聯招數學·三角圖像變換：平移與伸縮的先後、由點定 φ、對稱軸與中心

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

設目標函數 f(x)=2sin(2x+π/6)，A=2、ω=2、φ=π/6，週期 T=2π/2=π。從 y=sin x 出發有兩條等價路徑：
路徑甲（先平移、後伸縮）：sin x → 左移 π/6 得 sin(x+π/6) → 橫座標縮為原來的 1/2（x 換成 2x）得 sin(2x+π/6) → 縱座標伸 2 倍得 2sin(2x+π/6)。
路徑乙（先伸縮、後平移）：sin x → 橫座標縮為 1/2 得 sin 2x → 左移 π/12 得 sin[2(x+π/12)]=sin(2x+π/6) → 縱座標伸 2 倍。
關鍵：乙路的平移量是 φ/ω=π/12，不是 φ=π/6。原因在「平移是對 x 本身加減」，縮過之後 x 的係數變成 2，要湊出同樣的 π/6，只需移 π/12。

對稱軸與中心要分開寫：軸令 2x+π/6 = π/2 + kπ；中心令 2x+π/6 = kπ。兩者相差 π/4 的 x 間隔，別混成一套。下面兩題數據均為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1 兩條路徑與特徵量（填空＋簡答）

已知自編函數 f(x)=2sin(2x+π/6)。
(1) 分別寫出「先平移後伸縮」與「先伸縮後平移」兩條路徑的平移量，並驗證兩路都得到 f(x)。
(2) 求 f(x) 的最小正週期、f(0)、最大值點橫座標通式、對稱軸方程與對稱中心座標。
(3) 若某同學按路徑乙卻把圖像左移了 π/6，寫出他實際得到的函數 g(x)，並指出 g(0) 與 f(0) 是否相等。

解析

(2)
· 最小正週期 T=2π/ω=2π/2=π。
· f(0)=2sin(π/6)=2×1/2=1。
· 最大值：2x+π/6=π/2+2kπ → 2x=π/3+2kπ → x=π/6+kπ（k∈Z），此即最大值點橫座標通式；最大值 2。
· 對稱軸：2x+π/6=π/2+kπ → x=π/6+kπ/2。
· 對稱中心：2x+π/6=kπ → x=−π/12+kπ/2，中心為 (−π/12+kπ/2, 0)。
回驗：軸與中心相鄰間隔 = (π/6)−(−π/12)=π/4，恰為 T/4=π/4；把 x=π/6 代入，相位 π/2，f=2（峰），把 x=−π/12 代入，相位 0，f=0（零點且為對稱中心），兩處都閉合。

(3) 誤移 π/6 得 g(x)=2sin[2(x+π/6)]=2sin(2x+π/3)。g(0)=2sin(π/3)=2×(√3/2)=√3≈1.732，而 f(0)=1，不相等。差額來自相位被放大了一倍：本該加 π/6，實際加了 2×π/6=π/3。這也是「先縮後移必須除以 ω」最容易漏的一處：相位看的是 ω·(平移量)，不是平移量本身。

答案　(1) 甲左移 π/6，乙左移 π/12，均得 2sin(2x+π/6)。(2) T=π，f(0)=1，最大值點 x=π/6+kπ，對稱軸 x=π/6+kπ/2，中心 (−π/12+kπ/2, 0)。(3) g(x)=2sin(2x+π/3)，g(0)=√3≠1。

採分點　甲路徑 π/6 與乙路徑 π/12 各 1 分；寫出 sin[2(x+π/12)]=sin(2x+π/6) 1 分；T=π 1 分；f(0)=1 1 分；最大值點通式 1 分；對稱軸通式 1 分；對稱中心通式 1 分；軸—中心間隔 T/4 回驗 1 分；g(x) 正確 1 分；g(0)=√3≠1 並說明相位放大 1 分。

易錯點　兩條路徑都用 π/6；先縮後移忘記除以 ω；把對稱軸與對稱中心都令成 π/2+kπ；漏寫 k∈Z；把振幅 2 也算進週期；誤移後仍寫 g(0)=1。

題2

題2 由圖像兩點定 φ 與逆向變換

自編：另有一函數 h(x)=2sin(2x+φ)（|φ|<π/2），圖像過點 (0, 1)，且在 x=π/6 處取得最大值 2。
(1) 由這兩處信息定 φ，並說明「過 (0,1)」單獨為什麼不唯一、加上「x=π/6 取最大值」後為什麼唯一。
(2) 把 h(x) 化成 2cos(2x−θ) 的形式求 θ；若把 h(x) 的圖像右移 π/6，寫出所得函數並判斷它與 f(x)=2sin(2x+π/6) 是否相同。

解析

(2) 用 sin α = cos(α−π/2)：
2sin(2x+π/6)=2cos(2x+π/6−π/2)=2cos(2x−π/3)，故 θ=π/3。回代：x=0 時 2cos(−π/3)=2×1/2=1 ✅；x=π/6 時 2cos(π/3−π/3)=2 ✅。
右移 π/6：把 x 換成 x−π/6，得 2sin[2(x−π/6)+π/6]=2sin(2x−π/3+π/6)=2sin(2x−π/6)。它與 f(x)=2sin(2x+π/6) 不相同：相位差 π/3，f(0)=1 而新函數在 0 處為 2sin(−π/6)=−1。一般式：右移 a 得 2sin(2x+φ−2a)，φ 的變化量是 2a 而不是 a——這與題 1「先縮後移除以 ω」是同一條規則的正反兩面：橫向變換對相位的貢獻恆為 ω·a。

答案　(1) φ=π/6；僅 (0,1) 在不限範圍時不唯一，加最值條件後唯一，且與 f(x) 同一函數。(2) h(x)=2cos(2x−π/3)，θ=π/3；右移 π/6 得 2sin(2x−π/6)，與 f(x) 不同（f(0)=1，新函數 f(0)=−1）。

採分點　由 (0,1) 得 sinφ=1/2 1 分；結合 |φ|<π/2 定 π/6 1 分；說明僅一點不唯一 1 分；由最值條件定唯一 1 分；兩路互驗 1 分；化為 2cos(2x−π/3) 1 分；θ=π/3 1 分；右移所得函數正確 1 分；判斷「不相同」並給 f(0) 對照 1 分；點明相位變化量為 ωa=2a 1 分。

易錯點　把 φ 定成 5π/6 或 −π/6；忽略 |φ|<π/2 直接說不唯一就收尾；化餘弦時把 θ 算成 π/6；右移時把相位減 a 而不是 2a；把「同一函數」誤判成「兩個不同函數」。

三、規律小結與對照表

圖像變換隻記一條就夠：橫向平移對相位的貢獻是 ω·a。於是「先平移後伸縮」移 φ，「先伸縮後平移」移 φ/ω；右移 a 則相位減 ωa。對稱軸令 ωx+φ=π/2+kπ、中心令 ωx+φ=kπ，兩者相差 T/4。最後務必用 f(0) 與峰點回代一次：本題 f(0)=1、x=π/6 取 2，兩個錨點對上了，φ 才真的定準。函數與數據均為自編示意，不代表任何真題或題庫題目。

四、自測清單

• □ 先寫清 A、ω、φ 與 T=2π/ω；
• □ 兩條路徑分別標平移量 φ 與 φ/ω，不混用；
• □ 橫向變換後相位按 ω·a 改，不按 a 改；
• □ 對稱軸與對稱中心分列兩式，間距 T/4 回驗；
• □ 由點定 φ 時檢查範圍限制與唯一性條件；
• □ 用 f(0) 與最值點兩處回代閉合。