題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
放電方程：U(t) = U₀·e^(−t/τ)，τ = RC。兩個好用的錨點：
· t = τ 時 U = U₀/e ≈ 0.3679 U₀；
· 半衰期 U = U₀/2 時 t₁/₂ = τ·ln 2 ≈ 0.6931 τ，反過來 C = t₁/₂ /(R·ln2)。
另一條獨立路：I(t) = (U₀/R)e^(−t/τ)，∫I dt = Q = C U₀——I–t 曲線下的面積就是放出的總電荷，與 τ 路互不依賴，正好互驗。
自編讀數：R = 100.0 kΩ = 1.00×10⁵ Ω，C = 47.0 μF = 4.70×10⁻⁵ F，U₀ = 5.00 V。數據均屬自編示意。
二、逐題精講
題1
題1 τ、半衰期與面積互驗（計算＋簡答）
(1) 求 τ、t₁/₂；由半衰期反推 C，驗證與標稱 47.0 μF 一致。
(2) 求 t=τ 與 t=10.0 s 時的 U；求總電荷 Q=CU₀，並用 ∫I dt 從 I(t) 積分獨立驗一遍。
(3) 若電容存在漏電（等效並聯一個漏電阻），放電會比理想更快還是更慢？由半衰期反推的 C 偏大還是偏小？電壓表內阻有限又如何？
解析
(1)τ = RC = 1.00×10⁵ × 4.70×10⁻⁵ = 4.70 s。
t₁/₂ = τ·ln2 = 4.70 × 0.693147 = 3.25779 s ≈ 3.258 s。
反推：C = t₁/₂/(R·ln2) = 3.25779/(1.00×10⁵×0.693147) = 3.25779/69314.7 = 4.7000×10⁻⁵ F = 47.00 μF ✅ 與標稱 47.0 μF 一致（三路閉合：τ=RC、t₁/₂=τln2、C=t₁/₂/(Rln2)）。
回代：U(t₁/₂)=5.00·e^(−3.25779/4.70)=5.00·e^(−0.693147)=5.00×0.5=2.500 V ✅。
(2)
· t=τ=4.70 s：U = 5.00/e = 5.00×0.367879 = 1.83940 V。
· t=10.0 s：U = 5.00·e^(−10.0/4.70) = 5.00·e^(−2.12766) = 5.00×0.119116 = 0.59558 V。
總電荷（電容路）：Q = C U₀ = 4.70×10⁻⁵ × 5.00 = 2.350×10⁻⁴ C = 235.0 μC。
積分路：I(t) = (U₀/R)e^(−t/τ) = (5.00/1.00×10⁵)e^(−t/4.70) = 5.00×10⁻⁵·e^(−t/4.70) A。
∫₀^∞ I dt = (U₀/R)·τ = (U₀/R)·RC = C U₀ = 2.350×10⁻⁴ C ✅。
數值回代：(5.00×10⁻⁵)×4.70 = 2.350×10⁻⁴ C，兩路完全一致。有限時段核對：到 t=τ 已放出 Q(1−1/e)=235.0×0.632121=148.55 μC，到 t=10 s 放出 235.0×(1−0.119116)=207.01 μC，剩餘 27.99 μC 對應 U=0.59558 V 時 Q餘=C·U=4.70×10⁻⁵×0.59558=2.799×10⁻⁵ C ✅ 閉合。
(3) 漏電：等效為 C 並聯一個漏電阻 R漏，放電多一條支路，等效時間常數變小（τ′ = (R∥R漏)·C < RC），故放電更快、測得 t₁/₂ 偏小。由 C測 = t₁/₂/(R·ln2) 反推（仍用原 R），t₁/₂ 偏小 ⇒ C 偏小。定性核：若 R漏 = 10R，則 R∥R漏 = (10/11)R，τ′ = 0.9091τ = 4.2727 s，t₁/₂′ = 2.9616 s，C測 = 2.9616/69314.7 = 4.2727×10⁻⁵ F = 42.73 μF，比 47.0 低 9.09% ✅ 方向確認。
電壓表內阻有限：電壓表並聯在電容兩端，同樣提供一條額外放電支路，效果與漏電同向——τ 變小、t₁/₂ 偏小、C 測偏小；且內阻越小（相對 R 越不可忽略）偏差越大。處置：用高輸入阻抗電壓表/採集卡，或在計算裡把並聯等效電阻納入 τ′，不能拿理想 RC 公式硬套。
補充一條：計時起點若從「電壓已開始下降之後」才起表，測得 t₁/₂ 也會偏小、C 偏小；這與 00419 共鳴管的「管口修正」不同——那裡靠差值法消掉固定偏移，這裡起點偏移改變的是指數的時間原點，須靠擬合整條 U(t) 曲線（取 lnU 對 t 的直線斜率 −1/τ）而不只靠單點半衰期來避。
