聯招物理·插針法測玻璃折射率：光路復原、n 與讀角誤差方向

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

原理：n = sin i / sin r，i 是空氣中入射角、r 是玻璃中折射角（都相對法線量，不相對界面）。玻璃磚兩面平行，故出射線與入射線平行，只是側向偏移——這條可用來回驗作圖。

四針順序：在磚一側插 P₁、P₂ 定入射線；透過磚看 P₁、P₂ 的像，在另一側插 P₃ 使它恰好擋住兩個像，再插 P₄ 擋住 P₃ 與兩個像。移去磚，連 P₃P₄ 得出射線，與出界面交於 O′；連 入射點 O 與 O′ 即玻璃內折射線。P₁P₂、P₃P₄ 間距取大些，方向才準。下面讀數均為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1 光路復原與兩處誤讀（計算＋簡答）

自編讀數：按上述步驟作得 i = 45.0°、r = 28.1°。
(1) 求 n；分別驗算「入射角誤讀成 46.0°」與「折射角誤讀成 29.0°」時的 n 與相對偏差，判斷偏大/偏小。
(2) 若把玻璃磚兩界面的間距畫得比實際窄，O′ 會偏向哪一側、r 的測量值偏大還是偏小、n 偏大還是偏小？給出定性鏈條。
(3) 實驗中途移動了玻璃磚但未重畫界面、以及 P₃P₄ 兩針插得太近，各造成什麼性質的誤差？

解析

(2) 界面間距畫窄的鏈條：實際出射點 O′真在較寬磚的另一界面上；若把出界面向入界面方向畫近，則連 P₃P₄ 與「畫窄的出界面」得到的 O′畫 會比真實出射點更靠近法線（出射線與畫窄界面的交點內移）。於是連 O 與 O′畫 得到的折射線更貼近法線，量出的 r 偏小；sin r 偏小 → n 偏大。
完整定性鏈：界面畫窄 → O′內移 → 折射線偏陡（靠法線）→ r 測小 → n 測大。對照：若把界面畫寬，鏈條全反，r 偏大、n 偏小。回驗辦法：玻璃磚兩面平行，畫出的入射線與出射線必須平行；若不平行，先懷疑界面位置或 P₃P₄ 連線，而不是改 i。

(3) 兩類誤差性質：
· 移動玻璃磚未重畫界面：界面線與磚的實際位置不再對應，入射點 O 與出射點 O′ 都系統性地定錯，屬系統誤差，且多次重複取平均消不掉——唯一處置是重畫界面、重新插針。
· P₃P₄ 插得太近：兩點定線時微小位置誤差被放大成較大的方向誤差，屬偶然誤差（且被放大），方向不固定（可能使 r 偏大也可能偏小），多次獨立重插取平均可減小。同理 P₁P₂ 也要拉開距離。
另兩條操作口徑：① 插針時視線要與磚面平齊並單眼觀察，避免視差把「擋住像」判偏；② 不能拿玻璃磚當尺子畫線，移磚後界面線要保留，否則 (3) 第一項必然發生。

答案　(1) n=1.50125；i→46.0° 得 1.52722（+1.73%，偏大），r→29.0° 得 1.45853（−2.85%，偏小）。(2) 界面畫窄→O′內移→折射線靠法線→r 偏小→n 偏大；畫寬全反。(3) 移磚未重畫界面為系統誤差、須重做；P₃P₄ 太近為被放大的偶然誤差、方向不定，靠拉開針距與重複取平均減小。

採分點　n=1.50125 1 分；sin45/sin28.1 各 1 分；兩誤讀 n 值各 1 分；兩相對偏差各 1 分；判偏大/偏小各 1 分；r 敏感度更大 1 分；界面畫窄鏈條 2 分；入射線出射線平行回驗 1 分；兩類誤差性質各 1 分；兩條操作口徑 1 分。

易錯點　把 i/r 相對界面量而非相對法線；把 r 讀大判成 n 偏大；界面畫窄的鏈條方向反；把移磚誤差當偶然誤差靠平均消除；把兩針太近判成系統誤差且方向固定；忘記「兩面平行→入射線出射線平行」的回驗。

題2

題2 反向求角、臨界角與「平行出射」回驗

(1) 仍取 n=1.50125：若入射角改為 60.0°，求折射角 r（精確到 0.1°）與側向偏移隨磚厚的變化口徑；再求該玻璃到空氣的全反射臨界角 C。
(2) 用「入射線與出射線平行」核驗題 1 的光路：設磚厚 d=2.00 cm、n=1.50125、i=45.0°，求側向位移 s 的表達式與數值，並說明 s 與 d 是什麼關係。
(3) 有同學說「既然出射線與入射線平行，直接量入射角就等於量折射角，不用連 O O′」。指出錯在哪，並說明為什麼必須保留界面線。

