聯招物理·彈道擺測速度：完全非彈性碰撞與擺升高度兩步回算

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

彈道擺是兩個物理過程串在一起的裝置，必須分段列式：

① 碰撞瞬間（極短）：子彈 m 以 v 射入擺錘 M 並留在其中，完全非彈性碰撞。擺線仍豎直、外力衝量可忽略，動量守恆：m v ＝ (M＋m) V。這一步動能不守恆，大量機械能轉為內能。
② 擺升階段：合體以 V 擺起，擺線張力不做功，機械能守恆：½(M＋m)V² ＝ (M＋m)gh ⇒ V＝√(2gh)。
合併得 v ＝ (M＋m)√(2gh)/m。下面讀數、質量與高度均為自編示意數據。

二、逐題精講

題1

題1 兩步模型求 v 與能量核算（解答題）

自編題設：子彈質量 m＝0.0100 kg，擺錘質量 M＝1.990 kg（合體總質量 2.000 kg），擺長 L＝1.000 m。測得擺升最大高度 h＝0.0500 m，取 g＝9.80 m/s²。
(1) 求碰後共同速度 V 與子彈入射速度 v；(2) 求碰撞前後的動能與能量損失，說明保留比例由什麼決定；(3) 由 h 與 L 反推最大擺角 θ，並說明為什麼不能對全過程直接寫機械能守恆。

解析

(2) 碰前動能（只有子彈）＝ ½ m v² ＝ 0.5×0.0100×197.99² ＝ 0.5×0.0100×39200 ≈ 196.00 J（精確用 v²＝(2.000/0.0100)²×2gh＝40000×0.98＝39200，得 196.000 J）。
碰後動能 ＝ ½(M＋m)V² ＝ (M＋m)gh ＝ 2.000×9.80×0.0500 ＝ 0.980 J。
能量損失 ＝ 196.000 − 0.980 ＝ 195.020 J，佔碰前 99.5%。
保留比例由質量比決定：E_後/E_前 ＝ [½(M+m)V²]/[½ m v²] ＝ [(M+m)V²]/[m·((M+m)V/m)²] ＝ m/(M＋m) ＝ 0.0100/2.000 ＝ 0.005 ＝ 0.5% ✓，與數值一致。可見擺錘越重，保留比例越小、損失越大；這個比例與 v、h 都無關，只由 m 與 M 定。
第三路回驗：E_前×0.005 ＝ 196.000×0.005 ＝ 0.980 J ✓。

(3) 由幾何 h ＝ L(1−cosθ) ⇒ cosθ ＝ 1 − h/L ＝ 1 − 0.0500/1.000 ＝ 0.9500 ⇒ θ ＝ arccos(0.9500) ≈ 18.1949° ≈ 18.2°。
小角回驗：θ 約 0.3176 rad，sinθ≈0.3122，用 h＝L(1−cosθ) 精確式已閉合；若誤用小角近似 h≈Lθ²/2 得 θ≈√(2h/L)＝√0.1＝0.3162 rad≈18.12°，與精確值差約 0.07°，屬可取但須註明是近似。
為什麼不能全過程寫機械能守恆：碰撞是完全非彈性——子彈嵌入擺錘，兩物體發生永久形變與摩擦生熱，195.02 J（99.5%）已轉成內能，這部分不可逆、也不再回到機械能。若從子彈入射一路寫到最高點寫 ½mv²＝(M+m)gh，會得 v＝√[2(M+m)gh/m]＝√(2×2×9.8×0.05/0.01)＝√196＝14 m/s，與正確值 198 m/s 相差 14 倍（恰為 √((M+m)/m)＝√200≈14.14）。所以必須分段：只在碰撞瞬間用動量守恆，只在碰後襬升用機械能守恆；兩段之間用共同速度 V 銜接。

答案　(1) V=√(2gh)=0.989949 m/s，v=(M+m)V/m=197.99≈198.0 m/s。(2) 碰前 196.000 J、碰後 0.980 J、損失 195.020 J（99.5%）；保留比例 E後/E前=m/(M+m)=0.005，只由質量比定。(3) cosθ=0.95 → θ≈18.1949°；碰撞為完全非彈性、99.5% 動能轉內能，全過程寫機械能守恆會得 14 m/s（差約 14 倍），必須分段列式。

採分點　寫出 V=√(2gh)=0.989949 1 分；動量守恆得 v≈198.0 m/s 1 分；兩步回代動量閉合 1 分；碰前 196.000 J 1 分；碰後 0.980 J 1 分；損失 195.020 J 與 99.5% 1 分；推導 E後/E前=m/(M+m)=0.005 1 分；第三路 196×0.005 回驗 1 分；cosθ=0.95 與 θ≈18.1949° 1 分；說明分段理由並給出 14 m/s 的錯值對照 1 分。

易錯點　從頭到尾寫 ½mv²=(M+m)gh；把 v 算成 14 m/s；把保留比例寫成 M/(M+m)；把能量損失算成 0.98 J；用 L sinθ 代替 L(1−cosθ)；把 g 取 10 後不回代；漏掉「小角近似」的註明。

題2

題2 誤差傳導與邊界條件（解答題）

(1) 在題 (1) 條件下，若擺升高度 h 記偏 +1.00%，v 偏多少？若合體質量 (M+m) 記偏 +1.00%、子彈質量 m 記偏 −1.00%，v 各偏多少？給出數值與方向；(2) 寫出 v 對各量的指數依賴，並說明為什麼測 h 比測質量更「經不起誤差」的說法在本題不成立；(3) 說明本模型成立必須滿足的三類前提。

