聯招數學·離散型隨機變量：分佈列、期望、方差與方案比較

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

分佈列只需滿足兩條：p_i ≥ 0 且 Σp_i＝1。在此基礎上三個量依次算：

E(X)＝Σ x_i p_i（加權重心）；E(X²)＝Σ x_i² p_i；Var(X)＝E(X²) − [E(X)]²；σ＝√Var(X)。
線性變換很好用：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，Var(aX＋b)＝a²Var(X)（加常數不改變方差，乘 a 要平方）。下面題設分佈與收益值均為自編示意，非真題原文。

二、逐題精講

題1

題1 分佈列、期望與方差（解答題）

自編題設：離散型隨機變量 X 的分佈列為
X＝0, 1, 2, 3，對應 P＝0.1, 0.3, 0.4, 0.2。
(1) 驗證這是合法分佈列，求 E(X)、E(X²)、Var(X) 與 σ；(2) 用定義式 Var(X)＝Σ(x_i−μ)²p_i 獨立回驗方差；(3) 求 P(X≥2) 與 P(X≤1)，並說明二者是否互補。

解析

(2) 用定義式逐項算（μ＝1.7）：
(0−1.7)²×0.1 ＝ 2.89×0.1 ＝ 0.289；
(1−1.7)²×0.3 ＝ 0.49×0.3 ＝ 0.147；
(2−1.7)²×0.4 ＝ 0.09×0.4 ＝ 0.036；
(3−1.7)²×0.2 ＝ 1.69×0.2 ＝ 0.338。
和 ＝ 0.289＋0.147＋0.036＋0.338 ＝ 0.810 ✓，與 (1) 的 0.81 完全一致。
第三路回驗：直接展開 Σx_i²p_i − 2μΣx_ip_i ＋ μ²Σp_i ＝ 3.7 − 2×1.7×1.7 ＋ 2.89×1 ＝ 3.7 − 5.78 ＋ 2.89 ＝ 0.81 ✓（這裡用到 Σp_i＝1，也順帶解釋了為什麼公式裡要減 [E(X)]²）。三路閉合：公式法、定義式、代數展開。

(3) P(X≥2) ＝ 0.4＋0.2 ＝ 0.6；P(X≤1) ＝ 0.1＋0.3 ＝ 0.4。
二者互補：因為 X 只取 0,1,2,3 四個值，「X≤1」與「X≥2」互斥且並集為整個樣本空間，故 0.6＋0.4＝1.0 ✓。但要寫明前提：這是離散且取值有限的分佈；若 X 可以取 1 與 2 之間的值（連續型或含中間離散值），「≤1」與「≥2」之間會留出 (1,2) 的空檔，就不再互補，須改成「X<2」與「X≥2」這類真正對立的劃分。互補的判據是劃分是否窮盡，不是字面看起來相反——這與 00358 所講端點開閉、00340 所講樣本空間邊界是同一條紀律。

答案　(1) 概率和=1 合法；E(X)=1.7、E(X²)=3.7、Var(X)=0.81、σ=0.9。(2) 定義式逐項 0.289+0.147+0.036+0.338=0.810 回驗；代數展開 3.7−5.78+2.89=0.81 第三路閉合。(3) P(X≥2)=0.6、P(X≤1)=0.4，因取值僅限 0,1,2,3 二者互補且和為 1；若有中間取值則不互補，須用 X<2 與 X≥2 的窮盡劃分。

採分點　驗證概率和=1 1 分；E(X)=1.7 1 分；E(X²)=3.7 1 分；Var=0.81 與 σ=0.9 各 1 分；定義式四項各 1 分中的合計 0.810 1 分；代數展開 3.7−5.78+2.89=0.81 1 分；兩個概率 0.6/0.4 各 1 分；說明互補及窮盡劃分判據 1 分；說明有中間取值時不互補 1 分。

易錯點　把 E(X²) 算成 [E(X)]²=2.89；方差漏減均值平方；開方後把 σ 寫成 0.81；定義式裡用 x_i 而不是 x_i−μ；把 P(X≤1) 寫成 0.3；不檢查取值是否有中間值就說「≤1 與 ≥2 一定互補」。

題2

題2 線性變換與兩方案決策（解答題）

自編題設：某任務的方案 A 收益為 Y＝2X＋1（X 為題 (1) 的隨機變量）；方案 B 為固定收益 4.0（無波動）。
(1) 用線性變換公式求 E(Y) 與 Var(Y)、σ(Y)，並用直接按分佈列計算獨立回驗；(2) 分別按「期望最大」與「風險最小（方差最小）」兩種口徑選方案，結論是否一致？(3) 說明這兩種決策口徑各自成立的條件，以及為什麼不能只報一個「最優方案」。