解析

(2) 側向位移：光在玻璃內相對法線走 r 角，幾何上
s = d · sin(i − r) / cos r。
代入 i=45.0°、r=28.1°、d=2.00 cm：i−r = 16.9°，sin16.9° = 0.290702，cos28.1° = 0.882127，
s = 2.00 × 0.290702 / 0.882127 = 0.6589 cm ≈ 0.659 cm（6.59 mm）。
回驗（平行條件）：因兩界面平行，出射角等於入射角 45.0°，故出射線與入射線平行；兩線間距正是 s。關係：s 與 d 成正比（i、n 固定時 i−r 與 cos r 都是常數），d 加倍則 s 加倍；但 n = sin i/sin r 與 d 無關。定量核對：若 d=4.00 cm，則 s=1.318 cm，恰為 2 倍 ✅。

(3) 錯在把「兩線平行」當成「兩線重合」：出射線與入射線方向相同但位置平移了 s；入射角 i 是入射線與法線的夾角，折射角 r 是玻璃內 O O′ 與法線的夾角，二者不相等（本題 45.0° vs 28.1°）。若直接拿 i 當 r，會算出 n = sin45/sin45 = 1，明顯荒謬。
必須保留界面線的理由：① 要由 P₁P₂ 與入界面交點定 O、由 P₃P₄ 與出界面交點定 O′，沒有界面線就沒有 O 與 O′，連不出玻璃內折射線，也就量不到 r；② 法線是界面的垂線，界面線一擦，i 與 r 的量角基準也沒了；③ 界面線還是「磚有沒有被移動」的唯一參照——移磚後若界面線還在，能立刻發現不重合並重畫；擦掉就變成題 1(3) 那種消不掉的系統誤差。一句話：平行給的是「方向回驗」，界面給的是「位置基準」，兩者各管一段，不能互相替代。

答案　(1) i=60° 時 r≈35.2°；C≈41.8°（僅玻璃→空氣且入射角>C 才全反射）。(2) s=d·sin(i−r)/cos r=0.659 cm（d=2.00 cm），s 與 d 成正比而 r、n 與 d 無關。(3) 平行≠重合，i≠r（直接代會得 n=1）；界面線用來定 O/O′、定法線基準並作移磚參照，必須保留。

採分點　sin60/n 得 0.576869 1 分；r≈35.2° 1 分；C≈41.8° 1 分；全反射方向條件 1 分；d 改平移不改角度 1 分；s 公式 1 分；s=0.659 cm 1 分；d 加倍 s 加倍回驗 1 分；(3) 平行≠重合 1 分；直接代得 n=1 1 分；界面線三條理由各 1 分。

易錯點　把臨界角用於空氣→玻璃的入射；把 i 與 r 混成同一角；把側向位移當成偏折角隨 d 變；把 s 公式寫成 d·sin(i−r)；漏掉 cos r 分母；擦掉界面線後靠「平行」硬量 r；把 P₁P₂ 與 P₃P₄ 當成同一條線。

三、規律小結與對照表

插針法只記「四針定兩線、界面定兩點、n=sin i / sin r」。本題 i=45.0°、r=28.1° 得 n=1.50125；i 讀大 1° 偏 +1.73%，r 讀大 1° 偏 −2.85%，所以折射角更要細讀。界面畫窄→O′內移→r 偏小→n 偏大；移磚不重畫是系統誤差，兩針太近是被放大的偶然誤差。兩面平行給的是「入射線∥出射線」的方向回驗（s=d·sin(i−r)/cos r=0.659 cm），不是 i=r；界面線必須保留，否則連 O、O′ 和法線基準都沒了。角度、磚厚與讀數均為自編示意，不代表任何真實玻璃或測量結果。

四、自測清單

• □ i、r 都相對法線量，不相對界面；
• □ 四針遮擋順序寫清，P₁P₂、P₃P₄ 都拉開距離；
• □ 移磚後界面線保留，靠它定 O、O′ 與法線；
• □ 用「入射線∥出射線」回驗作圖，不用它代替量 r；
• □ 誤差先判使 sin i 還是 sin r 變動，再定偏高/偏低；
• □ 區分系統誤差（移磚）與偶然誤差（針距太近）。