答案 (1) τ=4.70 s，t₁/₂=3.25779 s，C=t₁/₂/(Rln2)=47.00 μF 與標稱一致。(2) U(τ)=1.83940 V、U(10s)=0.59558 V；Q=CU₀=2.350×10⁻⁴ C，∫I dt=(U₀/R)τ=CU₀ 同值閉合。(3) 漏電或電壓表內阻有限都使 τ 變小、放電更快、t₁/₂ 偏小 ⇒ C 測偏小（R漏=10R 示例 42.73 μF、−9.09%）；起點偏移同向，宜用 lnU–t 直線斜率求 τ。
採分點 τ=4.70 1 分；t₁/₂=3.25779 1 分；反推 C=47.00 μF 1 分；U 半衰期=2.500 V 1 分；U(τ)=1.83940 1 分；U(10)=0.59558 1 分；Q=2.350×10⁻⁴ C 1 分；∫I dt=(U₀/R)τ 閉合 1 分；有限時段剩餘量回代 1 分；漏電腦方向 1 分；R漏=10R 定量 1 分；電壓表內阻同向 1 分；起點偏移與 lnU–t 擬合 1 分。
易錯點 把 t₁/₂ 寫成 τ/ln2；反推 C 時漏乘 ln2；把 U(τ) 當成 U₀/2；(2) 積分寫成 U₀R 而非 (U₀/R)τ；把漏電判成放電變慢、C 偏大；忽略電壓表內阻這條並聯支路；把起點偏移當可用差值法消掉；用單點半衰期代替整線擬合。
題2
題2 充電過程、對數線性化與 R 反推
(1) 同一 RC 從 0 V 經 R 充到 U₀=5.00 V：U充(t)=U₀(1−e^(−t/τ))。求 U 達到 2.50 V、4.00 V、4.75 V 各自所需時間，並說明「充到一半」與「放到一半」的時間是否相同。
(2) 把放電式取對數得 ln U = ln U₀ − t/τ。用自編兩點 (t=2.00 s, U=3.268 V) 與 (t=6.00 s, U=1.394 V) 求斜率並反推 τ、C，與標稱互驗。
(3) 若保持 C=47.0 μF 不變，把 R 改成 200.0 kΩ，τ 與 t₁/₂ 各變多少？說明 τ 與 R、C 各自成什麼比例。
解析
(1) 充電：由 U/U₀ = 1 − e^(−t/τ) → t = −τ·ln(1 − U/U₀)。· U=2.50 V（U/U₀=0.5）：t = −4.70·ln0.5 = 4.70×0.693147 = 3.25779 s；
· U=4.00 V（0.8）：t = −4.70·ln0.2 = 4.70×1.609438 = 7.56436 s；
· U=4.75 V（0.95）：t = −4.70·ln0.05 = 4.70×2.995732 = 14.07994 s。
「充到一半」與「放到一半」時間相同：都是 τ ln2 = 3.25779 s。因為放電 U/U₀=e^(−t/τ) 取 0.5 與充電 1−e^(−t/τ)=0.5 化簡後是同一個方程。但注意：「充到 95%」要 3τ（14.08 s ≈ 2.9957τ），而「放到 5%」也是同一時長，屬同一時間常數的對稱；不能說「充電比放電慢」。
回代：1−e^(−3.25779/4.70)=1−0.5=0.5 ✅；1−e^(−7.56436/4.70)=1−0.2=0.8 ✅；1−e^(−14.07994/4.70)=1−0.05=0.95 ✅。
(2) 對數線性化：ln U = ln U₀ − t/τ，斜率 = −1/τ。
ln3.268 = 1.184178，ln1.394 = 0.332177（取位示意）。
斜率 = (0.332177 − 1.184178)/(6.00 − 2.00) = −0.852001/4.00 = −0.213000 s⁻¹，故 τ = 1/0.213000 = 4.69483 s ≈ 4.70 s。
反推 C = τ/R = 4.69483/1.00×10⁵ = 4.69483×10⁻⁵ F ≈ 46.95 μF，與標稱 47.0 μF 在取位內一致（兩點電壓給到三位小數，斜率有取位誤差）。
截距核對：ln U₀ 應為 ln5.00 = 1.609438；用點 (2.00, 1.184178) 回推截距 = 1.184178 + 2.00×0.213000 = 1.610179，與 1.609438 差 0.000741，屬取位差 ✅。方法價值：用整條直線的斜率求 τ，不依賴「起點」和「半衰點」的單點判讀，正好避開題 1(3) 的計時起點偏移問題。
(3) R 改為 200.0 kΩ：
τ′ = R′C = 2.00×10⁵ × 4.70×10⁻⁵ = 9.40 s（原 4.70 s 的 2 倍）；
t₁/₂′ = τ′ ln2 = 9.40×0.693147 = 6.51558 s（原 3.25779 s 的 2 倍）。
