聯招物理·頻閃照相研究平拋：Δy=gT²、求 v₀ 與原點修正

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

頻閃週期 T 固定。平拋可拆成兩條獨立線：
· 水平：勻速，相鄰點間距 Δx = v₀ T → v₀ = Δx/T；
· 豎直：自由落體（或有初速的勻加速），連續相等時間內的位移差 Δy_{n+1} − Δy_n = g T² → g = (Δy₂−Δy₁)/T²。
關鍵：逐差法不要求首點是拋出點，因為 Δy 的差把首點豎直速度 v_{y1} 消掉了；但若要用 y=½gt² 求「從拋出到該點的時間」，就必須先確認 v_{y1}=0。

自編讀數：T = 0.100 s，水平相鄰 Δx = 5.00 cm。下面兩組豎直位移均為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1 兩組軌跡求 g 與 v₀（計算＋簡答）

組 A 豎直相鄰位移：Δy₁=4.90 cm、Δy₂=14.70 cm、Δy₃=24.50 cm；
組 B：Δy₁=9.80 cm、Δy₂=19.60 cm、Δy₃=29.40 cm。
(1) 兩組分別求 g 與 v₀；說明 g 為什麼兩組相同。(2) 由 Δy₁ = v_{y1}T + ½gT² 分別反推首點豎直速度 v_{y1}，判斷哪組首點就是拋出點。(3) 若對組 B 誤用 y=½gt² 從首點起算，求「到首點的時間」會得出什麼錯值？正確做法是什麼？

解析

(2) 反推 v_{y1}：由 Δy₁ = v_{y1}T + ½gT²，
· 組 A：v_{y1} = (4.90 − 4.90)/0.100 = 0 cm/s → 首點即拋出點（該時刻豎直速度為零）✅。
· 組 B：v_{y1} = (9.80 − 4.90)/0.100 = 49.0 cm/s = 0.490 m/s ≠ 0 → 首點不是拋出點，照片漏拍了拋出後的前一段。
閉合驗證：組 B 用 v_{y1}=49.0 cm/s 逐段回算：Δy₁ = 49.0×0.1 + 4.90 = 9.80 ✅；Δy₂ = (49.0+98.0)×0.1 + 4.90 = 19.60 ✅；Δy₃ = (49.0+196.0)×0.1 + 4.90 = 29.40 ✅（每過一段豎直速度增 gT = 98.0 cm/s）。

(3) 組 B 誤用 y=½gt²：若把首點當拋出點，用「首點之前」的累計豎直位移反推時間，等價於設 v_{y1}=0。以首點豎直速度 0.490 m/s 計，真實從拋出到首點的時間應由 v_{y1}=g t₀ 得 t₀ = 0.490/9.80 = 0.0500 s，對應真實已下落 y₀ = ½g t₀² = ½×9.80×0.0025 = 0.01225 m = 1.225 cm。
若誤用 y₀ = ½g t′² 於「觀測到的位移」口徑反推，會把 t′ = √(2y₀/g) 算成 0.0500 s —— 數值碰巧相同，但那是拿已下落的 1.225 cm 反推；真正的錯在於把首點之後各點的時刻整體少算了 t₀=0.0500 s：例如第 2 點真實時刻應為 t₀+T = 0.1500 s，誤算成 0.1000 s，少 0.0500 s（−33.3%）；用 y=½gt² 校核該點會得 y = ½×9.80×0.0100 = 4.90 cm，而真實累計 y = 1.225 + 9.80 = 11.025 cm，差 6.125 cm，立刻報警。
正確做法：① 用逐差法求 g 與 v₀（不依賴原點）；② 用 Δy₁ 反推 v_{y1}；③ 若需絕對時刻，先由 t₀ = v_{y1}/g 補回漏拍的那段時間，再寫 y(t) = ½g(t+t₀)² − ½g t₀² 或用 y = v_{y1}t + ½gt²（t 從首點起算）。一句話：逐差給「加速度與初速」，原點另判，別拿 y=½gt² 硬套非拋出點。

答案　(1) 兩組逐差均 9.80 cm → g=9.80 m/s²；v₀=Δx/T=0.500 m/s；逐差消掉 v_{y1} 故兩組 g 相同。(2) 組 A v_{y1}=0 首點即拋出點；組 B v_{y1}=0.490 m/s 不是拋出點。(3) 組 B 真實 t₀=v_{y1}/g=0.0500 s、已落 1.225 cm；誤把首點當原點會使後續時刻整體少 0.0500 s、第2點少算 6.125 cm；正確做法為逐差求參＋反推 v_{y1}＋用 y=v_{y1}t+½gt² 補 t₀。

採分點　組A/組B 逐差各 1 分；g=9.80 m/s² 1 分；v₀=0.500 m/s 1 分；逐差消 v_{y1} 理由 1 分；½gT²=4.90 cm 1 分；兩組 v_{y1} 各 1 分；組 B 三段閉合 1 分；(3) t₀=0.0500 s 1 分；y₀=1.225 cm 1 分；時刻少 0.0500 s 與 −33.3% 1 分；第2點差 6.125 cm 1 分；正確三步 1 分。

易錯點　把 Δy₂−Δy₁ 直接當 g（漏除 T²）；把 9.80 cm 當成 9.80 m/s² 不換單位；認為組 B 的 g 不同；把組 B 首點當拋出點；用 y=½gt² 反推時刻卻漏補 t₀；把「數值碰巧相同」當成方法沒錯；忽略逐差法不依賴原點這一層。

