題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
扭擺把一根金屬絲下端掛上轉盤，轉過一個小角後鬆手，系統做扭轉振動。回覆力矩 τ＝−κθ，運動方程 Iθ¨＋κθ＝0，故
T ＝ 2π√(I/κ)， κ ＝ 4π²I/T²， I ＝ κT²/(4π²)。
κ 由金屬絲決定：κ ＝ Gπr⁴/(2L)（r 為絲半徑，L 為絲長，G 為剪切模量）。實驗上 κ 不靠查表，而用已知 I 的標準件標定：I_std＝½mR²（實心圓柱繞中心軸），測出 T_std 即得 κ；再換上待測件測 T_x。若夾具本身有不可忽略的 I₀，用差量法 I_x−I₀＝κ(T_x²−T₀²)/(4π²) 把它消掉。下面讀數、質量與尺寸均為自編示意數據。
二、逐題精講
題1
題1 標定 κ、求 I_x 與差量法（解答題）
自編題設：標準實心圓柱質量 m＝0.500 kg、半徑 R＝0.0400 m，裝到扭擺上實測週期 T_std＝1.2566 s；換上待測件後實測 T_x＝1.7772 s。取 π²＝9.8696。
(1) 求 I_std、扭轉常量 κ 與待測件的 I_x；(2) 若空夾具（未放任何試件）的週期為 T₀＝0.8886 s，用差量法求 I_x 並與 (1) 比較；(3) 說明差量法消掉的是什麼，以及它對「週期整體記偏 1%」是否免疫。
解析
(1) I_std ＝ ½mR² ＝ 0.5×0.500×(0.0400)² ＝ 0.5×0.500×0.0016 ＝ 4.000×10⁻⁴ kg·m²。κ ＝ 4π²I_std/T_std² ＝ (39.4784 × 4.000×10⁻⁴)/(1.2566²)。1.2566²＝1.57904；分子＝39.4784×4.000×10⁻⁴＝0.01579136 ⇒ κ＝0.01579136/1.57904 ＝ 0.010000 N·m/rad。
（自洽：T_std＝0.4π＝1.256637 s 時恰給 κ＝0.01，題給 1.2566 s 為四位取位值，回算得 0.010000，差在取位內。）
I_x ＝ κT_x²/(4π²) ＝ 0.010000×1.7772²/39.4784。1.7772²＝3.15844 ⇒ 分子＝0.0315844 ⇒ I_x＝0.0315844/39.4784 ＝ 8.000×10⁻⁴ kg·m²。
反推回驗：T_x ＝ 2π√(8.000×10⁻⁴/0.01) ＝ 2π√0.08 ＝ 2π×0.2828427 ＝ 1.77715 s，與題給 1.7772 s 在取位內一致 ✓。
(2) 空夾具本底 I₀ ＝ κT₀²/(4π²) ＝ 0.01×0.8886²/39.4784。0.8886²＝0.789609 ⇒ I₀＝0.01×0.789609/39.4784＝2.000×10⁻⁴ kg·m²。
差量法：I_x − I₀ ＝ κ(T_x²−T₀²)/(4π²) ＝ 0.01×(3.15844−0.789609)/39.4784 ＝ 0.01×2.368831/39.4784 ＝ 6.000×10⁻⁴ kg·m²；
故 I_x ＝ I₀ ＋ 6.000×10⁻⁴ ＝ 2.000×10⁻⁴ ＋ 6.000×10⁻⁴ ＝ 8.000×10⁻⁴ kg·m²，與 (1) 完全一致 ✓。
另一路比例回驗：I ∝ T²，I_x/I₀ ＝ (1.7772/0.8886)² ≈ 2² ＝ 4，而 8.000/2.000 ＝ 4 ✓。
(3) 差量法消掉的是夾具、轉盤、絲下端連接件等共同具有的本底轉動慣量 I₀：兩次測量的 T² 相減，把與試件無關的那一塊減掉，因此不必單獨知道 I₀ 的數值也能得到試件貢獻 I_x−I₀（本例為驗證才把 T₀ 給了出來）。
對「週期整體記偏 1%」不免疫：T² 是乘性放大，若 T_x 與 T₀ 都按同一比例偏大 1.00%，則 T_x² 與 T₀² 都變為 1.0201 倍，它們的差也變為 1.0201 倍，於是 I_x−I₀ 偏高 2.01%。差量法免疫的是加性的共同本底，不是乘性的讀數比例誤差；這與 00365 牛頓環平方差「免疫級數起點、不免疫讀數比例」是同一條道理。要壓這類誤差，得靠多週期計時取平均（測 20 個週期再除），而不是靠相減。