解析

(2) 指數依賴：v ∝ (M+m)¹ · m⁻¹ · h^{1/2} · g^{1/2}。
「測 h 更經不起誤差」在本題不成立：恰恰相反，h 的指數最小（1/2），同樣的 1% 相對誤差只帶來 0.499% 的 v 偏差，比質量的 1.00% 與 1.01% 還小。這個說法之所以容易誤傳，是因為在別的實驗（如 00371 扭擺裡 r 的四次方、00377 劈尖裡 l 的分母）確實存在高指數放大；敏感不敏感要看指數，不看「這個量難不難測」。
不過要補一層另一口徑：h 的絕對量很小（0.0500 m＝5.00 cm），1% 只有 0.5 mm，用刻度尺直接量絕對誤差容易超；實驗裡才改用測擺角 θ 或測水平位移再換算 h＝L(1−cosθ)。也就是說：相對誤差的傳導 h 最不敏感，但絕對測量難度 h 最高——兩件事分開說，不裝作單一結論。這與 00371 所講「r 四次方且絲徑亞毫米」的「指數＋絕對量」雙重分析是同一套方法。

(3) 三類前提必須寫明：
① 碰撞瞬間外力衝量可忽略：碰撞時間極短，擺線仍近似豎直，重力與張力的衝量在水平方向可略；若擺錘已有明顯擺動或碰撞拖長，動量守恆不成立。
② 完全非彈性且無質量損失：子彈嵌入並留在擺錘內，合體質量嚴格為 M＋m；若子彈穿出、碎裂或帶出碎片，須改用恢復係數模型（00221 所講）並重列動量式。
③ 擺升階段只有重力做功：擺線張力不做功、空氣阻力與軸摩擦可忽略、擺長遠大於擺錘尺寸（可視為質點擺）；否則 ½(M+m)V²＝(M+m)gh 要補耗散項。
邊界口徑：本模型給的是入射瞬間速度，不是槍口速度（子彈飛行中已有空氣阻力減速）；g 取 9.80 為示意值，換地區須重取；所有質量、高度與速度均為自編示意數據，不代表任何真實器件參數、材料或實測結果。

答案　(1) h 偏 +1% → v 偏 +0.499%（≈198.98 m/s）；(M+m) 偏 +1% → +1.00%（≈199.97 m/s）；m 偏 −1% → +1.01%（≈199.99 m/s）。(2) v∝(M+m)¹m⁻¹h^{1/2}g^{1/2}，h 指數最小故相對誤差傳導最不敏感；但 h 絕對值僅 5.00 cm、1% 只 0.5 mm，絕對測量難度最高，故改測擺角/水平位移換算，兩種口徑分開報。(3) 碰撞瞬間外力衝量可忽略、完全非彈性且無質量損失、擺升階段只有重力做功；另注本模型給入射瞬間速度非槍口速度。

採分點　h 偏得 √1.01=1.0049876 與 +0.499% 1 分；(M+m) 偏得 +1.00% 1 分；m 偏得 1/0.99=1.010101 與 +1.01% 1 分；寫出 v 的指數依賴式 1 分；指出 h 指數最小、相對傳導最不敏感 1 分；指出 h 絕對量小、絕對測量難度最高 1 分；說明改測擺角/水平位移 1 分；三類前提各 1 分；註明入射速度非槍口速度與 g 為示意值 1 分。

易錯點　把 h 偏 1% 答成 v 偏 +1%；把 m 偏 −1% 答成 v 偏 −1%（方向反）；只說「h 最難測」而漏掉相對誤差傳導最小這一層；把三類前提寫成「忽略一切阻力」一句帶過；把結果說成槍口速度；漏掉 g 的地區依賴。

三、規律小結與對照表

彈道擺這條線，落點是「分段列式，絕不跨段寫守恆」：碰撞瞬間只寫 m v＝(M+m)V（動量），擺升階段只寫 ½(M+m)V²＝(M+m)gh（機械能），中間用 V 銜接。碰後動能只剩 m/(M+m)＝0.5%，99.5% 已轉成內能；若一路寫機械能守恆，會得到 14 m/s 這種差 14 倍的錯值。誤差傳導按 v∝(M+m)¹m⁻¹h^{1/2} 看：h 的指數最小、相對誤差最不敏感，但它只有 5.00 cm，絕對測量難度反而最高，所以實驗改測擺角或水平位移再換算——兩種口徑分開報，不裝作單一結論。本組質量、擺長、高度與速度均為自編示意數據，不代表任何真實器件參數或測量結果。

四、自測清單

• □ 先分兩段：碰撞用動量守恆、擺升用機械能守恆；
• □ 兩段之間用共同速度 V 銜接，不跨段寫 ½mv²=(M+m)gh；
• □ 用 m v 與 (M+m)V 數值回代驗動量閉合；
• □ 能量保留比按 m/(M+m) 算，與兩處動能對照；
• □ 擺角用 h=L(1−cosθ)，註明小角近似是近似；
• □ 誤差按指數看：h^{1/2}、質量一次方；
• □ 相對傳導與絕對測量難度分開說；
• □ 寫明三類前提與「入射速度≠槍口速度」的邊界。