題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
平凸透鏡放在平玻璃板上，中間是一層厚度從中心向外按 t≈r²/(2R) 增大的空氣膜。反射光干涉時，上下兩束反射光裡有一次半波損失（空氣→玻璃的反射多出 λ/2），所以光程差 δ＝2t＋λ/2。暗紋條件 δ＝(2k＋1)λ/2，即 2t＝kλ；代入 t＝r²/(2R) 得
r_m²＝mλR（m＝0,1,2,…），D_m²＝4mλR。中心 t＝0 對應 m＝0，是暗斑——這正是半波損失的直接證據（若按透射光觀察，中心反而是亮的）。實際讀數不用單環，而用直徑平方差：D_m²−D_n²＝4(m−n)λR，因為它把「把第幾圈數錯一級」這個最常見的系統誤差整體消掉。下面讀數與 λ 均為自編示意數據。
二、逐題精講
題1
題1 差值法求 R 與級數免疫（解答題）
自編題設：鈉黃光波長 λ＝589.3 nm，某平凸透鏡置於平玻璃板上。用讀數顯微鏡測得第 4 級與第 10 級暗環直徑分別為 D₄＝3.0706 mm、D₁₀＝4.8551 mm（數據為自編示意，保留四位有效數字）。
(1) 由 D_m²−D_n²＝4(m−n)λR 求曲率半徑 R；(2) 若觀察者把中心暗斑誤記為「第 1 級」，於是把這兩環記成第 5 級與第 11 級，R 會變嗎？說明理由；(3) 若改用單環法 R＝D₁₀²/(4mλ)，並把第 10 級誤記成 m＝11，求 R′ 及相對偏差。
解析
(1) 統一單位：λ＝589.3 nm＝5.893×10⁻⁷ m；直徑以 mm 記，先算平方再換 m²。4λR ＝ 4×5.893×10⁻⁷×R（m²），當 R＝1 m 時每級 D² 增量為 4λR＝2.3572×10⁻⁶ m² ＝ 2.3572 mm²。
D₄² ＝ 3.0706² ＝ 9.4288 mm²（＝4×4λR＝16λR）；
D₁₀² ＝ 4.8551² ＝ 23.5720 mm²（＝40λR）；
差 ＝ 23.5720 − 9.4288 ＝ 14.1432 mm² ＝ 1.41432×10⁻⁵ m²，對應 (m−n)＝6。
R ＝ (D₁₀²−D₄²) / [4×6×λ] ＝ 1.41432×10⁻⁵ / (24×5.893×10⁻⁷) ＝ 1.41432×10⁻⁵ / 1.41432×10⁻⁵ ＝ 1.000 m。
自洽回驗：由 R＝1.000 m 反推 D₄＝√(16λR)＝√(9.4288)＝3.0706 mm ✓，D₁₀＝√(40λR)＝√(23.5720)＝4.8551 mm ✓，與題給讀數閉合。
(2) R 不變，仍為 1.000 m。 因為差值法只用 (m−n)：把兩環同時各加 1 級，級數變成 5 與 11，差仍是 11−5＝6；分子 D₁₀²−D₄² 也沒變。更一般地，只要所有環的級數同向錯記同一個常數（把第 0 級當第 1 級、或漏數一圈），差值法對該誤差免疫。這正是實驗裡優先用平方差而不用單環的原因。但須注意：若錯記不是「同向同量」（例如中間漏數一圈導致某一段級數跳變），差值就不再可靠，須回頭核對環序。
(3) 單環法仍取 D₁₀²＝23.5720 mm²＝2.35720×10⁻⁵ m²，但把 m 記成 11：
R′ ＝ 2.35720×10⁻⁵ / (4×11×5.893×10⁻⁷) ＝ 2.35720×10⁻⁵ / 2.59292×10⁻⁵ ＝ 0.9091 m。
相對偏差 ＝ (0.9091 − 1.000)/1.000 ＝ −9.09%（恰為 −1/11，因 R′/R＝10/11）。