比例關係：τ = RC，與 R 成正比、與 C 成正比（一次方線性）；t₁/₂ = τ ln2 亦與 R、C 各成一次方正比。R 加倍 → τ 與 t₁/₂ 都加倍；C 加倍同理。回驗：U₀ 不變時 Q=CU₀ 不變（仍是 235.0 μC），只是放得慢一倍——總電荷由 C 與 U₀ 決定，與 R 無關，R 只改快慢不改總量。峰值電流核對：I₀=U₀/R 由 5.00×10⁻⁵ A 降為 2.50×10⁻⁵ A（減半），而 ∫I dt = I₀·τ = (U₀/R)(RC)=CU₀ 仍 235.0 μC ✅ 閉合。
答案 (1) 2.50V→3.25779 s、4.00V→7.56436 s、4.75V→14.07994 s；充到一半與放到一半同為 τln2=3.25779 s。(2) 斜率 −0.213000 s⁻¹ → τ≈4.69483 s、C≈46.95 μF，截距 1.610179 與 ln5 取位內閉合。(3) R 加倍得 τ=9.40 s、t₁/₂=6.51558 s（均 2 倍）；τ 與 R、C 各成一次方正比，Q=CU₀ 不變、R 只改快慢。
採分點 充電通式 t=−τln(1−U/U₀) 1 分；三個時間各 1 分；充/放到一半相等 1 分；三處回代 1 分；對數線性化斜率 1 分；τ≈4.69483 與 C≈46.95 μF 1 分；截距核對 1 分；方法價值 1 分；(3) τ=9.40 與 t₁/₂=6.51558 1 分；一次方正比 1 分；Q 不變與 I₀ 減半回驗 1 分。
易錯點 充電式寫成 U₀e^(−t/τ)；把「充到一半」與「放到一半」判成不同；把 lnU–t 斜率寫成 −τ 而非 −1/τ；兩點電壓取位差當成方法錯；R 加倍後把 Q 也加倍；把 t₁/₂ 與 R 說成平方關係；用單點判讀代替直線擬合。
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | 本題值 | 獨立互驗 | 改變 | 方向 |
|---|---|---|---|---|---|
| 時間常數 | τ=RC | 4.70 s | lnU–t 斜率 −1/τ | R 加倍→9.40 s | 一次方正比 |
| 半衰期 | t₁/₂=τln2 | 3.25779 s | U=2.500 V | R 加倍→6.51558 s | 一次方正比 |
| 反推電容 | C=t₁/₂/(Rln2) | 47.00 μF | τ/R=46.95 μF | — | 取位內一致 |
| U(τ) | U₀/e | 1.83940 V | U₀×0.367879 | — | 非 U₀/2 |
| U(10s) | U₀e^(−10/4.70) | 0.59558 V | 剩餘 Q=C·U | — | 閉合 |
| 總電荷 | Q=CU₀ | 2.350×10⁻⁴ C | ∫I dt=(U₀/R)τ | R 加倍不變 | R 只改快慢 |
| 充電 | U₀(1−e^(−t/τ)) | 0.5/0.8/0.95→3.258/7.564/14.080 s | 回代成立 | — | 充=放一半 |
| 漏電/表內阻 | τ′=(R∥R漏)C | R漏=10R→42.73 μF | −9.09% | 並聯支路 | C 測偏小 |
| 起點偏移 | 改變時間原點 | — | lnU–t 整線擬合 | — | 非差值法 |
| 峰值電流 | I₀=U₀/R | 5.00×10⁻⁵ A | R 加倍→2.50×10⁻⁵ | ∫I dt 不變 | 閉合 |
RC 暫態只記「τ=RC、t₁/₂=τln2、Q=CU₀」：本題 τ=4.70 s、t₁/₂=3.25779 s，反推 C=47.00 μF 與標稱一致；∫I dt=(U₀/R)τ=CU₀=235.0 μC 是獨立於 τ 路的第二把尺。充電「到一半」與放電「到一半」同為 τln2。漏電或電壓表內阻有限都多一條並聯支路，使放電更快、C 測偏小；起點偏移靠 lnU–t 直線斜率避，不靠單點。R 加倍則 τ 與 t₁/₂ 加倍，但 Q 不變——R 只改快慢不改總量。元件與讀數均為自編示意，不代表真實元件或測量結果。
四、自測清單
- □ 先算 τ=RC，再用 t₁/₂=τln2 反推 C；
- □ U(τ)=U₀/e 不等於 U₀/2；
- □ 用 ∫I dt = CU₀ 獨立驗總電荷；
- □ 充電式是 U₀(1−e^(−t/τ))，充/放到一半同長；
- □ 漏電、表內阻、起點偏移都使 C 測偏小；
- □ 用 lnU–t 斜率求 τ，不依賴單點判讀。
