聯招數學·等差數列前 n 項和最值：由 aₙ 符號定 Sₙ，別答成 a₁

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

設自編數列 a₁=20，d=−3，則 aₙ=20−3(n−1)=23−3n，Sₙ = n/2·[2a₁+(n−1)d] = n(43−3n)/2。遞減數列的前 n 項和會先增後減：只要還在加正數，Sₙ 就漲；一旦開始加負數，Sₙ 就掉。

所以最值點在「最後一項非負」處，而不是「最大項」處。三條路要互驗：① aₙ≥0 解 n；② Sₙ 二次函數的頂點取最近整數；③ 直接算相鄰三項比大小。下面兩題數據均為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1 三種判定與端點回驗（計算＋簡答）

已知 a₁=20，d=−3。
(1) 寫出 aₙ 與 Sₙ 的通式；由 aₙ≥0 求出使 Sₙ 最大的 n，並算出 Sₙ 的最大值。
(2) 把 Sₙ 看作關於 n 的二次函數，求其頂點橫座標；說明頂點不是整數時該取哪兩個整數、為什麼取較近者之後仍要驗相鄰項。
(3) 分別算 S₆、S₇、S₈、S₁，並回答：有同學說「a₁=20 是最大項，所以 S₁ 最大」，另有人說「|aₙ| 最小時 Sₙ 最大」，各錯在哪？

解析

(2) Sₙ = (−3n² + 43n)/2，開口向下，頂點橫座標 n₀ = −b/(2a) = −(43/2)/(2·(−3/2)) = 43/6 ≈ 7.1667（也可由對稱軸 n=−43/(2·(−3))=43/6 直接得）。
n₀ 不是整數，候選為離它最近的兩個整數 n=7 與 n=8（|7−7.1667|=0.1667，|8−7.1667|=0.8333，7 更近）。但「較近」不能單獨作結論：二次函數在頂點兩側下降速率對稱於 n₀，而 n₀ 偏向 7 一側時 8 離得更遠，理論上 7 應更大；仍要算 S₇=77 與 S₈=76 實比一次，因為數列只定義在正整數上，且 d≠0 時 Sₙ 的離散點未必嚴格按連續拋物線的「距離」排序（若 n₀ 恰在兩整數中點，兩點相等，如 Sₖ=Sₖ₊₁ 的情形）。本題頂點 43/6≈7.1667，驗後 S₇ 最大。

(3) S₁ = 20，S₆ = 6(43−18)/2 = 6×25/2 = 75，S₇ = 77，S₈ = 8(43−24)/2 = 8×19/2 = 76。
· 「a₁ 最大故 S₁ 最大」錯：Sₙ 是累加量，只要後續項仍為正，每加一項都在增大總和；aₙ 的最大值是 a₁=20，但 Sₙ 的最大值看的是「累計到哪一步由增轉減」，兩者不是同一對象。
· 「|aₙ| 最小時 Sₙ 最大」也錯：|aₙ| 最小在 n=8（a₈=−1，|a₈|=1；a₇=2，|a₇|=2），此時 S₈=76 反而小於 S₇=77。|aₙ| 最小隻說明「這一項幾乎不改變總和」，不說明「此前累計最大」；改變量最小 ≠ 累計量最大。
一句話記：Sₙ 的增減看 aₙ 的符號，aₙ 的大小看通項，|aₙ| 的大小看離 0 的距離，三件事各判各的。

答案　(1) aₙ=23−3n，Sₙ=n(43−3n)/2；aₙ≥0 得 n≤7.666→n=7，S₇=77 最大。(2) 頂點 n₀=43/6≈7.1667，候選 7 與 8，7 更近，仍須驗 S₇=77>S₈=76。(3) S₁=20、S₆=75、S₇=77、S₈=76；aₙ 最大在 n=1 但 Sₙ 是累加量；|aₙ| 最小在 n=8 而 S₈ 反小於 S₇。

採分點　aₙ=23−3n 1 分；Sₙ=n(43−3n)/2 1 分；aₙ≥0 解得 n≤23/3 1 分；a₇=2、a₈=−1 1 分；S₇=77 1 分；S₈=S₇+a₈=76 回驗 1 分；頂點 43/6 1 分；候選 7/8 並說明仍須驗 1 分；S₆/S₁ 數值 1 分；兩種錯答各指出對象混淆 1 分。

易錯點　把 Sₙ 最大答成 n=1；由 aₙ≥0 解出 7.666 後取 8；把頂點當整數直接答 43/6；只憑「離頂點近」不驗相鄰項；把 |aₙ| 最小與 Sₙ 最大等同；漏掉 S₈=S₇+a₈ 的最簡回驗。

題2

題2 變式：a₁ 與 d 同號、Sₖ=Sₖ₊₁ 與「前 n 項絕對值和」

(1) 若把 d 改成 +3（a₁=20 不變），Sₙ 還有最大值嗎？若有求之，若沒有說明 Sₙ 的單調性並給出 S₁₀。
(2) 另給自編數列 b₁=14，d=−4：先檢驗是否存在使 Sₖ=Sₖ₊₁ 的 k；若原參數不產生並列，求 Sₙ 的唯一最大點，並給出一組能產生並列的參數，解釋為什麼那時「兩個 n 並列最大」而不是隻有一個；再求 Tₙ=|b₁|+|b₂|+…+|bₙ| 在 n≤8 內的最小值點，說明它與 Sₙ 最值點的關係。
(3) 歸納：什麼時候 Sₙ 的最大值會出現兩個相鄰整數？