解析

(2) 按期望最大：E(Y)＝4.4 > E(B)＝4.0 ⇒ 選 A，期望收益高 0.4。
按方差最小：Var(B)＝0 < Var(Y)＝3.24 ⇒ 選 B，且 Y 有 0.1 的概率只取 1（遠低於 4.0）。
結論不一致：這正是本題要點——期望與方差量的是兩件不同的事，一個看長期平均，一個看單次波動。
補一個數值對照：若把風險量化成「收益低於 B 的概率」，則 P(Y<4)＝P(Y＝1)+P(Y＝3)＝0.1＋0.3＝0.4，即有 40% 的情形 A 不如固定方案；而 P(Y>4)＝0.6。這說明「期望更高」並不等於「每次都更好」。

(3) 兩種口徑各自成立的條件：
「按期望最大」成立需要可重複、可分散——同一任務做很多次、各次獨立、決策者對波動不敏感（或風險中性），此時長期平均收斂到 E(Y)＝4.4，高於 4.0 才真正兌現；若只做一次或虧不起低收益（例如 1 的收益會導致任務失敗），期望的優勢就不一定有意義。
「按方差最小」成立需要風險厭惡或硬約束——單次決策、有最低收益門檻、或波動會帶來額外成本；此時 0 方差的固定方案更穩。
不能只報一個「最優方案」的理由：「最優」必須相對於某個準則。脫離「按期望還是按方差、重複幾次、能不能承受最差情形」去說「A 最優」或「B 最優」，等於把決策者的偏好偷偷替他定了；本題兩個準則給出相反答案，正是這個依賴關係的證據。保真寫法是「按期望選 A（4.4 vs 4.0）；按方差/風險選 B（0 vs 3.24，且 A 有 40% 情形低於 B）；須由決策條件確定準則」。這與 00374 所講量表多口徑分報、00386 所講「代表性須另給條件」同理：數字算得準，不等於結論可以脫離口徑。

答案　(1) E(Y)=4.4、Var(Y)=3.24、σ(Y)=1.8；直接按 Y=1,3,5,7 的分佈列得 E=4.4、E(Y²)=22.6、Var=3.24，另以 0.81×4=3.24 三路閉合；B：E=4.0、Var=0。(2) 按期望選 A（4.4>4.0），按方差最小選 B（0<3.24），結論不一致；且 P(Y<4)=0.4。(3) 期望準則需可重複/風險中性，方差準則需單次/風險厭惡或硬門檻；「最優」必須相對準則，須由決策條件確定，不能只報一個。

採分點　E(Y)=4.4 1 分；Var(Y)=3.24 與 σ=1.8 1 分；直接法 Y 四取值 1 分；E(Y)=4.4 與 E(Y²)=22.6 回驗 1 分；Var=22.6−19.36=3.24 1 分；0.81×4=3.24 第三路 1 分；B 的 E=4.0、Var=0 1 分；按期望選 A 1 分；按方差選 B 1 分；P(Y<4)=0.4 1 分；兩類準則成立條件各 1 分；說明「最優相對準則」並給保真寫法 1 分。

易錯點　把 Var(2X+1) 算成 2×0.81=1.62（漏平方）或 4×0.81+1；把加常數 1 也算進方差；把 σ(Y) 寫成 1.62；把 E(Y) 寫成 2×1.7=3.4（漏 +1）；只報一個「最優方案」而不說準則；忽略 P(Y<4)=0.4 這一最差情形信息。

三、規律小結與對照表

分佈列這條線，落點是「三個量分三步進，決策要帶準則」：先驗 Σp_i＝1，再算 E(X)＝1.7、E(X²)＝3.7、Var＝E(X²)−[E(X)]²＝0.81、σ＝0.9，並用定義式與代數展開各回驗一次。線性變換記牢 E(aX+b)＝aE(X)+b、Var(aX+b)＝a²Var(X)——加常數不動方差，乘 a 要平方。最後一層最容易被跳過：按期望選 A、按方差選 B，兩個準則結論相反，「最優」永遠是相對某個準則的，須寫明可重複/風險中性還是單次/風險厭惡。所有概率與收益值均為自編示意題設，不代表任何真題原文或官方數據。

四、自測清單

• □ 拿到分佈列先驗 Σp_i=1 且各項非負；
• □ E(X)、E(X²) 分開算，別把二階矩寫成均值平方；
• □ 方差用 E(X²)−[E(X)]²，再用定義式獨立驗；
• □ σ 開方後單獨核對（0.81→0.9）；
• □ 線性變換：期望加 b、方差乘 a²、常數不進方差；
• □ 概率互補先確認取值集合是否被窮盡劃分；
• □ 方案比較按期望與按方差分別報結論；
• □ 「最優」必須附準則與決策條件，不只報一個。