題2

題2 座標反推、落地時間與三組獨立互驗

(1) 組 A 首點為拋出點，取該點為座標原點、水平向右 x、豎直向下 y。寫出第 n 個點（n=0,1,2,3）的座標通式，並求第 3 點的 x、y 與合速度大小。
(2) 若組 A 從 h = 1.960 m 高處拋出，求落地時間、水平射程與落地時豎直速度；用逐差數據獨立回驗 g。
(3) 若頻閃週期實際為 T′=0.105 s 而計算仍用 0.100 s，v₀ 與 g 各偏多少？說明週期誤差傳到 g 是幾次方。

解析

(2) 落地：h = 1.960 m，由 h = ½g t² → t = √(2×1.960/9.80) = √0.4000 = 0.63246 s。
水平射程 X = v₀ t = 0.500×0.63246 = 0.31623 m；
落地豎直速度 v_y = g t = 9.80×0.63246 = 6.1981 m/s（亦 √(2gh)=√38.416=6.1981 ✅）。
逐差獨立回驗 g：只用題給 Δy 與 T，g = (14.70−4.90)cm/(0.100)² = 9.80 m/s²；把它代回 h=½gt² 得 t=0.63246 s ✅，與上式閉合。三條獨立路：逐差給 g → 運動學給 t → 水平給 X，彼此不循環引用。
注意：h=1.960 m 是題給示意高度，與頻閃照片的取景範圍無關；不能拿照片裡最後一點的 y₃=44.10 cm 去當 h。

(3) T′ = 0.105 s，計算仍用 0.100 s：
· v₀：報出 v₀ = Δx/0.100 = 50.0 cm/s，真實 v₀′ = Δx/0.105 = 5.00/0.105 = 47.619 cm/s = 0.47619 m/s。偏差 (50.0−47.619)/47.619 = +5.00% → 偏高（因計算用了偏小的 T，v₀=Δx/T 與 T 成反比）。
· g：真實 g′ = (Δy₂−Δy₁)/T′² = 9.80 cm/0.011025 = 888.89 cm/s² = 8.8889 m/s²；報出仍 9.80 m/s²，偏差 (9.80−8.8889)/8.8889 = +10.25% → 偏高。
傳遞關係：v₀ ∝ T⁻¹（一次方反比），g ∝ T⁻²（二次方反比），故同樣的週期誤差傳到 g 被放大約 2 倍：T 偏小 5% → v₀ 偏高約 5%，g 偏高約 1/(0.95)² − 1 = 10.80%（按「真實 T 比計算值大 5%」的精確口徑為 10.25%，兩者差來自基期不同，如實登記取位/基期差）。
回代閉合：0.100/0.105 = 0.952381；v₀ 報/真實 = 50.0/47.619 = 1.0500 ✅；(0.105/0.100)² = 1.1025，g 報/真實 = 9.80/8.8889 = 1.1025 ✅ 恰為平方。紀律：週期/計時誤差在「含 T² 的量」上按平方放大，與 00401 單擺 g∝T⁻²、00425 RC 裡 τ 與 R 一次方正比形成對照——先寫清比例式，再定放大倍數。

答案　(1) xₙ=5.00n cm、yₙ=4.90n² cm；第3點 (15.00, 44.10) cm，合速度 2.9822 m/s（v_y=2.940）。(2) t=0.63246 s、X=0.31623 m、落地 v_y=6.1981 m/s；逐差給 g=9.80 與 h=½gt² 閉合。(3) 真實 v₀′=0.47619 m/s、g′=8.8889 m/s²，報出值分別偏高 +5.00% 與 +10.25%；v₀∝T⁻¹、g∝T⁻² 二次方放大，比值 1.1025 精確閉合。

採分點　座標通式 1 分；第3點座標 1 分；v_y=2.940 與合速度 2.9822 1 分；v_y²=2gy 回驗 1 分；(2) t=0.63246 1 分；X=0.31623 1 分；落地 v_y=6.1981 1 分；逐差獨立回驗 1 分；(3) 真實 v₀′ 1 分；真實 g′ 1 分；兩偏差 1 分；v₀∝T⁻¹ 與 g∝T⁻² 1 分；1.1025 平方閉合 1 分；取位/基期差登記 1 分。

易錯點　把 yₙ 寫成 4.90n（漏平方）；把第3點 y 算成 14.70 或 24.50（那是單段位移不是累計）；落地時間用照片 y₃ 當 h；v_y 寫成 g·n 漏乘 T；週期誤差對 g 按一次方算；把 10.25% 與 10.80% 混成同一個數不登記基期差；漏掉 v_y²=2gy 回驗。

三、規律小結與對照表

平拋頻閃只記「水平 Δx=v₀T，豎直逐差 Δy_{n+1}−Δy_n=gT²」：本題兩組逐差都是 9.80 cm，g=9.80 m/s²、v₀=0.500 m/s 與首點是不是拋出點無關。組 A 的 v_{y1}=0 是拋出點，組 B 的 v_{y1}=0.490 m/s 說明漏拍了前 0.0500 s，此時絕不能拿 y=½gt² 硬套（第 2 點會少算 6.125 cm）。座標 x=5.00n、y=4.90n² cm，落地 t=0.63246 s。週期誤差對 g 按 T⁻² 平方放大（報出值偏高 10.25%，比值 1.1025 精確閉合）。時間間隔、位移與高度均為自編示意，不代表真實拍攝或測量結果。

四、自測清單

• □ 水平用 Δx/T，豎直用逐差 (Δy₂−Δy₁)/T²；
• □ 逐差不依賴原點，別先假定首點是拋出點；
• □ 用 Δy₁=v_{y1}T+½gT² 反推首點豎直速判原點；
• □ 累計 y 是 4.90n²，不是單段 Δy 也不是 4.90n；
• □ 非拋出點補 t₀=v_{y1}/g，再寫 y=v_{y1}t+½gt²；
• □ 週期誤差按 v₀∝T⁻¹、g∝T⁻² 分別定放大倍數。