結論：單環法把全部賭注押在「級數是幾」上，錯一級就按比例偏；差值法把級數的共同起點消掉了。
答案 (1) R=1.000 m（4λR=2.3572 mm²、D₄²=9.4288 mm²、D₁₀²=23.5720 mm²、差=14.1432 mm²、m−n=6）。(2) 不變：兩環同向各加 1 級，差仍為 6，差值法對級數起點誤差免疫。(3) R′=0.9091 m，相對偏差 −9.09%（=−1/11）。
採分點 單位換算（nm→m、mm²→m²）1 分；4λR=2.3572 mm² 1 分；兩個直徑平方各 1 分；差=14.1432 mm² 1 分；代入求得 R=1.000 m 1 分；反推兩直徑自洽回驗 1 分；(2) 指出差值法只依賴 m−n 1 分；說明同向同量錯記免疫及例外 1 分；(3) R′=0.9091 m 1 分；相對偏差 −9.09% 並給出 10/11 1 分。
易錯點 把 D 的 mm 直接代進公式而不換成 m²；把 m−n 寫成 10−4=6 卻在單環法裡又用 m=10 與 11 混算；說「差值法對任何錯記都免疫」；把半波損失講成「中心是亮的」；把 −9.09% 算成 −10%。
題2
題2 半波損失與兩類讀數誤差的方向（解答題）
(1) 說明為什麼反射光牛頓環的接觸點（t＝0）是暗斑；若改成觀察透射光，中心與暗環條件怎麼變？(2) 在題 (1) 的差值法裡，若直徑讀數整體偏大 1.00%（D→1.01D），R 偏多少？若波長取值偏大 1.00%（λ→1.01λ），R 又偏多少？分別說明方向並給出數值。
解析
(1) 反射光的兩束相干光分別來自空氣膜上表面（玻璃→空氣，反射無半波損失）與下表面（空氣→玻璃，反射多 λ/2 的相位突變），故光程差 δ＝2t＋λ/2。暗紋要求 δ＝(2k＋1)λ/2 ⇒ 2t＝kλ。在接觸點 t＝0，δ＝λ/2，兩束反相相消，所以中心是暗斑（k＝0）；若沒有半波損失，t＝0 處 δ＝0 應為亮斑——中心暗斑正是半波損失的實驗判據。透射光：直接透射光與在膜內往返兩次後透射的光之間沒有這一次額外的半波損失（兩次反射都發生在同一類界面或相位變化相消），光程差為 δ＝2t，故透射的暗紋條件為 2t＝(k＋½)λ，而 t＝0 處為亮。即透射亮環與反射暗環位置重合、互補，條紋對比度通常更弱（透射兩束強度差大）。因此用反射暗紋公式 r_m²＝mλR 時，必須確認觀察的是反射光；換到透射光不能直接照搬。
(2) 由 R ＝ (D_m²−D_n²)/[4(m−n)λ]，分子是直徑平方之差，分母含 λ 一次方。
直徑整體偏大 1.00%：D_m² 與 D_n² 都變為 (1.01)²＝1.0201 倍，其差也變為 1.0201 倍，故 R→1.0201R，即偏高 2.01%（R＝1.0201 m）。注意這是平方效應，不是 1.00%；且因是「整體、同比例」偏大，差值法在這裡不具免疫性——免疫的只是級數起點的加性錯誤，不是讀數比例的乘性錯誤。
波長偏大 1.00%：λ 在分母，R→R/1.01＝0.990099R，即偏低約 0.99%（R＝0.9901 m）。
方向小結：D 讀大 → R 偏大（且按平方放大）；λ 取大 → R 偏小；級數同向錯記 → R 不變。這三類誤差性質不同：乘性讀數誤差、乘性常量誤差、加性起點誤差，處理手段也分別是校準讀數顯微鏡、核對光源波長、改用平方差。