答案 (1) I_std=4.000×10⁻⁴ kg·m²，κ=0.010000 N·m/rad，I_x=8.000×10⁻⁴ kg·m²。(2) I₀=2.000×10⁻⁴，差量得 I_x−I₀=6.000×10⁻⁴，故 I_x=8.000×10⁻⁴，與(1)一致。(3) 差量消的是夾具等共同本底 I₀；對週期整體偏大 1% 不免疫，差會放大為 1.0201 倍即偏高 2.01%。
採分點 I_std=4.000e−4 1 分；κ=0.010000 1 分；I_x=8.000e−4 1 分；反推 T_x=1.77715 s 回驗 1 分；I₀=2.000e−4 1 分；差量得 6.000e−4 與 I_x 一致 1 分；用 I∝T² 比例 4 回驗 1 分；說明差量消加性共同本底 1 分；指出乘性讀數誤差放大為 1.0201 即 +2.01% 1 分；給出多週期計時取平均的處置 1 分。
易錯點 把實心圓柱 I 寫成 mR²（漏 ½）；把 κ 公式寫成 4π²T²/I（倒置）；把 T_std 的取位差當成真偏差去「修正」；差量時用 T_x−T₀ 而不是平方差；說差量法對任何誤差都免疫；把 +1% 週期直接答成 +1% 的 I。
題2
題2 剪切模量 G 與兩類誤差傳導（解答題）
自編題設：扭轉絲長 L＝0.500 m、半徑 r＝0.450 mm，用 (1) 中標定的 κ＝0.010000 N·m/rad。
(1) 由 κ＝Gπr⁴/(2L) 求剪切模量 G，並說明量級是否合理（僅作數量級判斷，不聲稱與真實材料對應）；(2) 若絲半徑 r 整體記偏 +1.00%，G 變為多少、偏差多少？若週期 T 整體記偏 +1.00%（從而 κ 也隨之改變），I 又偏多少？分別說明傳導路徑；(3) 為什麼測 r 要比測 T「更經不起誤差」？
解析
(1) 由 κ ＝ Gπr⁴/(2L) 得 G ＝ 2κL/(πr⁴)。r＝0.450 mm＝4.50×10⁻⁴ m ⇒ r²＝2.025×10⁻⁷，r⁴＝(2.025×10⁻⁷)²＝4.100625×10⁻¹⁴ m⁴；
πr⁴ ＝ 3.14159265×4.100625×10⁻¹⁴ ＝ 1.28825×10⁻¹³ m⁴；
G ＝ 2×0.010000×0.500 / 1.28825×10⁻¹³ ＝ 0.010000 / 1.28825×10⁻¹³ ＝ 7.7627×10¹⁰ Pa ≈ 77.6 GPa。
量級判斷：金屬剪切模量通常在 10¹⁰–10¹¹ Pa（幾十 GPa）量級，77.6 GPa 落在這一區間，數量級合理；但本題的 κ、r、L 均為自編示意數據，不據此斷言它對應某種具體鋼材，也不與任何真實材料常數比對。回代驗：Gπr⁴/(2L) ＝ 7.7627×10¹⁰×1.28825×10⁻¹³/1.000 ＝ 0.010000 N·m/rad ✓。
(2) r 偏大 1.00%：G ∝ r⁻⁴，故 G′ ＝ G/(1.01)⁴。(1.01)⁴＝1.04060401 ⇒ G′ ＝ 7.7627×10¹⁰/1.04060401 ＝ 7.4598×10¹⁰ Pa ≈ 74.6 GPa；相對偏差 ＝ 1/1.04060401 − 1 ＝ −3.902% ≈ −3.90%（偏低）。傳導路徑：r 在 四次方上，1% 的直徑/半徑讀數誤差經四次方放大成約 4.06% 的 r⁴ 誤差，再取倒數落到 G 上。
T 偏大 1.00%：分兩步看。由 κ ＝ 4π²I_std/T_std²，若 T_std 偏大 1%，標定出的 κ 偏小 1/(1.01)²＝0.980296，即 −1.97%；再用 I ＝ κT_x²/(4π²) 測未知件時，若 T_x 也整體偏大 1%（T_x²×1.0201），則 I ＝ 0.980296×1.0201 ＝ 1.000000（近似相消，因兩次週期同向同比例）。但若只有 T_x 偏大 1%、κ 由準確的 T_std 標定不變，則 I 直接 ×1.0201，即偏高 2.01%。
必須寫清的邊界：題目裡「T 整體記偏」有兩種口徑——「標定與測量同步偏」時誤差部分相消，「只測量偏」時平方放大。不裝作唯一答案，把條件寫明再給數，這與 00359 所講李薩如計數約定、00342 所講聚沉值口徑是同一條紀律。
(3) 因為指數不同：T 只以 平方進入（1% → 2.01%），r 以 四次方進入（1% → 4.06%，再取倒數約 −3.90%），後者敏感度約為前者的兩倍；而且絲徑本來就是亞毫米量，0.450 mm 上 1% 只有 4.5 μm，用普通螺旋測微器很難保證，相對誤差天然更大。所以實驗裡要多位置、多方向測徑取平均，必要時改用更粗的絲或直接用已知 κ 的標準件繞過 r 的測量；而週期可以用累計 20～50 個週期計時輕鬆壓到遠低於 1%。
