聯招數學·參數方程與極座標：直線參數 t 的幾何意義

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

兩個工具先擺清。直線的標準參數方程：過定點 (x₀,y₀)、方向向量 (cosα, sinα)（已單位化，即係數平方和＝1）時，
x＝x₀＋t cosα，　y＝y₀＋t sinα，
此時 t 就是從定點到該點的有向距離。代入曲線得 t 的二次方程後：|t₁−t₂|＝弦長，|t₁t₂|＝定點對曲線的冪的絕對值。若係數平方和不是 1，t 只是普通參數，這兩個結論都不成立——先單位化，再談幾何意義。

極座標化直角座標：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ²＝x²＋y²。ρ＝4cosθ 兩邊乘 ρ 得 ρ²＝4ρcosθ ⇒ x²＋y²＝4x ⇒ (x−2)²＋y²＝4。下面題設數據為自編示意，非真題原文。

二、逐題精講

題1

題1 直線參數 t 求弦長與點冪（解答題）

自編題設：直線 l 的參數方程為 x＝1＋(√3/2)t，y＝(1/2)t（t 為參數），圓 C：x²＋y²＝4。
(1) 驗證 t 是否具有「有向距離」的幾何意義；(2) 求 l 與 C 相交所得弦長 |AB|；(3) 用點冪獨立回驗 |PA|·|PB|，並說明它為什麼等於 |t₁t₂|。

解析

(2) 代入圓方程：
(1＋(√3/2)t)² ＋ ((1/2)t)² ＝ 4
1 ＋ √3 t ＋ (3/4)t² ＋ (1/4)t² ＝ 4
t² ＋ √3 t − 3 ＝ 0。
韋達：t₁＋t₂＝−√3，t₁t₂＝−3，判別式 Δ＝(√3)²＋12＝15。
|t₁−t₂| ＝ √Δ / |a| ＝ √15 ≈ 3.872983。
因 t 是有向距離，弦長 |AB|＝|t₁−t₂|＝√15。
另一路回驗：圓心 O(0,0) 到直線 l 的距離。直線由參數式消 t：由 y＝t/2 得 t＝2y，代入 x＝1＋√3 y ⇒ √3 y − x ＋ 1 ＝ 0，即 x − √3y − 1 ＝ 0；d ＝ |0−0−1|/√(1＋3) ＝ 1/2。故弦長 ＝ 2√(R²−d²) ＝ 2√(4−1/4) ＝ 2√(15/4) ＝ √15 ✓，與參數法一致。

(3) 定點 P＝(1,0) 對圓 x²＋y²＝4 的冪 ＝ x₀²＋y₀² − R² ＝ 1 − 4 ＝ −3，故 |PA|·|PB| ＝ 3。
而由韋達 t₁t₂＝−3，|t₁t₂|＝3 ✓。為什麼相等：t₁、t₂ 是 P 到兩交點的有向距離，P 在圓內（冪為負）時兩點分居 P 兩側，故 t₁t₂<0 而 |t₁t₂|＝|PA|·|PB|；點冪定理本身說的就是「過定點任一直線與圓的兩交點到定點距離之積為常數 |冪|」，與直線斜率無關。可再換一條線驗：取過 P 的水平線 y＝0，與圓交於 (±2,0)，到 P(1,0) 的距離為 1 與 3，積仍為 3 ✓。三路閉合：參數韋達、點距公式、另取一條直線的點冪。

答案　(1) 方向向量平方和=1，t 為從 P(1,0) 出發的有向距離。(2) 代入得 t²+√3t−3=0，Δ=15，弦長 |AB|=|t₁−t₂|=√15≈3.872983；用 d=1/2 的弦長公式亦得 √15。(3) P 的冪=−3，|PA|·|PB|=3=|t₁t₂|；換水平線得 1×3=3 再驗一次。

採分點　驗證方向向量平方和為 1 並指出 P=(1,0) 1 分；說明未單位化時 t 不是距離 1 分；代入得 t²+√3t−3=0 1 分；韋達與 Δ=15 1 分；|t₁−t₂|=√15 1 分；消參求 d=1/2 並用 2√(R²−d²) 回驗 1 分；點冪=−3 得 3 1 分；說明 t₁t₂ 與點冪相等的理由 1 分；換水平線 1×3=3 再驗 1 分。

易錯點　不驗證係數平方和就直接把 |t₁−t₂| 當弦長；代入時把 (√3/2)² 算成 3/2；把 Δ 寫成 3+12=15 後忘記除以 |a|；把點冪寫成 +3；說「點冪隨直線斜率變」；漏掉 P 在圓內導致 t₁t₂<0 的符號說明。

題2

題2 極座標與直角座標互化（解答題）

自編題設：圓 C 的極座標方程為 ρ＝4cosθ，射線 θ＝π/4（ρ ≥ 0） 與 C 交於點 Q（除極點外）。
(1) 把 C 化為直角座標方程，寫出圓心與半徑；(2) 求 Q 的極徑 ρ 與直角座標，並把 Q 代回直角座標方程回驗；(3) 另給點 M 的極座標 (2, π/6)，求其直角座標；並說明為什麼 ρ＝4cosθ 在 θ＝π/2 處給出 ρ＝0 卻不代表「沒有交點」。