答案 (1) 反射光 δ=2t+λ/2，t=0 處相消成暗斑；透射光 δ=2t，中心為亮，透射亮環與反射暗環位置重合、互補。(2) D 偏大 1.00% → D²差為 1.0201 倍 → R 偏高 2.01%（1.0201 m）；λ 偏大 1.00% → R 偏低約 0.99%（0.9901 m）；級數同向錯記 R 不變。
採分點 寫出 δ=2t+λ/2 1 分；說明半波損失來自下表面反射 1 分；t=0 相消得暗斑 1 分；透射光 δ=2t、中心為亮 1 分；透射與反射條紋互補 1 分；D 偏大按 (1.01)²=1.0201 放大 1 分；R 偏高 2.01% 1 分；λ 在分母得 1/1.01=0.990099 1 分；偏低 0.99% 1 分；區分三類誤差性質 1 分。
易錯點 把半波損失算在空氣膜上表面；說透射光也用 r_m²=mλR；把 D 偏大 1% 直接答成 R 偏大 1%（漏平方）；說差值法對讀數比例誤差也免疫；把 λ 偏大說成 R 偏大；混淆「加性級數誤差」與「乘性讀數誤差」。
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式/條件 | 本題取值 | 結果 | 誤差性質 | 免疫性 |
|---|---|---|---|---|---|
| 暗紋條件 | 2t=kλ（反射，含半波損失） | t=r²/(2R) | r_m²=mλR | — | — |
| 接觸點 | δ=λ/2 | t=0, k=0 | 暗斑 | 半波損失判據 | — |
| 透射光 | δ=2t | t=0 | 亮，暗紋 2t=(k+½)λ | 與反射互補 | 不共用公式 |
| 每級增量 | 4λR | R=1 m | 2.3572 mm² | 常量 | — |
| 第4級 | D₄²=16λR | 3.0706 mm | 9.4288 mm² | 讀數 | — |
| 第10級 | D₁₀²=40λR | 4.8551 mm | 23.5720 mm² | 讀數 | — |
| 平方差 | 4(m−n)λR | m−n=6 | 14.1432 mm² → R=1.000 m | 加性級數錯記 | 免疫 |
| 單環誤記 | D₁₀²/(4·11·λ) | m=11 | 0.9091 m（−9.09%） | 級數錯記 | 不免疫 |
| D 偏大 1% | (1.01)²=1.0201 | 分子×1.0201 | R=1.0201 m（+2.01%） | 乘性讀數 | 不免疫 |
| λ 偏大 1% | R∝1/λ | 1/1.01 | R=0.9901 m（−0.99%） | 乘性常量 | 不免疫 |
牛頓環這條線，落點是「為什麼用差而不用單環」：r_m²＝mλR 裡的 m 是從中心暗斑數起的級數，最容易整段錯記一級；平方差 D_m²−D_n²＝4(m−n)λR 把這個共同的起點減掉了，所以對「同向同量」的級數誤記免疫，對讀數比例誤差卻不免疫（D 偏 1% 會把 R 抬 2.01%）。三件事分開記：半波損失讓反射中心成暗斑、透射中心成亮；λ 在分母，取大則 R 偏小；單環法把全部精度押在一個 m 上。本組 λ、直徑讀數與 R 均為自編示意數據，不代表任何真實光源波長、器件參數或測量結果。
四、自測清單
- □ 先由「反射還是透射」確定 δ 是否含 λ/2；
- □ 確認中心暗斑對應 m=0，級數從它數起；
- □ 直徑 mm 先平方、再統一換成 m² 才代公式；
- □ 優先用 D_m²−D_n² 與 m−n，不用單環；
- □ 檢查錯記是否為「同向同量」，否則差值法失效；
- □ D 的誤差按平方放大，λ 的誤差按倒數傳導；
- □ 最後用 R 反推兩個直徑，與題給讀數閉合。