答案 (1) G=2κL/(πr⁴)=7.7627×10¹⁰ Pa≈77.6 GPa，落在幾十 GPa 量級，僅作數量級判斷。(2) r 偏 +1% → G=74.6 GPa，約 −3.90%（r⁻⁴ 傳導）；T 偏 +1%：若標定與測量同步偏則近似相消，若僅 T_x 偏大則 I 偏高 2.01%（T² 傳導），兩口徑分別寫明。(3) r 為四次方且絲徑亞毫米、相對誤差天然大，故比 T 更經不起誤差。
採分點 寫出 G=2κL/(πr⁴) 1 分；r⁴=4.100625e−14 1 分；G=7.7627e10 Pa≈77.6 GPa 1 分；量級判斷並註明不對應真實材料 1 分；(1.01)⁴=1.04060401 1 分；G′≈74.6 GPa 與 −3.90% 1 分；說明 T² 平方傳導 1 分；區分「同步偏相消」與「僅 T_x 偏 +2.01%」兩口徑 1 分；說明 r 四次方敏感且絲徑亞毫米 1 分；給出多位置測徑與多週期計時的處置 1 分。
易錯點 把 G 公式寫成 κ=Gπr⁴/L（漏 2）；把 r 的 0.450 mm 當成 0.450×10⁻³ 後四次方少算一位；把 r 偏 1% 答成 G 偏 −4%（未取倒數）；把 T 偏 1% 一律答成 I 偏 +2.01% 而不區分標定是否同步偏；把 77.6 GPa 斷言為某真實鋼材的常數；漏寫「不裝作唯一答案」的口徑說明。
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | 本題取值 | 結果 | 誤差指數 | 處置 |
|---|---|---|---|---|---|
| 標準件 I | ½mR² | m=0.500, R=0.0400 | 4.000e−4 kg·m² | R² | 多位置測徑 |
| 扭轉常量 | κ=4π²I/T² | T_std=1.2566 | 0.010000 N·m/rad | T⁻² | 多週期計時 |
| 待測件 | I=κT²/4π² | T_x=1.7772 | 8.000e−4 kg·m² | T² | — |
| 空夾具本底 | I₀=κT₀²/4π² | T₀=0.8886 | 2.000e−4 kg·m² | T² | 差量法 |
| 差量法 | κ(T_x²−T₀²)/4π² | 3.15844−0.789609 | 6.000e−4 → I_x=8.000e−4 | 消加性本底 | 不免疫乘性讀數 |
| 剪切模量 | G=2κL/(πr⁴) | L=0.500, r=0.450 mm | 7.7627e10 Pa≈77.6 GPa | r⁻⁴ | 多方向測徑 |
| r 偏 +1% | G/(1.01)⁴ | (1.01)⁴=1.040604 | 74.6 GPa（−3.90%） | 四次方 | 換粗絲/繞過 r |
| T_x 偏 +1% | I×1.0201 | 僅測量偏 | +2.01% | 平方 | 累計 20~50 週期 |
| T 同步偏 | κ×0.980296，T_x²×1.0201 | 標定+測量同偏 | 近似相消 | 相消 | 寫明口徑 |
扭擺這條線，落點是「先標定 κ，再談 I」：κ 由絲決定，實驗上用 ½mR² 的標準件測 T_std 反求；夾具本底用 T² 相減的差量法消掉。誤差傳導要按指數分開記：T 是平方（1%→2.01%），r 是四次方（1%→約 −3.90% 的 G），後者更經不起誤差，因為絲徑本就亞毫米。還有一條必須寫明的邊界：「T 整體偏 1%」有同步偏與僅測量偏兩種口徑，前者近似相消、後者放大到 +2.01%，不裝作唯一答案。本組質量、半徑、週期、絲長與絲徑均為自編示意數據，不代表任何真實器件參數、材料常數或測量結果。
四、自測清單
- □ 先用標準件 ½mR² 與 T_std 標定 κ，不查表；
- □ 單位統一：mm→m，r 的四次方單獨核對；
- □ 夾具本底用 T² 相減的差量法，不用 T 相減；
- □ 差量法只消加性共同本底，不消乘性讀數誤差；
- □ T 的誤差按平方、r 的誤差按四次方分別傳導；
- □ 遇到「整體偏」先分清標定與測量是否同步偏；
- □ 數量級判斷只說區間，不對應具體真實材料；
- □ 最後用 T=2π√(I/κ) 反推週期與題給讀數閉合。