解析

(2) 把 θ＝π/4 代入 ρ＝4cosθ：
ρ ＝ 4cos(π/4) ＝ 4×(√2/2) ＝ 2√2 ≈ 2.828427（ρ>0，符合射線要求）。
x ＝ ρcosθ ＝ 2√2×(√2/2) ＝ 2；y ＝ ρsinθ ＝ 2√2×(√2/2) ＝ 2。故 Q＝(2, 2)。
代回直角座標方程回驗：(2−2)²＋2² ＝ 0＋4 ＝ 4 ✓。另用幾何法獨立驗：射線 y＝x 與圓 (x−2)²＋y²＝4 聯立 ⇒ (x−2)²＋x²＝4 ⇒ 2x²−4x＝0 ⇒ x＝0（極點 O）或 x＝2 ⇒ y＝2，得 Q(2,2) ✓，與極座標法一致；OP 距離 √(2²＋2²)＝2√2＝ρ ✓。

(3) M 的極座標 (2, π/6)：
x ＝ 2cos(π/6) ＝ 2×(√3/2) ＝ √3 ≈ 1.732051；
y ＝ 2sin(π/6) ＝ 2×(1/2) ＝ 1。故 M＝(√3, 1)。回驗：ρ²＝3＋1＝4 ⇒ ρ＝2 ✓；tanθ＝1/√3 ⇒ θ＝π/6 ✓。
θ＝π/2 處 ρ＝0 的含義：ρ＝4cos(π/2)＝0，得的是極點 O(0,0)。而 O 代入 (x−2)²＋y²＝4 得 4＝4 ✓，它本來就在圓上——圓過極點。所以 ρ＝0 不是「無交點」，而是「交點恰為極點」；極座標裡極點的表示不唯一（ρ＝0 時 θ 可取任意值），故不能因為某個 θ 給出 ρ＝0 就說沒有交點。邊界口徑：題目裡寫「射線 θ＝π/4（ρ≥0）」正是為了排除負極徑帶來的重複表示；若允許 ρ<0，(ρ, θ) 與 (−ρ, θ＋π) 表示同一點，圓會被描兩遍，交點計數就會多算。這與 00340 所講「樣本空間與邊界測度」、00358 所講端點開閉同理：先把取值範圍寫清，再談有幾個點。

答案　(1) (x−2)²+y²=4，圓心(2,0)、半徑2。(2) ρ=4cos(π/4)=2√2≈2.828427，Q=(2,2)，代回得 0+4=4 ✓，聯立 y=x 亦得 x=2。(3) M=(√3,1)；ρ=0 對應極點 O(0,0)，而 O 本在圓上，故不是無交點，且極點表示不唯一、須限定 ρ≥0 避免重複計數。

採分點　兩邊乘 ρ 化為 x²+y²=4x 1 分；配方得 (x−2)²+y²=4 1 分；圓心半徑 1 分；用 θ=0 或 π/3 回驗 1 分；ρ=2√2 1 分；Q=(2,2) 1 分；代回與聯立兩路回驗各 1 分；M=(√3,1) 與回驗 1 分；說明 ρ=0 是極點且 O 在圓上 1 分；說明極點表示不唯一與 ρ≥0 的限定作用 1 分。

易錯點　把 ρ=4cosθ 直接寫成 x=4cosθ；配方時寫成 (x−4)²；把 4cos(π/4) 算成 2 或 4；忘記除極點外交點的條件；把 ρ=0 當成無解；允許負極徑導致圓被描兩遍、交點多數一個；把 M 的 y 算成 √3。

三、規律小結與對照表

這一組題只考一件事：先把參數的「身份」認清楚，再談幾何意義。直線參數方程裡，只有方向向量平方和＝1 時 t 才是有向距離，這時 |t₁−t₂| 才是弦長、|t₁t₂| 才是點冪；極座標裡，ρ＝0 給的是極點而不是「無交點」，且極點表示不唯一，所以題目要寫 ρ≥0 來防重複計數。四條路子本題都走了兩遍以上：參數韋達 ↔ 點距公式、點冪 ↔ 換一條直線、極座標 ↔ 直角座標聯立、代回方程 ↔ 幾何距離。所有數值與方程均為自編示意題設，不代表任何真題原文或官方數據。

四、自測清單

• □ 用 t 的幾何意義前，先驗方向向量平方和是否為 1；
• □ 代入後寫成標準二次方程，再用韋達與 Δ 一起算；
• □ 弦長用 |t₁−t₂|=√Δ/|a|，別忘除 |a|；
• □ 點冪取 |x₀²+y₀²−R²|，並與 |t₁t₂| 對照；
• □ 極座標化直角座標先兩邊乘 ρ，再配方；
• □ 交點代回直角座標方程驗一次，再聯立直線驗一次；
• □ 見 ρ=0 想到極點，不判「無交點」；
• □ 題目沒限定 ρ≥0 時，主動檢查負極徑重複表示。