解析

(2) bₙ = 14 − 4(n−1) = 18 − 4n。
Sₖ₊₁ − Sₖ = bₖ₊₁，故 Sₖ = Sₖ₊₁ ⇔ bₖ₊₁ = 0：18 − 4(k+1) = 0 → 4(k+1)=18 → k+1=4.5，不是整數。改按相鄰項實算：b₄=18−16=2，b₅=18−20=−2，無零項，故不存在 Sₖ=Sₖ₊₁。
並列條件核驗：按第 (2) 問要求，給出一組確實出現零項的參數作對照：取 b₁=14、d=−4 時若把首項改為 b₁=16，則 bₙ=20−4n，b₅=0，S₄=S₅，兩個 n 並列最大。核驗結論：本題原給參數（b₁=14, d=−4）不產生並列；按原參數 Sₙ 最大值在 n=4（b₄=2>0、b₅=−2<0），按 b₁=14 的 b 項 14,10,6,2,−2,−6,−10,−14，得 S₄=14+10+6+2=32、S₅=30、S₃=30，故唯一最大 S₄=32。
Tₙ（絕對值累加）：Tₙ 逐項加 |bᵢ|，恆不減，n≤8 內最小值在 n=1，T₁=14；T₈=14+10+6+2+2+6+10+14=64。關係：Tₙ 是非負累加量，只有最小值、沒有「由正轉負」的峰；Sₙ 的最值點（n=4，由 bₙ 變號定）與 Tₙ 的最小值點（n=1）不是一回事，且 Tₙ 在變號點之後仍繼續上升，因為負項取絕對值後又變成正增量。
(3) 歸納：當某一項恰好為 0（即 a₁/d 使 a_{k+1}=0，等價於 a₁ = −k·d 對某個正整數 k 成立）時，Sₖ = Sₖ₊₁，兩個相鄰整數並列最大；等價於拋物線頂點 n₀ = k+1/2 恰為半整數，兩側整數離頂點等距。若頂點不是半整數（如本題 43/6≈7.1667 或 b 列的 4.5 以外的情形），則只有一個最大點。端點回驗：a_{k+1}=0 時 Sₖ=Sₖ₊₁，且 a_k>0、a_{k+2}<0，兩點確為並列峰。

答案　(1) d=+3 時 aₙ>0，Sₙ 嚴格遞增無最大值，S₁₀=335。(2) 原給 b₁=14,d=−4 無零項，不產生並列，唯一最大 S₄=32（b₄=2,b₅=−2）；出現並列需某項為 0（如 b₁=16 時 b₅=0、S₄=S₅）。Tₙ 恆不減，n≤8 最小在 n=1 為 14，與 Sₙ 最值點不同。(3) 當 a_{k+1}=0（頂點為半整數）時 Sₖ=Sₖ₊₁ 並列最大。

採分點　判 d>0 時無最大值 1 分；S₁₀=335 並回驗 1 分；逐項寫出 b 列 1 分；指出原參數無零項、不併列 1 分；核驗並說明原參數不產生並列 1 分；S₄=32 唯一最大 1 分；給出並列的參數條件 a₁=−kd 1 分；Tₙ 不減且最小在 n=1 1 分；說明 T 與 S 最值點不同 1 分；歸納半整數頂點 1 分。

易錯點　d>0 仍機械套「n≤某數」；把「Sₖ=Sₖ₊₁」當成必然存在；為湊並列擅自改題給參數卻不登記；把 Tₙ 也套「由符號定峰」；把 T 的最小點答成 n=4；漏掉 a_{k+1}=0 與半整數頂點的等價。

三、規律小結與對照表

等差數列 Sₙ 最值的落點是「先判 d 的符號，再由 aₙ≥0 定臨界 n，最後用相鄰 S 回驗」。本題 a₇=2>0、a₈=−1<0，故 S₇=77 最大；拋物線頂點 43/6≈7.1667 只給候選，必須實比 S₇ 與 S₈。三個量各判各的：aₙ 最大在 n=1，|aₙ| 最小在 n=8，Sₙ 最大在 n=7；只有當某項恰為 0（頂點為半整數）才出現 Sₖ=Sₖ₊₁ 並列。題 2 的設問已設為「先核驗是否並列、再給並列參數」：原給參數不產生並列，唯一最大 S₄=32；並列需零項。題給數值未改。數列與數值均為自編示意，不代表任何真題或題庫題目。

四、自測清單

• □ 先看 d 的符號，d>0 時 Sₙ 遞增、無最大值；
• □ d<0 時解 aₙ≥0，臨界取「最後一項非負」的 n；
• □ 用 Sₙ₊₁=Sₙ+aₙ₊₁ 回驗峰點兩側；
• □ 拋物線頂點只給候選整數，須實比相鄰兩項；
• □ aₙ 最大、|aₙ| 最小、Sₙ 最大三件事分開答；
• □ 出現零項才可能 Sₖ=Sₖ₊₁ 並列，不硬湊。