sinθ = kλ（明暗條件正好反過來，最易記混）。
測量用途：雙縫/光柵（00293、00245）用條紋間距測 波長或縫間距；單縫用中央明紋寬度測縫寬 a。
答案 (1) 誤套雙縫式得 a≈0.0989 mm，偏小一半；因 Δx=Lλ/a 對應 x₁，而中央寬 W=2x₁。(2) L 記 1.10 m 得 a≈0.218 mm，因 a∝L 而偏大 +10.0%。(3) 雙縫等間距、明紋條件 d sinθ=kλ；單縫不等間距、暗紋條件 a sinθ=kλ、中央明紋 2 倍寬且最亮，旁側迅速衰減。
採分點 誤算 0.0989 mm 1 分；判偏小一半 1 分；說明 W=2x₁ 與 Δx 的關係 1 分；L 記大得 0.218 mm 1 分；說明 a∝L 故偏大 1 分；雙縫等間距與明紋條件 1 分；單縫暗紋條件與中央 2 倍寬 1 分；強度衰減或用途差異 1 分。
易錯點 把單縫暗紋條件寫成 a sinθ=(k+½)λ；把中央寬當成「一條明紋」；(2) 說成 L 記大 a 偏小；混淆 d（雙縫間距）與 a（單縫寬度）；把光柵/雙縫測波長的公式直接搬來測縫寬。
三、規律小結與對照表
| 環節 | 關係式 | 本題數值 | 要點 | 誤差方向 |
|---|---|---|---|---|
| 暗紋條件 | a·sinθ=kλ | k=1,2,3 | 單縫是暗紋 | 寫成明紋條件 |
| 小角 | x_k=kLλ/a | 3.164/6.328/9.492 mm | θ₁≈0.181° | 角度大時近似失效 |
| 中央寬 | W=2x₁=2Lλ/a | 6.328 mm | 是旁側兩倍 | 少乘 2 |
| 反推 | a=2Lλ/W | ≈0.198 mm | 分子帶 2Lλ | 漏 2 得一半 |
| 誤套雙縫 | a=Lλ/W | 0.0989 mm | Δx 實為 x₁ | 偏小 50.0% |
| 屏距記大 | a∝L | 0.218 mm | L 在分子 | 偏大 +10.0% |
| 雙縫對照 | Δx=Lλ/d | — | 等間距、明紋條件 | 與單縫明暗條件反 |
單縫衍射記三句：暗紋 a sinθ = kλ（明暗條件與雙縫正好反過來）、x_k = kLλ/a、中央明紋寬 W = 2Lλ/a 是旁側的兩倍。反推縫寬用 a = 2Lλ/W，分子上那個 2 一漏，結果就縮成一半——把 W 誤當雙縫的「相鄰條紋間距」套 a=Lλ/W，本題得 0.0989 mm（−50.0%）。屏距 L 在分子，記大則 a 偏大（+10.0%）；仍是那句老紀律：先看量在分子還是分母。波長、屏距、縫寬與條紋讀數均為自編示意數據，不代表任何真實測量結果。
四、自測清單
- □ 先確認用的是單縫暗紋條件，不套雙縫明紋式；
- □ 統一用 m 作單位，再做小角近似檢驗；
- □ 中央明紋寬記得乘 2，別與 x₂ 混；
- □ 反推用 a=2Lλ/W，分子別漏 2；
- □ 屏距 L 在分子，記大則縫寬偏大；
- □ 與雙縫對照時檢查 d 與 a 的物理含義。
