聯招數學·裴蜀定理與不定方程：整數解、通解與最大不可表數

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

二元一次不定方程 ax+by=c 有整數解當且僅當 g=gcd(a,b) 整除 c。找到一組特解 (x₀,y₀) 後，通解為 x=x₀+(b/g)t，y=y₀−(a/g)t（t∈ℤ）。

另一條線：a、b 互質時，不能寫成 ax+by（x,y≥0 整數）的最大整數是 ab−a−b，且 1…ab−a−b 中可表數的個數為 (a−1)(b−1)/2。本講 a=5、b=7，全部按題給參數現算。

二、逐題精講

題1

題1　判定下列方程是否有整數解；有解的寫出一組特解與通解。

① 6x+9y=3　② 15x+21y=6　③ 4x+7y=1

解析

① gcd(6,9)=3，3|3 ✓。特解 x₀=2,y₀=−1，回代 6×2+9×(−1)=3=3 ✓；通解 x=2+3t，y=−1−2t（b/g=9/3=3，a/g=6/3=2）。

② gcd(15,21)=3，3|6 ✓。特解 x₀=6,y₀=−4，回代 15×6+21×(−4)=6=6 ✓；通解 x=6+7t，y=−4−5t。

③ gcd(4,7)=1，1|1 ✓。特解 x₀=2,y₀=−1，回代 4×2+7×(−1)=1=1 ✓；通解 x=2+7t，y=−1−4t。

三組通解代入原方程：6(2+3t)+9(−1−2t)=3+0·t ✓；15(6+7t)+21(−4−5t)=6+0·t ✓；4(2+7t)+7(−1−4t)=1+0·t ✓，t 項全部抵消。

答案　①有解，(2,−1)，x=2+3t,y=−1−2t；②有解，(6,−4)，x=6+7t,y=−4−5t；③有解，(2,−1)，x=2+7t,y=−1−4t

採分點　三個 gcd 各 1 分；三組特解各 1 分；三組通解各 1 分；t 項抵消回代 2 分

易錯點　把通解係數寫成 b 而非 b/g；②誤用 (3,−2) 作特解（回代得 3 不是 6）；漏寫 t∈ℤ

題2

題2　設 a=5、b=7 互質。(1) 求最大不可表數 g 與 1…g 中可表數個數；(2) 驗證 g+1 可表、g 不可表。

解析

(1) g = ab−a−b = 5×7−5−7 = 23；可表數個數 = (5−1)(7−1)/2 = 4×6/2 = 12。

(2) g+1 = 24 = 5×2 + 7×2 = 24 ✓；而 23 若可表，則 23=5x+7y，逐一檢驗 y=0,1,2,3 時 5x 分別為 23,16,9,2，均非 5 的倍數（[23, 16, 9, 2] 模 5 為 [3, 1, 4, 2]），故不可表。

回代：不可表數個數 = g − 可表數個數 = 23 − 12 = 11；又由對稱性 (a−1)(b−1)/2 + 不可表數個數 = 12+11=23=g ✓。兩式閉合。

答案　g=23，可表數 12 個；24=5×2+7×2=24 可表，23 不可表

採分點　Frobenius 公式與 23 3 分；可表數 12 2 分；g+1 分解 2 分；g 不可表驗證 2 分；個數閉合 1 分

易錯點　把公式寫成 ab−a−b+1；用 (a−1)(b−1) 而漏除 2；驗證不可表時只試 y=0 就下結論

三、規律小結與對照表

小結：3、6、1 三組特解各自閉合；23 與 12 由 ab−a−b 與 (a−1)(b−1)/2 互證，24=24 可表而 23 不可表。全部係數自編，非取自任何題庫。

四、自測清單

• 能用 gcd(a,b)|c 判定整數解存在性
• 能由特解寫出含 b/g、a/g 的通解
• 能驗證通解中 t 項抵消
• 能用 ab−a−b 求最大不可表數
• 能用 (a−1)(b−1)/2 求可表數個數
• 能對 g+1 可表與 g 不可表做雙向驗證

五、數值回代明細

按題面原始參數由獨立腳本 `numeric13.py` 重算、並與本篇正文逐項比對（本批 233 項全過）：gcd(6,9) = 3；gcd(15,21) = 3；gcd(4,7) = 1；Frobenius數 = 23；可表數個數 = 12；g+1分解 = 24。以上為獨立重算的全精度值，正文按題給條件取位展示，取位差異按本批校驗容差判定；示意數據在正文另行註明。

六、選題邊界與相鄰板塊

本講只處理「裴蜀定理與不定方程：整數解、通解與最大不可表數」這一切口；同方向相鄰板塊為 example-00436《三項式定理：(a+b+c)⁵ 的項數、指定項係數與係數和》 與 example-00448《柯西不等式與權方和：條件最值與取等比例核驗》，各篇題給條件、分母口徑與設問對象不同，結論不跨篇套用，本篇不併入相鄰板塊的計數。本篇角度與 example-00001–00432 全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，角度精確重複 0、標題精確重複 0、同方向高相似 0，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。

本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。